1175262 (516241)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Ч _ 2 _16 _ 08n m83опыт состоит из последовательного брасания монеты (n + m) раз.Очевидно, что1) каждое бросание монеты событие независемое2)вероятность выпадения герба или цифры при каждом бросании 1/ 2интересующие нас событие состоится, если осуществятся одновременнодва взаимно независемых события :А = {при первых ( n + m − 1) бросках герб выпадет ровно (n − 1) раз}B = {при последнем броске выпадает герб}Очевидно, что по биномиальному распределениюn −1m101111P( A) = C⋅   ⋅   = C107 ⋅   , а P( B ) =2222т.к.

события A и B независемы, то искомая вероятность равнаn −1n + m −1 1  1 10!  1 Px = P ( A) ⋅ P ( B) = C ⋅   ⋅ =⋅   = 5.85% 2  2 7!⋅ 3!  2 1071011Ч _ 2 _18 _ 08n n115 1n22p1p20.13 0.17n3 = n − n1 − n2 = 12p3 = 1 − p1 − p2 = 0.7A = {получено n1 крупных выйгрышей и n2 мелких}любой билет из n может быть с крупным выйгрышем, с мелким выйгрышем ибез выйгрыша. Причем эти события попарно несовместны.

Тогда P( A) можнонайдти по полиномиальной схемеP ( A) = Pn (n1 , n2 , n3 ) =n!15!⋅ p1n1 ⋅ p2n2 ⋅ p3n3 =⋅ 0.131 ⋅ 0.17 2 ⋅ 0.712 = 7.09%n1!⋅ n2!⋅ n3!1!⋅ 2!⋅ 12!Ч _ 2 _ 20 _ 08np k1 k2100 0.6 40 50т.к. n достаточно велико, воспользуемся приближенной формулой , основанной наинтегральной теореме Муавра − Лапласа. x = x( k1 ) = −4.08k − npk − np=⇒ 1npqn ⋅ p ⋅ (1 − p ) x2 = x( k2 ) = −2.04Pn ( k1 ; k2 ) = ϕ ( x2 ) − ϕ ( x1 )x=Pn ( k1 ; k2 ) = −0.479 + 0.499 = 2.05%замечаниеϕ ( x) − функция Лапласа ( таблица значений в задачнике Чудесенко, стр 114)Ч_2_21_8Дана плотность распределения вероятностей p ( x) . Найти: γ , математическоеОжидание M ξ дисперсию D ξ , вероятность выполнения неравенства x1 < ξ < x2 .1)2)x1 = −11/(γ + 1.5), x ∈ [−1.5; 2.5]p ( x) = .x2 = 0, x ∈ [−1.5; 2.5] 02.5112.5 + 1.52.5∫−1.5 γ + 1.5 dx = 1 ⇒ γ + 1.5 x −1.5 = 1 ⇒ γ + 1.5 = 1 ⇒ γ = 2.5 .Mξ =+∞∫2.5xp ( x)dx =−∞3)∫−1.5xdx1 x2= ⋅2.5 + 1.5 4 2Dξ = M ξ − ( M ξ ) =222.5∫−1.52.5=−1.51⋅ (6.25 − 2.25) = 0.5 .8x1 x3dx − 0.52 = ⋅2.5 + 1.54 32.52− 0.25 =−1.51⋅ (15.625 + 3.375) − 0.25 =1219 1 4=− =12 4 3x4)Функция распределения F ( x) равна: F ( x) =приx ≤ -1.5F ( x) = 0-1.5 < x ≤ 2.5 F ( x) =приx > 2.5 F ( x) = 1 .∫−1.55)поэтому.xпри∫ p( x)dx ,−∞11dx = x2.5 + 1.54x−1.51= ( x + 1.5 ) .411P ( - 1 < ξ < 0 ) = F (0) − F (−1) = (0 + 1) = , т.к.

числа x1 , x2 принадлежат44интервалу ( -1.5; 2.5].Найти число γ , математическое ожидание M ζ , дисперсию Dζ ,функцию распределения, вероятность выполнения неравенства x1 < ζ < x2 .214a = −3 , b = −4 , c = 2 , x1 = ,x2 = , p ( x) = γ e − 3 x − 4 x + 233Ч_2_22_ 8+∞1) Число γ находим из условия∫ γe− 3 x2 − 4 x + 2dx = 1 .(1)−∞Используем формулу+∞∫ γeПолучаем:− 3 x2 − 4 x + 2dx = γ+∞6+∞∫−∞=+∞x⋅1+∞∫x2⋅−∞+∞26246(t + )2 e − 3 t dt −=∫392π −∞2π используем результаты вычис − ления интегралов из пункта 262π+∞∫e210− 3 ( x + )2 +33e− 3 ( x−+∞γ e10 / 3 2π ⋅t = x−22(2)dx =2 2)323=2)= .36.2π+∞( ∫ te − t ⋅−∞+∞244t e − 3 t dt +∫3 −∞92−∞22πe− 3 ( x+2 2)3.=. Тогда dt = dx66e −10 / 3 . Тогда p ( x) =2 2dx − () = 3( ∫ (t 2 e − 3 t dt +=612πДелаем замену переменной66 − 3 ( x − 23 )2edx = 2π3) Dζ = M ζ − ( M ζ ) ==dx = γ=1⇒ γ =( ∫ te − 3 t dt +2dx = 1−∞+∞2 согласно2e− 3 t dt ) = ∫(2)3 −∞2π −∞2261121( − lim e − 3 t + lim e − 3 t + ⋅ 2π ⋅x→+∞x→−∞6632π66=2σ 22 2+∞ = γ e10 / 3 e − 3 ( x + 3 ) dx =∫−∞1Mζ =( x − a )2−∞− 3 x2 − 4 x + 2∫eСогласно (1) получаем γ e10 / 3 2π ⋅2)−−∞используем (1)при σ =∫e2π ⋅ σ−∞=+∞1+∞d ( − 3t 2 ) 2+ ∫e− 6t3 −∞−2(t216)2dt ) =делаем замену переменнойt = x−+∞∫2Тогда dt = dx3e − 3 t dt ) −2−∞=4=9+∞24414( ∫ t 2 e− 3 t dt − ⋅ 0 + ⋅ 2π ⋅) − .

Используем392π −∞6 9222d ( − 3t 2 )1− 3 t2метод интегрирования по частям: u = t , du = dt , dv = tedt , v = ∫ te− 3 t dt = ∫ te − 3 t ⋅= − e− 3 t .− 6t66Dζ =2π(−6=+∞222111414lim te − 3 t + lim te − 3 t + ∫ e− 3 t dt +2π ⋅)− =6 x →+∞6 x →−∞6996−∞611414 1( ⋅ 2π ⋅+ ⋅ 2π ⋅)− =.9 62π 66 96x2114) Функция Лапласа есть Φ ( x) =e − t / 2 dt .

Получаем: P(∫32π 0=4/3=∫1/ 362πe− 3 ( x+2 2)3dx = t = ( x +21)⋅ 6 =32π2 6∫e− t2/2<ζ <dt = Φ( 2 6 ) − Φ( 6 ) = 0.5 − 04927 = 0.00736При этом значение Ф( 2 6 ), Ф( 6 ) нашли по таблице.x5) Функция распределения F ( x ) равна: F ( x) =∫−∞4/34) = ∫ p ( x)dx =31/ 3xp ( x)dx =∫−∞6 − 3 ( x + 23 )2edx .2πξ . Найти плотностьДана плотность распределения pξ ( x) случайной величиныЧ_2_25_08pη ( y ) , математическое ожидание M η и дисперсию Dη случайной величины η ,распределениякоторая представляет собой площадь круга радиуса ξ .x ∈ [ a; b] 1/(b − a) 0.5;pξ ( x) = ,a = 2, b = 4, pξ ( x) = ,0x ∈ [ a; b ] 0x ∈ [ 2; 4]x ∈ [ 2.

4].Решение. 1. Площадь круга радиуса ξ равна: η = πξ 2 , причем ξ ≥ 0 . Значит, функция ηявляется монотонно возрастающей. Поэтому справедлива формулаpη ( y ) = pξ [ψ ( y )] ⋅ ψ '( y ) ,где ψ ( y ) - функция, обратная функции y = ϕ ( x) . У нас y = π x = ϕ ( x) ⇒2x=y / π = ψ ( y ) . Находим производную: ψ '( y ) = 1/(2 π y ) .pη ( y ) = pξ [ y / π ] ⋅1/(2 π y ) = 1/(4 π y ) .1 /(4 π y ),pη ( y ) = , 02. Согласно формуле M η =+∞3.Dη =∫ [ϕ ( x) − M η ]2−∞=πy ∈ [4π ; 16 π ]y ∈ [4π ; 16π ]424pξ ( x) dx = ∫ (π x 2 −2y ∈ [4π ; 16π ] ..2∫ ϕ ( x) ⋅ pξ ( x)dx = Mη = ∫ π x ⋅ 0.5dx =−∞+∞28π 2π) ⋅ 0.5dx =322π x32 34∫ (x244⋅−=228π.356 2 784) dx =x +39π 992 3136 1568 544π 2x 56 x 784−+x) 2 =(−+)== 119.3125 .2 5992 5994525(342при x ≥ 0Подставляя в (1), получаем:2 ≤ x ≤ 4, тоТ.к.(1)В итогеЧ_2_27_08Случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятностей pξ ( x ) .

Найтиплотность распределения вероятностей pη ( y ) случайной величины η = ϕ (ξ ) .x ∈ (− 1 ,pξ ( x) =  π 0 ,x ∈ (−π π2;2)η =ξ2.π π; )2 2Решение. Функция y = ϕ ( x) = x 2 монотонна на интервале ( −∞; 0) и монотонна наинтервале (0; + ∞) .Поэтому воспользуемся формулойpη ( y ) = pξ (Ψ1 ( y )) ⋅ Ψ1 '( y ) + pξ (Ψ 2 ( y )) ⋅ Ψ 2 '( y ) ,(1)где x = Ψ1 ( y ) - функция, обратная функции y = x 2 , x ∈ (−∞; 0) , а x = Ψ 2 ( y ) для y = x 2 , x ∈ (0, + ∞) . Находим Ψ1 ( y ) и Ψ 2 ( y ) :обратная функцияприx<0y = x 2 ⇒ x = − y = Ψ1 ( y ) ;приx≥0y = x2 ⇒ x =1Ψ '1 ( y ) = −а)2 y;Ψ '2 ( y ) =при y < 0 pη ( y ) = 0 ,y = Ψ 2 ( y) ;12 y0< y<, при этомт.к. pη ( y ) = Fη '( y ) , аπ24Получаем в итоге :.Fη ( y ) = ∑∫pξ ( x) dx, где ∆ k ( y ) -k ∆k ( y )интервалы, в которых выполняется неравенство ϕ ( x) < y .У нас ϕ ( x) = x 2 ≤ 0 , поэтому при y < 0 неравенствоне выполняется.

Значит, Fη ( y ) = 0 , pη ( y ) = 0 .b) при y ∈ (0,с)π24) по формуле (1) pη ( y ) =−1111.+ ⋅=π 2 y π 2 y π y1⋅π2pη ( y ) = 0 , т.к. неравенство ϕ ( x) < y4Fη ( y ) = 1 и pη ( y ) = 0 .при y ≥Приy=0x2 < yпроизводные Ψ '1 ( y ) , Ψ '2 ( y )невыполняется всегда. Значит,существуют..Плотность распределения случайной величины η равна: 1,pξ ( x) =  π y 0 ,y ∈ (0;y ∈ (0;π24π24),).Ч_2_28_08По заданной плотности распределения p1 ( x) случайной величины ξ1 определитьфункцию распределения случайной величины ξ 2 = ϕ (ξ1 ) .Функция ξ 2 = ϕ (ξ1 ) заданаграфически.Построить график функции распределения и, используя дельта-функцию, найтивыражение для плотности распределения p2 ( y ) случайной величины ξ 2 .21 − x2p1 ( x ) =e .2πРешение.Функция распределения F2 ( y ) случайной величины ξ 2 выражается через плотностьраспределения p1 ( x) случайной величины аргумента ξ1 :F2 ( y ) = ∑k∫∆k ( y )p1 ( x) dx(1)где ∆ k ( y ) - интервалы, в которых выполняется неравенство ϕ ( x) < y .

Суммирование вформуле (1) распространяется на все интервалы. 3 , ξ1 < 3Из условий примера следует, что ξ 2 =  − ξ1 , ξ1 ∈ [ − 3; 3] . − 3 , ξ1 > 3Величина ξ 2 , очевидно, принимает значения только из отрезка [− 3; 3]a) y ≤ − 3 . Неравенство ϕ ( x) < y не выполняется. Поэтому F2 ( y ) = 0 .b) y = − 3 . Тогда(+∞+∞) ∫ p ( x ) dx = ∫P (ξ 2 = − 3) = P ξ1 > 3 =ξ33−∫01e2πx2−2dx = 0.5 − Φгде Φ ( x ) =12πx∫e−x22321 − x2e dx =2π+∞∫021 − x2e dx −2π( 3 ) = 0.5 − Φ (1.73) = 0.5 − 0.4582 = 0.0418dx , Φ ( x ) есть функция Лапласа, значения которой находят по0таблице,причем, Φ ( +∞ ) = 0.5 , Φ ( − x ) = −Φ ( x )с) − 3 < y ≤ 3 .

Тогда() () ∫ p ( x ) dx + 0.04183F2 ( y ) = P (ξ 2 < y ) = P − y < ξ1 ≤ 3 + P ξ1 = − 3 =3=∫−y21 − x2e dx + 0.0418 = Φ2π1=−y( 3 ) − Φ ( − y ) + 0.0418 == 0.4582 + Φ ( y ) + 0.0418 = Φ ( y ) + 0.5d) y = 3 . Тогда() (− 3) ∫P ξ 2 = 3 = P ξ1 < − 3 =−∞2()1 − x2e dx = Φ − 3 − Φ ( −∞ ) = −Φ2π( 3) + Φ (∞) == 0.5 − 0.4582 = 0.0418 = p2е) y > 3 . Тогда Fη ( y ) = 1 , т.к. неравенство ϕ ( x ) < y выполняется всегда .0 , y ≤ − 3Таким образом F2 ( y ) = Φ ( y ) + 0.5, − 3 < y ≤ 31, y > 3График функции приведен на следующем рисункеЗапишем F2 ( y ) в виде:nF2 ( y ) = F%2 ( y ) + ∑ pk ⋅ η ( y − yk )(2)k =1где F%2 ( y ) - непрерывная функция, yk - точки разрыва функции F2 ( y ) , pk - скачки 1,функции в точках yk .

При этом η ( y ) =  0,y>0y≤0(, η ' ( y ) = δ ( y ) − дельта - функция)(Формула (2) имеет вид : F2 ( y ) = F%2 ( y ) + 0.0418 ⋅η y + 3 + 0.0418 ⋅η y − 3)0 , y ≤ − 3 ,Где непрерывная часть есть F%2 ( y ) = Φ ( y ) + 0.4582 , − 3 < y ≤ 3 .0.9164 , y > 3nОтсюда по формуле p2 ( y ) = p% 2 ( y ) + ∑ pk ⋅ δ ( y − yk )(3)k =1где p% 2 ( y ) = F% '2 ( y ) ,Находим плотность распределения: 1 −ye 2 , y ∈ [− 3; 3]=  2π−0 , y ∈[− 3; 3]2Гдеp2 ( y )p2 ( y ) =∼p2 ( y ) + 0.0418 ⋅ δ ( y +)()3 + 0.0418 ⋅ δ y − 3 ,.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов решённой задачи