2 (521115), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Приравнивая коэффициенты при sin 2x и cos 2x, получим A = -5/4,

B = 0. Следовательно,

3). Далее находим частное решение уравнения

При этом принимаем ( см. табл. 2, случай 2а )

откуда следует Поэтому

Суммируя полученные решения, получим

2.2.3. Метод вариации произвольных постоянных

Если правая часть уравнения L(y)=f(x) не принадлежит ни к одному из рассмотренных в таблице 2 типов, то следует применять метод вариации произвольных постоянных. Рассмотрим его реализацию для дифференциальных уравнений второго порядка:

(2.40)

Сначала находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения в виде

(2.41)

где и - произвольные постоянные, - частные линейно независимые решения однородного уравнения.

Далее ищется решение неоднородного уравнения (2.40), по структуре, аналогичное (2.41), но произвольные постоянные в (2.41) заменяются неизвестными функциями, а именно принимается

(2.42)

Подстановка (2.42) в (2.40) приводит к следующей системе дифференциальных уравнений

(2.43)

в которой первое уравнение вводится произвольно. Определитель этой системы - определитель Вронского

так как функции и линейно независимы. Поэтому система (2.43), рассматриваемая как система линейных алгебраических уравнений относительно , имеет решение и притом единственное. Оно представляется в виде

(2.44)

Интегрируя дифференциальные уравнения первого порядка (2.44), находим

(2.45)

Подставляя (2.45) в (2.42), получим общее решение неоднородного уравнения в виде

(2.46)

Пример. Решить уравнение

(2.47)

1). Находим общее решение соответствующего однородного уравнения

Составляем характеристическое уравнение Его корни Следовательно, частные линейно независимые решения равны ( см. таблицу 1, случай 3а )

а общее решение

2). Так как правая часть неоднородного уравнения (2.47) не относится ни к одному из рассмотренных в таблице 2 случаев, то частное решение находим методом вариации произвольных постоянных. Принимаем

(2.48)

Тогда и могут быть найдены из решения системы (2.43)

Определитель этой системы

Поэтому выражения (2.44) принимают вид

(2.49)

Интегрируя уравнения (2.49), получим

(2.50)

Подставляя (2.50) в (2.48), находим общее решение уравнения в виде

Характеристики

Список файлов книги