TMM_Leonov (514470), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Выбор метода расчета оптимальных параметров, оказывающих определяющее влияние на время и точность поиска оптимального решения.Простейшие задачи оптимального проектирования можно решать аналитическими методами классического вариационного исчисления. В этом случае задача оптимизациисводится к задаче отыскания экстремума частных функционалов Фi. Подобно тому, как условием существованияэкстремального значения непрерывной функции являетсяравенство нулю ее первой производной, в вариационномисчислении доказано, что необходимым условием экстремума интегрального критерия качества Фi является равенство нулю его первой вариации – линейной части приращения функционала при приращении аргументов, в качествекоторых выступают подлежащие определению параметрымеханизма.
При большом числе конструктивных параметров задачи нахождения оптимума, как правило, не имеютаналитического решения, и приходится прибегать к нахождению оптимальных значений путем перебора (случайногоили упорядоченного) различных комбинаций искомых параметров с использованием ЭВМ.В идеальном случае при решении многокритериальнойзадачи каждый частный критерий Φi имеет свое экстремальное значение (минимум).
На практике частные критерии противоречивы (например, критерий быстродействияи экономичности) и оптимальные параметры, полученныепо различным критериям, имеют разные значения (Ui)опт(рис. 2.2). В общем случае каждый частный критерий выделяет свое множество оптимальных решений, поэтому необходимо учитывать сведения об относительной важностичастных критериев. Это означает, что критерии будут строгоупорядочены (ранжированы) по значимости таким образом,что следует добиваться приращения более важного критерия за счет уступок по остальным Φi. Этот процесс можетГлава 2. Общие сведения о показателях качества машин56ФiФ1Ф2∆1UiU2оптU1оптдоРис. 2.2.
Переходный процесс разгона машинного агрегатаосуществляться при назначении так называемой «уступки» Δi , точнее допустимых отклонений частных критериевот оптимального значения. При этом образуется допустимая область (ДО), в которой могут быть выбраны значенияоптимизируемых параметров с учётом ограничений.Обеспечение высокой экономичности и производительности новой техники осуществляется в процессе ее проектирования, когда определяются будущие характеристикимашин. Задачи синтеза чрезвычайно сложны и часто онирешаются путем рассмотрения различных вариантов машин.
При динамических расчетах первоначально нередкоприходится идти на определенные упрощения, постепенноусложняя задачу путем учета всех новых факторов и уточнения решения.572.3. Критерии качества машинU2B2B4B3B0B1U1Рис. 2.3. Иллюстрация метода покоординатного спускаЧасто не существует аналитических выражений для вычисления целевой функции, но имеются экспериментальные данные для её определения в некоторых точках области существования функций критериев оптимальности. Длярешения такой задачи оптимизации можно было бы ввести дискретное множество и исследовать его на поиск экстремального значения, как это уже делалось для функцииодной переменной. В многомерных задачах оптимизациитакой подход к решению требует огромного объема вычислений, таким образом, методы поиска путем сплошногоперебора при решении многомерных задач часто не пригодны. Поэтому применимы некоторые численные методы целенаправленного поиска, значительно сокращающиеобъем вычислений.
Поставим задачу следующим образом.Требуется найти минимум целевой функции несколькихоптимизируемых параметров Φi(U1, U2, …, Un). Для этого выберем в n-мерном пространстве оптимизируемых параметров точку B0, которую можно принять в качестве начального приближения. В качестве движения от начальной точкик решению примем направление по одной из осей (например, первой U1), для чего зафиксируем все остальные координаты (U2, U3, ..., Un). Данный метод проиллюстрировандля случая целевой функции Φi(U1, U2) двух переменных U1и U2 на рис.
2.3, на котором представлены линии постоянного уровня поверхности Φi. Таким образом, рассматривая58Глава 2. Общие сведения о показателях качества машинмногомерную задачу на первом этапе как одномерную, можно перейти от точки B0 к точке B1, в которой целевая функция принимает минимальное значение при варьированииU1 и фиксированных значениях остальных переменных. Таким образом, сделан первый шаг оптимизации, состоящийв движении по координате U1, и найдена новая начальнаяточка B1 для последующего движения по другой координате U2. Для нахождения следующего уточнения зафиксируемвсе координаты, кроме U2, и снова решим одномерную задачу оптимизации. Аналогично можно провести движение повсем остальным координатам, после чего процедура можетбыть повторена снова от U1 до Un.
В результате уточнениярешения получается последовательность точек B0 , B1 ,…, Bnи можно рассматривать последнее значение целевой функции как наименьшее.Даже на примере целевой функции двух независимыхпеременных U1 , U2 очевидно, что в случае изломов в линиях уровня целевой функции Φi(это соответствует так называемому «оврагу») применение метода покоординатногоспуска затруднено. Это связано с тем, что возможен случай,когда движение по одной из координат приводит к «спуску» на «дно» оврага, при котором движение по другой координате становится невозможным, так как оно соответствуетвозрастанию функции при любом изменении переменной.Таким образом, простота метода покоординатного «спуска»ограничивает одновременно области его применения и приводит иногда к увеличению объема вычислений.В некоторых случаях идут на организацию обобщённого Фо аддитивного критерия оптимальности, зависящегоот частных критериев качества ФiФо = ΣC i Фi ,где Ci – весовой коэффициент, который может приниматьразличные значения в зависимости от важности частногокритерия.Чтобы облегчить поиск оптимального решения удобнопроизвести сведение задачи к безусловной оптимизациибез рассмотрения ограничений.
Для этого при формировании обобщённого критерия оптимальности целесообразнопойти на включение в него барьерных или штрафных функций, принимающих неограниченное значение при приближении к зоне ограничений. Универсальным методом явля-2.3. Критерии качества машин59ется метод, в котором в критерий Фо включается штрафнаяфункция hi (Ui), резко увеличивающая значения критерияу границ ДО изменения оптимизируемых параметров Ui:Фо = ΣC i Фi (U i ) + qi hi (U i ),где qi > 0 – коэффициент штрафа; hi (Ui) – барьерная функция, которая может неограниченно возрастать при приближении к границе ДО вариации переменных проектирования Ui. .Например, известно, что для двигателей нецелесообразна работа в области вблизи холостого хода, где бесконечновозрастает удельный расход энергии g.
Поэтому целевуюфункцию Фо(Ui) желательно выбирать такого вида, чтобыеё величина неограниченно возрастала на «холостом» ходу.Такой характер изменения функции удельного расходаэнергии g(W) от развиваемой мощности свойственен ДВСи асинхронным электродвигателям (у последних при недогрузке увеличивается так называемый «косинус фи» и потери энергии). В качестве безразмерного критерия экономичности расхода энергии часто выбирают удельный расходэнергии или КПД машины.
Во многих случаях применяюткоэффициент использования номинальной мощности Wномдвигателя, оценивающий среднюю развиваемую мощностьза определённое время работы (t1 – t0)t1KW =∫ W (t )dtt0Wном (t1 − t0 ),где t0, t1 – начальное и конечное время работы; W, Wном –текущая и номинальная мощности двигателя.Таким образом, важнейшей задачей при проектированиимашин является создание оптимизационных методов расчета на основе анализа математических моделей, характеризующих экономичность машины и ее динамические качества.Первое, что должен сделать инженер – это представить себемодель машины, т.е.
перейти от реальной конструкции к еёрасчетным уравнениям.60Глава 2. Общие сведения о показателях качества машинВопросы и задания для самоконтроля1. Что называется математической моделью машины?Какие модели вы знаете?2. Назовите общие характеристики и основные требования к машинам.3. В чём заключаются принципы построения САПР?4. В чём состоят унификация, нормализация и стандартизации деталей машин?5.В чём заключаются принципы поиска оптимальногорешения?6.Опишите основные применяемые при проектировании критерии.РАЗДЕЛ IIПРОЕКТИРОВАНИЕПО ДИНАМИЧЕСКИМИ ЭКОНОМИЧЕСКИМ КРИТЕРИЯМГлава 3Модели машиныс жесткими звеньями3.1.
Принципы построения моделейМатематической моделью, как уже было сказано выше,называется система уравнений, используемая в инженерных расчетах. Описание динамических процессов в системе должно быть математическим, поэтому имеет смыслговорить о математической динамической модели како системе уравнений, описывающих динамические процессы в машине. Динамика механической системы связанас изменениями скоростей, в свою очередь определяющихизменение кинетической энергии, поэтому динамическаямодель является частным случаем энергетической, отражающей изменение энергии в машине.
Как её составляющую можно выделить кинематическую модель механизма,описывающую передаточные функции, которые определяют соотношения скоростей и ускорений звеньев безотносительно ко времени и источникам движения, т.е. безрассмотрения реально действующих сил.В зависимости от необходимой точности расчета требования к математической модели различны, поэтому нетсмысла стремиться к созданию универсальной модели,отражающей все свойства машины. Имеют право на существование фракционные модели, отражающие влияниеосновных факторов на качества машин. При этом в модели стараются описать только самые существенные явления, связанные с энергетическими изменениями, оказывающие влияние на динамические и экономическиепараметры машины.3.2.
Кинематическая модель механизма633.2. Кинематическая модель механизмаРасчет кинематических параметров механизма необходим для определения параметров динамической модели.Для механизма со степенью подвижности w = 1 первая передаточная функция получается дифференцированием пообобщённой координате функции положения звеньев, которая может быть найдена методом замкнутого контура, образованного звеньями механизма как векторами. Рассмотримпример кривошипно-ползунного механизма, представленного на рис. 3.1.Из рассмотрения проекций звеньев на ось X получим координату точки В в функции двух переменных ϕ1, ϕ2:X B = (LOA cos ϕ1 + LAB cos ϕ2 ) ,где ϕ1 – угол поворота кривошипа 1, который примемза обобщённую координату;ϕ2 – угол поворота шатуна 2,который зависит от ϕ1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
