balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Для того чтобы функция имела минимум, кроме условия (2) в рассматриваемой точке должно еще выполняться условие 2=! 1=1 при любых комбинациях приращений независимых переменных, т. е. условие положительной определенности второго дифференциала. Это условие выполня- ется тогда и только тогда, когда дг1 — )О, дк2 дк, дк2 д21 дк2 >О;...; дк, дкд дкд дкп д21 дк, дк„ д21 дк„' д21 дк„ дкд д21 дкдд дкя 381 д21 дк2д д21 дх2 дк, д21 дкз д21 дкд дкз д21 дк2 Если хотя бы одно из неравенств обращается в равенство, то для выяснения характера поведения функции в рассматриваемой точке в разложении (1) необходимо учесть и исследовать следующие слагаемые, содержащие производные более высокого порядка.
!'чм: ив в мм Аналогично формулируются условия максимума функции в точке. Независимо от знаков второго и высших дифференциалов все точки, в которых.выполняется условие (2), называются с т а ц и о н а р н ы м и т о ч к ам и, а значения функции в них — с та ци о н а р н ы м и з н а ч е н и ям и. В стационарной точке второй дифференциал может оказаться ни положительно, ни отрицательно определенным; в такой стационарной точке функция не имеет ни минимума, ни максимума.
Это так называемая т о ч к а м и н и м а к с а. Обобщение задачи нахождения стационарных значений и экстремумов функции при нахождении стационарных значений и экстремумов определенных интегралов рассматривается в вариационном исчислении. Рассмотрим, например, определенный интеграл ь Ф=~ Р(х, у, у', у") йх, а где у = — — у (х). При фиксированных пределах интегрирования и заданном подынтегральном выражении Р (х, у, у', у') значение определенного интеграла зависит от конкретного выбора функции д =- у (х). Переменные величины такого типа, значения которых определяются выбором одной или нескольких функций, называются функционалами. Понятие вариации имеет в вариационном исчислении такое же фундаментальное значение, как н понятие дифференциала в дифференциальном исчислении.
В а р и а ц и е й функции у = д (х) называют допустимое по условиям данной задачи малое изменение этой функции. Вариация функции д обозначается бд. Аналогично вводят понятия вариаций первой и высших производных функций; обозначают их соответственно бу'„бу' и т. д. Заметим, что (бу)' = бу', т. е. символ вариации 6 можно выносить за знак дифференцирования. При варьировании функции д = у (х) и ее производных изменяется значение функционала Ф. Приращение функционала ЬФ можно представить в ' виде, аналогичном выражению (1): АФ= ЬФ+ — бзФ+..., 1 2! (е) где ь 1 дР дР , дР бФ= ~ — бу+ —, бу'+ —, бд" бх; ~ ду дд' ду' а ь Р Р дзР дзР дзР 6'Ф = — (бу)в г — (бу')'-1- — (бу')э+ ,) 1 ду' ду ' дд' д'Р дзР д'Р +2, бубу'+2 „буду" +2, „бд'бу" 4х, 882 Величина 6Ф, аналогичная первому дифференциалу функции нескольких переменных, является главной линейной относительно вариаций функции и ее производных составляющей приращения ЛФ и называется и е р в о й в а р и аци е й функционала Ф.
Величина б'Ф аналогична второму дифференциалу функции нескольких переменных; эта величина носит название в т о р о й - в ар и а и и и функционала Ф. Основная задача вариационного исчисления формулируется так: среди всех допустимых но условиям данной задачи функций найти такую функцию д =- = у (х), которая доставляет заданному функционалу экстремальное значение. Р / дР дР бР ~ дР ~ь дР 1ь бФ = ) ~ — бу+ —, бу'+ — бу») 4х= —, ду ~ + — бу'1 + ,) ~ ду ду' ду» ) ду' ~а дд» 1а а Р7дР б дР б дР + 1 ~ — бу — — —, бу — — — » бд' бх= ,) ~ ду бх ду' дх ду" а ь а Откуда следует, что условие стацнонарности бФ = О выполняется при всех до- пустимых вариациях искомой функции, если, во-первых, дР 4 дР оз дР— — — —,+ — — = — О, (11) ду бх ду ' бха ду' во-вторых, при х = а и х = Ь должны выполняться условия: ( дР б дР бу=О, т.
е. у задано, либо ~, — — — 1=0; ~ ду' бх ду" / д Уравнение (11) называется уравнением Эйлера. В данном примере, когда функ- ционал зависит от второй производной искомой функции, это уравнение имеет четвертый порядок и выражения (!2) дают те четыре граничных условия, какие могут быть заданы при х = а и х = Ь. В общем случае, когда функционал за- висит от производных искомой функции до т-го порядка включительно, уравне- ние Эйлера имеет порядок 2т и соответствующее число граничных условий. Все сказанное может быть обобщено на функционалы, зависящие от несколь- ких функций одной или нескольких независимых переменных. Так, например, если задан функционал ь Ф=) Р(х, и, о, и', о', и', о») бх, (13) а дР бу'=О, т.
е. у' задано, либо — =О. (12) д» ЗВЗ Необходимым условием экстремума функционала является равенство пулю его первой вариации: бФ=О, (9) Условие бФ=О называют условием стационарности ф у н к ц и о н а л а. Это условие, как и равенство (2) для функции нескольких переменных, является необходимым условием максимума или минимума функционала. Как видно из выражения (б), стационарное значение функционала будет минимумом, если вторая вариация функционала является положительно определенной, т. е.
если при любых допустимых по условиям задачи вариациях выполняется условие бзФ) О, (10) Аналогично формулируется условие максимума функционала. Из условия стационарности (9) может быть получено дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять искомая функция, доставляющая стационарное значение функционалу, а также те граничные условия, которым она может быть подчинена.
Для этого, последовательно интегрируя выражение для первой вариации функционала (7) по частям, избавимся от вариаций производных искомой функции под знаком интеграла: где и = и (х), о = о (х), то его первая вариация определяется выражением, ана- логичным выражению (7): ь с.с дР дР дР , дР ', дР ЬФ= ~ ~ — Ьи+ — бо+ —, Ьи'+ —, бо'+ „би" + ,) ~ ди до ди' до' ди"з а дР + — бэ" с!х. .
(14) до" Действуя так же, как и в предыдущем примере, можно показать, что функции и = и (х) и о = о (х), доставляющие стационарное значение функционалу, т. е. обеспечивающие выполнение условия ЬФ = О, должны удовлетворять сссстеме уравнений Эйлера дР с( дР сР дР— — — —,+ — — =-01 ди с(х ди' дх' ди' (15) дР с( дР дв дР 1 О до дх до' дх' до" и соответствующим граничным условиям.
Если функционал зависит от функции нескольких независимых переменных, условие стационарности приводит к уравнениям в частных производных. Так, если задан функционал ди ди д'и д'и дви Ф= Р х,у,и, —,—, —,, —,, — 11с(хс)у, (16) 'дх ' ду ' дха ' дув ' дхду ! то уравнение Эйлера имеет вид дР д дР д дР дэ дР ди дх ди ду ди + дха д'и + дэ дР дэ дР (! 7) Если на функции, от которых зависят исследуемые функционалы, наложены некоторые дополнительные условия, то задача поиска экстремума называется задачей на у с л о в н ы й э к с т р е м у м. Например, можно сформулировать задачу так: найти функцию у = у (х), доставляющую стационарное значение функционалу (5) и удовлетворяющую дополнительным интегральным условиям. ь ) сс; (х, у, у', у") дх= — дс, где д! — заданные константы; (= 1, 2, ..., а.
Решение этой задачи можно получить с помощью метода множителей Лагранжа, отыскивая условия стационарности вспомогательного функционала ь Ф*=~Рв (х, у, у', у") дх. Р Здесь ь Р'=Г(х, у, у, у")+ ~ ).! О; (х, у, у, У.), з=! где Х; — неизвестные постоянные (множители Лагранжа). При заданных граничных условиях для определения й множителей Лагранжа Х! и искомой функции у = у (х) используют Й условий связи (18) и уравнение Эйлера вспомогательного функционала дд" д дР* дз —, + (21) ду дх ду' дхз дг* =О ду" (24) ПРИЛОЖЕНИЕ П Основные определения матричной алгебры М а т р и ц е й называется прямоугольный массив чисел или алгебраичес.
ких символов, расположенных по строкам и столбцам. Система линейных уравнений аыХ + атз'г'+ а,зЯ = Ьт, амХ+ аззУ+ аззЕ = Ьз аззХ + азз~ т азат = Ьз может быть записана в компактном виде (А] (Х) = (Ь), где !А) — квадратная матри)!а, имеющая три строки и три столбца: ам а!з а!з (А] — — аго азз аз аз, азз азз Для функционалов, зависящих от нескольких функций, возможны задачи на условный экстремум прн дополнительных конечных или дифференциальных связях, накладываемых на искомые функции. Пусть, например, задача сформулирована так: найти условие стационарности функционала ь ц!= ~г (х У! Уз У! Уз Уз У,",...,) пх, (22) если и искомых функций подчинены дополнительным уравнениям Оу(х, ут, уз, уы уг уз уз> ° .)=О„ (23) где !' = — 1, 2, ..., Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
