lectures (514392), страница 6
Текст из файла (страница 6)
∀ α ∈ [0, ] ∃ χα,n : P {χ2n > χ2α,n } = α, ∃χ1−α,n : P {χ2n >2χ21−α,n } = 1 − α ⇒S2SS22P χ1−α,n < 2 < χα,n = 1 − 2α ⇒ P<σ<= 1 − 2α.σχα,nχ1−α,nnm2a: ïî òåîðåìå Ôèøåðàèìååò ðàñïðåäåëåíèåσ2nonm2õè-êâàäðàò ñ n − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, òî åñòü P χ21−α,n−1 < 2 < χ2α,n−1 = 1 − 2α ⇒σ√√nm2nm2= 1 − 2α.<σ<Pχα,n−1χ1−α,n−115.
Ñðàâíåíèå âûáîðîê : (x11 , . . . xn1 1 ), (x12 , . . . xn2 2 ) íåçàâèñèìûå âûáîðêè; x̄i =·nininiP1 Pn1 m21 + n2 m22xki , m2i = · (xki −x̄i )2 (i = 1, 2); òîãäà, ïî òåîðåìå Ôèøåðà, χ2n1 +n2 −2 =ni k=1σ2k=1èìååò ðàñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò ñ n1 + n2 − 2 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.4.Îöåíêà äëÿσïðè íåèçâåñòíîìx̄1 − x̄2 − (a1 − a2 )q2pσ2+ nσ2(x̄1 − x̄2 − (a1 − a2 )) n1 n2 (n1 + n2 − 2)n1pτn1 +n2 −2 = r=⇒n1 m21 + n2 m22(n1 m21 + n2 m22 )(n1 + n2 )(n1 + n2 − 2)σ 2s((n1 m21 + n2 m22 )(n1 + n2 )< |a1 − a2 | <P |x̄1 − x̄2 | − tα,n1 +n2 −2 ·n1 n2 (n1 + n2 − 2)s)(n1 m21 + n2 m22 )(n1 + n2 )< |x̄1 − x̄2 | + tα,n1 +n2 −2 ·= 1 − 2α.n1 n2 (n1 + n2 − 2)Îïðåäåëèâ äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë, ìîæíî ñäåëàòü ïðåäïîëîæåíèå î ïðèíàäëåæíîñòèäâóõ âûáîðîê ê îäíîé è òîé æå èëè ðàçíûì ãåíåðàëüíûì ñîâîêóïíîñòÿì.Çàìå÷àíèå: åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû x1 , .
. . xn ðàñïðåäåëåíû òàê, ÷òî èìåþò äèñïåðñèþ (Mxk = a, Dxk = σ 2 ), òî, ñîãëàñíî öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå, ðàñïðåäåx̄ − aëåíèå σ áëèçêî ê ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó ïðè áîëüøèõ n. Ýòî ïîçâîëÿåò îöåíè√nâàòüÍàïðèìåð, äëÿ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ a è σ ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííûõ ôîðìóë.µnσnµnσnP− uα · √ < p <+ uα · √→ 1 − 2α, n → ∞, ãäå σn2 ëþáàÿ ñîñòîÿòåëüíàÿnnnnîöåíêà σ 2 .4.3.Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ïðîâåðêà ãèïîòåç.241. Ñ ïîìîùüþ èíòåðâàëüíûõ îöåíîê : ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíîñ ïàðàìåòðàìè (a, σ); ãèïîòåçà ñîñòîèò â òîì, ÷òî Mξ = a0 ; èç 4.2rm2= 2α.P |x̄ − a0 | > tα,n−1 ·n−1rm2Åñëè, ñîãëàñíî èçìåðåíèÿì, |x̄ − a0 | > tα,n−1 ·, òî ãèïîòåçà îòâåðãàåòñÿ; â ýòîìn−1ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü îòêàçà îò âåðíîé ãèïîòåçû ðàâíà 2α.2.
Êðèòåðèé õè-êâàäðàò : ãèïîòåçà óòâåðæäàåò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà xk èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x). Âûáåðåì ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà z1 , . . . zr : z1 < . . . < zr . Åñëè ãèïîòåçà âåðíà, òî pl = P {xk ∈ [zl , zl+1 )} = F (zl+1 ) − F (zl ). Ïóñòü ml ÷èñëî ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòà, ïîïàâøèõ â îòðåçîê [zl , zl+1 ); â ñëó÷àå âåðíîãî ïðåäïîëîæåíèÿ Mml = npl ; ìåðîér+1P (mi − npi )2, ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé áëèçêî ê ðàñïðåäåëåðàñõîæäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ηn,r =i=1 npi (1 − pi )íèþ õè-êâàäðàò ñ r ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ïîýòîìó P {ηn,r < C} → P {χ2r < C}, n → ∞, ãäå Cîïðåäåëÿåòñÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ, êîòîðàÿ ðàâíà âåðîÿòíîñòè îòêàçà îò âåðíîéãèïîòåçû.3.
Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà :Òåîðåìà 1 (Êîëìîãîðîâà áåç äîêàçàòåëüñòâà):√n · sup|Fbn (x) − F (x)| < z → K(z), n → ∞, ãäåPx∈R0, z ≤ 0K(z) =+∞P2 2(−1)k e−2k z , z > 0.k=−∞Òåîðåìà ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü zα : 1 − K(zα ) = α; òîãäàzαzαbbP Fn (x) − √ < F (x) < Fn (x) + √→ 1 − α, n → ∞.nnÎïðåäåëåíèå: ñòàòèñòèêîé êðèòåðèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, çíà÷åíèå êîòîðîé îïðåäåëÿåò ïðèíÿòèå ãèïîòåçû èëè îòêàç îò íå¼ (íàïðèìåð, ηn,r äëÿ êðèòåðèÿ õè-êâàäðàò).nÊðèòè÷åñêîé îáëàñòüþ íàçûâàåòñÿ îáëàñòü R , â êîòîðîé ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ ïðåâûøàåò âåëè÷èíó, çàäàííóþ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ.Îïðåäåëåíèå: ãèïîòåçà H ïðîñòà, åñëè îíà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèåâûáîðêè, è ñëîæíà â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.Îïðåäåëåíèå: ïóñòü H0 , H1 ïðîñòûå êîíêóðèðóþùèå ãèïîòåçû; S êðèòè÷åñêàÿîáëàñòü.
Îøèáêîé ïåðâîãî ðîäà α = P0 {x ∈ S} íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü îòâåðãíóòü ãèïîòåçó H0 â òîì, ñëó÷àå, êîãäà îíà âåðíà; îøèáêîé âòîðîãî ðîäà β = P1 {x 6∈ S} íàçûâàåòñÿâåðîÿòíîñòü ïðèíÿòü ãèïîòåçó H0 â òîì ñëó÷àå, êîãäà îíà ëîæíà. ×èñëî 1 − β íàçûâàþòìîùíîñòüþ êðèòåðèÿ.Òåîðåìà 2 (êðèòåðèé Íåéìàíà-Ïèðñîíà áåç äîêàçàòåëüñòâà): ïóñòü ãèïîòåçû H0 è H1→→→→→→çàäàþò ôóíêöèè p0 (−x ) è p1 (−x ); Sc = {−x |p1 (−x ) ≥ cp0 (−x )}.
Ïóñòü ∀ α ∈ [0; 1] ∃ c: P0 {−x ∈Sc } = α; òîãäà íàèáîëåå ìîùíûì (ïðè ôèêñèðîâàííîì α) ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèé, îïðåäåëÿåìûé îáëàñòüþ Sc .4.4.Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.25Ïóñòü çàäàí íàáîð ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé (òî÷åê) (x1 , y1 ), . . . (xn , yn ), êîòîðûé òðåáóåòñÿ àïïðîêñèìèðîâàòü (ïðèáëèçèòü) ëèíåéíîé ôóíêöèåé y = ax + b, ïðè÷¼ì ∀ i = 1, n yi =axi + b + δi , ãäå δi íåçàâèñèìû è ðàñïðåäåëåíû íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè(0, σ). ÂîñïîëünP1122çóåìñÿ êðèòåðèåì ïðàâäîïîäîáèÿ: L(y, a, b, σ ) = √· exp − 2 (yi − axi − bi ) .σ i=1( 2πσ)nÒîãäàn∂ ln L2 X= 2·xi (yi − axi − b) = 0,∂aσ i=1n2 X∂ ln L= 2·(yi − axi − b) = 0,∂bσ i=1n∂ ln Ln1 X=−+·(yi − axi − b)2 = 0.∂(σ 2 )2σ 2 σ 4 i=1Âûáåðåì xi :nPxi = 0; â ýòîì ñëó÷àåi=1nP∗a =xi yik=1nPnn1 X2 X∗2yi , σ = ·(yi − a∗ xi − b∗ )2 ., b = ·n i=1n i=1∗x2ii=1Ïîäñòàâëÿÿ yi = axi + b + δi , ïîëó÷èìb∗a =a+nPi=1nPnPxi+x2ii=1xi δii=1nP, b∗ = b + ax2inXi=1xi +n1 X·δi ⇒ Ma∗ = a, Mb∗ = b,n i=1i=1òî åñòü ïîëó÷åííûå îöåíêè ÿâëÿþòñÿ íåñìåù¼ííûìè.Òîò æå ðåçóëüòàò ìîæåò áûòü ïîëó÷åí ïðè ìèíèìèçàöèè ôóíêöèè Q(a, b) =nP(yi − axi − b)2 , ïîýòîìó òàêîé ìåòîä àïïðîêñèìàöèè íàçûâàþò ìåòîäîì íàèìåíü=i=1øèõ êâàäðàòîâ(ÌÍÊ).26Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëüσ -àëãåáðà, 3Àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèåìíîãîìåðíîå, 13ïðèìåðû, 13îäíîìåðíîå, 11ïðèìåðû, 11Àëãåáðà, 3áîðåëåâñêàÿ, 10Àñèìïòîòè÷åñêàÿ íîðìàëüíîñòü, 21Áàéåñà ôîðìóëà, 8Áåðíøòåéíà ïðèìåð, 8Áåðíóëëè ñõåìà, 8Áåðíóëëèåâñêîå ðàñïðåäåëåíèå, 11Áåðòðàíà ïàðàäîêñ, 7Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, 11äèñïåðñèÿ, 18ìàò.
îæèäàíèå, 17Áîëüøèõ ÷èñåë çàêîí, 20Áóëåàí, 2Âàðèàöèîííûé ðÿä, 23Âåðîÿòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèå, 10Âåðîÿòíîñòè àêñèîìû, 5Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, 5èíäóöèðîâàííîå, 11Âåðîÿòíîñòü, 5ãåîìåòðè÷åñêàÿ, 7êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå, 7ñâîéñòâà, 6óñëîâíàÿ, 7Âûáîðêà, 23áåç âîçâðàùåíèÿ, 3èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, 3íåóïîðÿäî÷åííàÿ, 3ñ âîçâðàùåíèåì, 3óïîðÿäî÷åííàÿ, 3Âûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå, 11Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü, 3Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå, 11ìàò. îæèäàíèå, 17Ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå, 11äèñïåðñèÿ, 18ìàò.
îæèäàíèå, 17Ãèïîòåçà, 26ïðîñòàÿ, 26ñëîæíàÿ, 26Ãèñòîãðàììà ðàñïðåäåëåíèÿ, 23Äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèåìíîãîìåðíîå, 13îäíîìåðíîå, 11ïðèìåðû, 11Äèñïåðñèÿ, 18ïðèìåðû, 18ñâîéñòâà, 18Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë, 24Äâîè÷íûé âåêòîð, 3Èíäèêàòîðû, 17Èñõîä ýëåìåíòàðíûé, 5Êîâàðèàöèÿ, 19ñâîéñòâà, 19Êîëìîãîðîâàêðèòåðèé, 26òåîðåìà, 26Êîìïîçèöèè ôîðìóëà, 15Êîøè ðàñïðåäåëåíèåìàò. îæèäàíèå, 18Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè, 19ñâîéñòâà, 19Êðèòåðèÿìîùíîñòü, 26ñòàòèñòèêà, 26Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü, 26Ëåáåãà òåîðåìà, 12Ëÿïóíîâà òåîðåìà, 21Ìàðêîâàíåðàâåíñòâî, 20òåîðåìà, 20Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, 16ïðèìåðû, 17ñâîéñòâà, 16Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, 27Ìíîæåñòâäîïîëíåíèå, 2îáúåäèíåíèå, 2îòîáðàæåíèå, 2ïåðåñå÷åíèå, 2ðàâåíñòâî, 2ðàçíîñòü, 2ýêâèâàëåíòíîñòü, 2Ìíîæåñòâî, 2áåñêîíå÷íîå, 2áîðåëåâñêîå, 10êîíå÷íîå, 2êîíòèíóàëüíîå, 2ïóñòîå, 227ñ÷¼òíîå, 2Ìîìåíòàáñîëþòíûé, 19öåíòðàëüíûé, 19ñìåøàííûé, 19öåíòðàëüíûé, 19Ìîìåíòûâûáîðî÷íûå, 23âûáîðî÷íûå öåíòðàëüíûå, 23Ìîðãàíà çàêîíû, 2Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà, 2Ìóàâðà-Ëàïëàñà òåîðåìàèíòåãðàëüíàÿ, 9ëîêàëüíàÿ, 9Íåéìàíà-Ïèðñîíà êðèòåðèé, 26Íåïðåðûâíîñòè àêñèîìà, 5Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèåäâóìåðíîå, 13äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû, 24, 25íåâûðîæäåííîå, 19îäíîìåðíîå, 12äèñïåðñèÿ, 18ìàò.
îæèäàíèå, 17ñòàíäàðòíîå, 12Îáðàç, 2Îöåíêàèíòåðâàëüíàÿ, 24ñïîñîáû ïîëó÷åíèÿ, 24òî÷å÷íàÿ, 24íåñìåù¼ííàÿ, 24ñîñòîÿòåëüíàÿ, 24Îøèáêàâòîðîãî ðîäà, 26ïåðâîãî ðîäà, 26Ïàñêàëÿ ðàñïðåäåëåíèå, 11ìàò. îæèäàíèå, 17Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿìàðãèíàëüíàÿ, 13ìíîãîìåðíàÿ, 13îäíîìåðíàÿ, 11Ïîäìíîæåñòâî, 2Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, 12ìàò. îæèäàíèå, 17Ïîëèãîí ÷àñòîò, 23Ïîëèíîìèàëüíàÿ ñõåìà, 8Ïîëíîé âåðîÿòíîñòè ôîðìóëà, 8Ïðàâäîïîäîáèÿêðèòåðèé, 24ôóíêöèÿ, 24Ïðîîáðàç, 2ïîëíûé, 2Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, 5äèñêðåòíîå, 6Ïóàññîíàðàñïðåäåëåíèå, 11äèñïåðñèÿ, 18ìàò.
îæèäàíèå, 17òåîðåìà, 9Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèåàáñîëþòíî íåïðåðûâíîåìíîãîìåðíîå, 13îäíîìåðíîå, 12äèñêðåòíîå, 11äèñïåðñèÿ, 18ìàò. îæèäàíèå, 17Ñâ¼ðòêè ôîðìóëà, 15Ñëîæåíèÿïðàâèëî, 3òåîðåìà, 6òåîðåìà îáîáù¼ííàÿ, 6Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, 10Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûíåçàâèñèìûå, 13íåêîððåëèðîâàííûå, 19Ñëó÷àéíûé âåêòîð, 12Ñìåñü ðàñïðåäåëåíèé, 12Ñîáûòèå, 5îáðàòíîå, 5ñëó÷àéíîå, 5ñòîõàñòè÷åñêîå, 5ýëåìåíòàðíîå, 5Ñîáûòèéïîëíàÿ ãðóïïà, 8ïðîèçâåäåíèå, 5ðàçíîñòü, 5ñóììà, 5Ñîáûòèÿíåçàâèñèìûå, 7íåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè, 7Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå, 18Ñòàòèñòèêà, 24Ñòüþäåíòà ðàñïðåäåëåíèå, 24Ñõîäèìîñòè òåîðåìà, 22Ñõîäèìîñòüâ ñðåäíåì, 21ïî âåðîÿòíîñòè, 20ïî ðàñïðåäåëåíèþ, 21ñëàáàÿ, 21Óìíîæåíèÿïðàâèëî, 328òåîðåìà, 7òåîðåìà îáîáù¼ííàÿ, 7Ôèøåðà òåîðåìà, 24Ôóíêöèÿáîðåëåâñêàÿ, 14ðàñïðåäåëåíèÿìàðãèíàëüíàÿ, 13ìíîãîìåðíàÿ, 13îäíîìåðíàÿ, 10ñèíãóëÿðíàÿ, 12ñâîéñòâà, 10óñëîâíàÿ, 16ýìïèðè÷åñêàÿ, 23ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, 14ðàñïðåäåëåíèå, 14Õè-êâàäðàòêðèòåðèé, 24, 26ðàñïðåäåëåíèåñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, 24ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû, 14Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà, 21×àñòîòà, 5×åáûøåâàíåðàâåíñòâî, 20òåîðåìà, 2029.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
