2 (521115), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

(2.33)

Алгебраическое уравнение (2.33) той же степени, что и порядок дифференциального уравнения (2.29) называется характеристическим уравнением.

Заметим, что уравнение (2.33) получается из уравнения (2.29) формальной заменой i - ой производной числом .

Характеристическое уравнение (2.33) имеет n корней (с учетом их кратности). В зависимости от вида корней соответствующие частные линейно независимые решения будут иметь различный вид (см. таблицу 1).

Вид частных решений линейного однородного уравнения L(y)=0 в зависимости от вида корней характеристического уравнения

Таблица 1

Частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n - го порядка может быть получено или методом подбора ( методом неопределенных коэффициентов ) или методом вариации произвольных постоянных.

2.2.2. Метод подбора частного решения

Этот метод не является универсальным и применим, если правая часть уравнения (2.28) в общем случае имеет вид

(2.34)

где P(x) и Q(x) - одночлены или многочлены (в общем случае различных степеней от x). Пусть при этом n - наивысшая степень одного из многочленов P(x) или Q(x).

Алгоритм построения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (2.28) следующий:

1. Находим корни характеристического уравнения (2.33).

2. Сравниваем конкретно заданную правую часть уравнения (2.28) с общим выражением (2.34), при котором применим метод подбора, и находим из этого сопоставления три числа:

3. Сравниваем "контрольное" комплексное число

с корнями характеристического уравнения и находим число m корней, совпавших с комплексным числом (если таких корней нет, то m=0).

4. Принимаем частное решение неоднородного уравнения (2.28)в виде

(2.35)

где -многочлены одной и той же n-ой степени, но с неопределенными и различными коэффициентами.

5. Записываем решение (2.35) в развернутой форме в зависимости от n. Так,

если то

если то

6. Подставляем в исходное уравнение (2.28) и получаем систему алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов A,B,C...

Замечание 1. Если правая часть уравнения (2.28) имеет более простой вид, например, содержит произведение степенной функции на показательную

(в частности, возможны случаи n=0 или (и) или содержит только линейную комбинацию тригонометрических функций вида

где M и N - постоянные числа, то частные решения неоднородного уравнения следует искать в форме, указанной в таблице 2 (в нее для полноты включен также общий случай).

Таблица 2

Структура частного решения уравнения в зависимости от вида правой части

Замечание 2. Правая часть уравнения может содержать только функцию вида или функцию вида . Но частное решение методом подбора следует искать в полной форме, содержащей и и (см. таблицу 2).

Процедура подбора неопределенных коэффициентов показана на примерах.

Пример. Решить уравнение

1). Решаем сначала соответствующее однородное уравнение

Составляем характеристическое уравнение, отыскивая частные решения уравнения в виде . Получаем

.

Корни этого уравнения - действительны и различны. Соответствующие им частные линейно независимые решения ( см. таблицу 1 ) Поэтому общее решение однородного уравнения запишется в виде

(2.36)

2). Находим частное решение заданного неоднородного уравнения методом подбора, так как правая часть - многочлен третьей степени относится к первому из указанных в таблице 2 случаев.

Сравнивая функцию с выражением ,заключаем, что а

Сравниваем с корнями характеристического уравнения. Так как то , и частное решение принимаем в виде

(2.37)

где A,B,C,D - неопределенные коэффициенты.

Подставляем (2.37) в исходное уравнение и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях получающегося равенства:

или

Решая систему алгеабраических уравнений находим коэффициенты: A=-1/8, B=-1/4, C=-3/8, D=1/2

Поэтому (2.38)

Складывая (2.36) и (2.38), получим общее решение уравнения в виде

Пример. Решить уравнение

1). Общее решение однородного уравнения известно (2.36).

2). Находим частное решение неоднородного уравнения, сравнивая правую часть c выражением 2 из таблицы 2:

Получаем .

Сравниваем мнимое число с корнями характеристического уравнения. Так как (j=1,2 - номер корня), то .

Поэтому принимаем

где A и B - неопределенные коэффициенты.

Процедура вычислений имеет вид:

или

или

Приравнивая коэффициенты в обеих частях получившегося тригонометрического равенства при и , получим систему

откуда следует A = 3/8, В=-3.8.

Поэтому частное решение исходного уравнения будет

Общее решение запишется в виде

Пример. Решить уравнение

1). Находим общее решение однородного уравнения

(2.39)

Характеристическое уравнение

имеет комплексные сопряженные кори: ,

Частные решения уравнения (2.39) будут (см. таблицу 1,случай 2a)

Поэтому

2). Находим частное решение неоднородного уравнения. Сравниваем правую часть c общим выражением (1) из таблицы 2:

Видно, что в данном случае n=1, .

Так как (j=1,2), то m=0, поэтому принимаем ( см. табл.2, случай 2А ):

где A и B - неопределенные коэффициенты. Находим их, используя стандартную процедуру:

Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем

откуда следует B=10/49.

Следовательно,

Окончательно имеем

Пример. Решить уравнение

1). Однородное уравнение . Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет мнимые корни . Поэтому частные решения однородного уравнения будут (см. табл. 1, случай 2б ) . Общее решение примет вид

2). Находим сначала частное решение неоднородного уравнения

Сравниваем с выражением (см. табл.2, случай 2 ). Получаем Т=5. Сравниваем с корнями Так как , то Поэтому принимаем Тогда

Характеристики

Список файлов книги