lectures (514392), страница 5
Текст из файла (страница 5)
òåîðåìó 4 (3.4)). DSn 4 ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N: ∀ n ≥ N 2 < ε3 , íî, ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó ×åáûøåâà,nSn SnD nSn DSnSnSn P∀ n≥N P −M ≥ε ≤< 2 2 <ε⇒−M−→ 0, n → ∞. nnε2nεnnÒåîðåìà 3 (×åáûøåâà): ξ1 , . . . ξn , . . . ïîïàðíî íåêîððåëèðîâàííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ìàò. îæèäàíèå è äèñïåðñèþ; ∃ C ≥ 0: ∀ k ∈ N Dξk ≤ C . Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξk }k∈N óäîâëåòâîðÿåò çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë.n1 PnCC4 2·Dξk ≤ 2 =→ 0, n → ∞, òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξk }k∈N óäîâëåòâîn k=1nnðÿåò çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë ïî òåîðåìå Ìàðêîâà.
Òåîðåìà 4 (Áåðíóëëè): ñëó÷àéíûåâåëè÷èíûµn ðàñïðåäåëåíû áèíîìèàëüíî ñ ïàðàn µo nìåòðàìè (n, p); òîãäà ∀ ε > 0 P − p < ε → 1, n → ∞.n0, pnP4 µn =ξi , ξi =⇒ (ïî òåîðåìå ×åáûøåâà) {ξk }k∈N óäîâëåòâîðÿåòi=11, q = 1 − p20n µoµnµnµnP nçàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë ⇒−M=−p −→ 0, n → ∞ ⇒ P − p < ε → 1,nnnnn → ∞. Ïðèìåðû:1) Îöåíêà âåðîÿòíîñòè óñïåõà â ñõåìå Áåðíóëëè: P {|µn − np| ≥ ε} =npqDµn= 22εε(Mµn = np, Dµn = npq ñì.
3.4).2) Îöåíêà äîëè áðàêà ïî êîíòðîëüíîé âûáîðêå: ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì (áåëûå øàðû áðàêîâàííûå èçäåëèÿ); ïóñòü n ÷èñëî èçäåëèéâ êîíòðîëüíîé âûáîðêå, N îáú¼ì ïàðòèè èçäåëèé, M ÷èñëî áðàêîâàííûõ èçäåëèé âîâñåé ïàðòèè, ξ ÷èñëî áðàêîâàííûõ èçäåëèé â âûáîðêå. Òîãäà, ñîãëàñíî 3.4, Mξ1 MM N −nξ=, D= ·1−⇒ (íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà)MnNnn NN N −1ξM M N −n1 M⇒P − ≥δ ≤ 21−.nNnδ NN N −1(1)(m)Òåîðåìà 5 (Ñëóöêîãî áåç äîêàçàòåëüñòâà): g(λ1 , .
. . λm ) ∈ C 1 (Rm ); ξn , . . . ξn ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; ∀ i = 1, mCi , n → ∞. Òîãäàg(C1 , . . . Cm ), n → ∞.Îïðåäåëåíèå: ξ1 , . . . ξn , . . . ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; {ξk }k∈N ñõîäèòñÿ â ñðåäíåì ïîðÿäêà r ∈ N ïðè n → ∞, åñëè M((ξn − n)r ) → 0, n → ∞ (â ÷àñòíîñòè, ïðè r = 2 ðåàëèçóåòñÿñõîäèìîñòü â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì ).(i) Pξn −→(1)(m) Pg(ξn , .
. . ξn ) −→Îïðåäåëåíèå: F1 (x), . . . Fn (x), . . . ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíd→ ξ, n → ∞), åñëèξ1 , . . . ξm , . . . ; {ξk }k∈N ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ (ñëàáî ñõîäèòñÿ : ξn −∀ x ∈ R: F ∈ C(x) ∃ lim Fn (x) = F (x) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ξ .n→∞ξn − A d→ η,−Îïðåäåëåíèå: ξ1 , . . . ξn , . . .
ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; åñëè ∃ B > 0, A : ηn =B2u1 Rxãäå η èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (Fηn (x) → √ · e− 2 du = Φ(x), n →2π −∞∞), òî {ξk }k∈N àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíà ñ ïàðàìåòðàìè (A, B).Òåîðåìà 6 (öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà áåç äîêàçàòåëüñòâà): ξ1 , .
. . , ξn , . . . nPîäèíàêîâî ðàñïðåäåë¼ííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; Mξn = a, Dξn = σ 2 ; Sn =ξk . Òîk=1RSn − na√ãäà P<x⇒ Φ(x) (òî åñòü Sn àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíà ñ ïàðàìåòðàìèn→∞√ σ n(na, σ n)).Ñëåäñòâèå: µn ðàñïðåäåëåíà áèíîìèàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè (n, p); òîãäà µn = ξ1 +.
. .+ξn ,ãäå ξi áåðíóëëèåâñêèå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû (èíäèêàòîðû). Òîãäà {µn }n∈N àñèìïòîòè÷åñêè√íîðìàëüíà ñ ïàðàìåòðàìè (np, npq), òî åñòü èíòåãðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà ÌóàâðàËàïëàñà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû.Òåîðåìà 7 (Ëÿïóíîâà áåç äîêàçàòåëüñòâà): ξ1 , . .
. ξn , . . . ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìånnnPPPþùèå òðåòèé öåíòðàëüíûé ìîìåíò; Sn =ξk , An =Mξk , Bn2 =Dξk , Cn3 =k=1k=1k=1nPSn − MSn3 Cn√M|ξk − Mξk | ;→ 0, n → ∞; òîãäà P< x → Φ(x), n → ∞.BnDSnk=1Òåîðåìà 8 (ñõîäèìîñòè áåç äîêàçàòåëüñòâà): ξ1 , . . . ξn , . . . ; η1 , . . . ηn , .
. . ñëó÷àéíûåξnP(1)(2)(3).âåëè÷èíû; Fξn → F, n → ∞; ηn −→ C, n → ∞. Jn = ξn + ηn , Jn = ξn ηn , Jn =ηnxÒîãäà FJ (1) → F (x − C), n → ∞; FJ (2) → F (xC), n → ∞; FJ (3) → F, n → ∞ (äâànnnCïîñëåäíèõ ñîîòíîøåíèÿ âåðíû òîëüêî ïðè C > 0).214.4.1.Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.Âûáîðêè è èõ ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè.Îïðåäåëåíèå: x1 , . . .
xn îäèíàêîâî ðàñïðåäåë¼ííûå íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè-÷èíû; íàáîð ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèé (x1 , . . . xn ) íàçûâàåòñÿ âûáîðêîé îáú¼ìà n è îáû÷íî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåçóëüòàòû n îäèíàêîâûõ, íåçàâèñèìûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ýëåìåíòûâûáîðêè ìîãóò áûòü ïåðåñòàâëåíû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èòñÿµn (x)(1)íàçûâàåòñÿ ýìâàðèàöèîííûé ðÿä (x, . . .
x(n) ), x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n) . Fbn (x) =nïèðè÷åñêîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ, ãäå µn (x) ÷èñëî ýëåìåíòîâ âûáîðêè, ìåíüøèõ x.bn (x) − F (x)| ≥ ε} = 0, ãäå F (x) ôóíêöèÿÒåîðåìà 1: ∀ x ∈ R, ∀ ε > 0 lim P {|Fn→∞Pcn (x) èðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí xi (òî åñòü Fbn −→ F, n → ∞) (â äàííîì ñëó÷àå FF (x) ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ñëó÷àíûå âåëè÷èíû).4 Ïðè ôèêñèðîâàííîì x ∈ R µn èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèåñ ïàðàìåòðàìèon µ n(n, p) (p = P {xk < x} = F (x)), ïîýòîìó, ïî òåîðåìå Áåðíóëëè, P − F (x) < ε → 1,nPcn −n→∞⇒F→ F, n → ∞.
Çàìå÷àíèå: âûáðàâ {zi }r+1i=0 ∈ R: − ∞ = z0 < z1 < . . . < zr < zr+1 = +∞ èbbpbk = Fn (zk+1 ) − Fn (zk ) (k = 0, r), ìîæíî ïîñòðîèòü ïðÿìîóãîëüíèêè ñ îñíîâàíèÿìè íàîòðåçêàõ [zk , zk+1 ] è âûñîòîé pbk ; ýòè ïðÿìîóãîëüíèêè ñîñòàâëÿþò ãèñòîãðàììó ðàñïðåäåëåíèÿ ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è íà ðèñóíêå çàêðàøåíû; ëèíèÿ, ñîåäèíÿþùàÿ ñåðåäèíû ñòîðîí ýòèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, îïèñûâàåò ïîëèãîí ÷àñòîò, è áëèçêà êãðàôèêó p(x) ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ èçìåðÿåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.Îïðåäåëåíèå: ÷èñëà aν =n1 P·xν íàçûâàþòñÿn k=1 k, à mν =âûáîðî÷íûìè ìîìåíòàìènn1 P1 P· (xk − x̄)ν öåíòðàëüíûìè âûáîðî÷íûìè ìîìåíòàìè (x̄ = a1 = · xk ).
Ìîìåíòûn k=1n k=1νðàñïðåäåë¼ííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ îáîçíà÷àþòñÿ êàê αν = Mξ , µν = M(ξ − Mξ)ν .Î÷åâèäíî, ÷òî âûáîðî÷íûå ìîìåíòû òàêæå ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.n1 PÏðèìåð: ðàññ÷èòàåì íåêîòîðûå õàðàêòåðèñòèêè a1 è m2 . Mx̄ = ·Mxk = α1 , Dx̄ =n k=1nnn1 Pµ21 P1 P2·Dx=.Ïóñòüy=x−Mx;òîãäàm=·(y−ȳ)=·y 2 − ȳ 2kkkk2kn2 k=1nn k=1n k=1 k!nnX22 X2Mx̄ = Mxk ⇒ Mȳ = x̄ − Mx̄; ·yk ȳ = · (x̄ − Mx̄) yk = 2ȳ⇒n k=1nk=1n1 X12⇒ Mm2 = ·µ2 − M(x̄ − Mx̄) = µ2 − Dx̄ = µ2 1 −.n k=1n22Îïðåäåëåíèå: ξ0 , ξ1 , .
. . ξn íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ñòàíäàðòíîåíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå; òîãäà ñëó÷àéíàÿ√âåëè÷èíà ξn2 = ξ12 +. . .+ξn2 èìååò ðàñïðåäåëåíèåξ0 nõè-êâàäðàò ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, à τn = ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n ñòåïåíÿìèχ2nñâîáîäû.Òåîðåìà 2 (Ôèøåðà áåç äîêàçàòåëüñòâà): x1 , . . . xn íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (a, σ); òîãäà x̄ è m2 íåçàâèñèìû,σnm2ïðè÷¼ì x̄ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (a, √ ), à 2 ðàñïðåäåëåíèåσnõè-êâàäðàò ñ n − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.x̄ − a √Ñëåäñòâèå: ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà √n − 1 èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n − 1m2ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.x̄ − aσ√√x̄ − a √x̄ − an4 √n−1= n−1· √, íî, ïî òåîðåìå Ôèøåðà, σ èìååò ñòàíäàðòíîå√nm2m2nσ√nm2 2íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, à ðàñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò ñ n − 1 ñòåïåíÿìèσñâîáîäû.
4.2.Òî÷å÷íûå è èíòåðâàëüíûå îöåíêè.Îïðåäåëåíèå: ñòàòèñòèêîé íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ ôóíêöèÿ âûáîðêè. Òî÷å÷íàÿ îöåíêàb 1 , . . . xn ), ãäå (x1 , . . . xn ) âûáîðêà. Òî÷å÷íàÿ îöåíêà íàçûâàåòñÿïàðàìåòðà θ ôóíêöèÿ θ(xPb = θ è ñîñòîÿòåëüíîé, åñëè θbn −íåñìåù¼ííîé, åñëè Mθ→ θ, n → ∞.Îïðåäåëåíèå: èíòåðâàëüíîé îöåíêîé ïàðàìåòðà θ íàçûâàþòñÿ ôóíêöèè θ(x1 , . . .
xn )è θ(x1 , . . . xn ): ∀ (x1 , . . . xn ) θ(x1 , . . . xn ) < θ < θ(x1 , . . . xn ). Åñëè P {θ(x1 , . . . xn ) < θ <θ(x1 , . . . xn )} = 1 − 2α, òî [θ, θ] íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíûìè èíòåðâàëîì äëÿ θ, ñîîòâåòñòâóþùèì äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè 1 − 2α.Ñïîñîáû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê:1. Íåïîñðåäñòâåííûé ïîäáîð (êðèòåðèåì ïðàâèëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ áëèçîñòü aν è αν ).2. Ïî íàèáîëüøåìó ïðàâäîïîäîáèþ : ââåä¼ì ôóíêöèþ ïðàâäîïîäîáèÿ L(x1 , . .
. xn , θ) =px1 (x1 , θ) · . . . · pxn (xn , θ) (x1 , . . . xn ðàçíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, à p1 , . . . pn èõ ïëîòíîñòèðàñïðåäåëåíèÿ); îöåíêà äëÿ θ âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû çíà÷åíèå ôóíêöèè L áûëî ìàêñè∂ ln L∂L= 0 (èëè= 0).ìàëüíûì, òî åñòü èç óðàâíåíèÿ∂θ∂θ3. Ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ χ2 : ïðè îöåíêå s ïàðàìåòðîâ (θ1 , . . . θs ) ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷ènP(xk − npk (θ1 , .
. . θs ))2íûáëèçêî ê χ2n+s−1 ; çíàÿ ýòî, ìîæíî îïðåäåëèòü ôóíêöèènp(θ,...θ)(1−p(θ,...θ))k 1sk 1sk=1pk (θ1 , . . . θs ) (k = 1, n), à ñ èõ ïîìîùüþ òî÷å÷íûå îöåíêè äëÿ θ1 , . . . θs .Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:x̄ − aσ : ïî òåîðåìå Ôèøåðà σ èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëü√()n x̄ − a íîå ðàñïðåäåëåíèå, òî åñòü ∃ uα > 0: P σ < uα = 1 − 2α, uα îïðåäåëÿåòñÿ èç √n +∞R − x21σσóðàâíåíèÿ √ ·e 2 dx = α ⇒ P x̄ − uα · √ < a < x̄ + uα · √= 1 − 2α, òî åñòünn2π uα1.Îöåíêàaïðè èçâåñòíîì23σσ äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ a.x̄ − uα · √ , x̄ + uα · √nn2.
Îöåíêà äëÿ a ïðè íåèçâåñòíîì σ : ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ èç òåîðåìû Ôèøåðà τn−1 =x̄ − a √n − 1 èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû; çíà÷èò, ∃ tα,n−1 :√m2rrm2m2< a < x̄ + tα,n−1 ·=P {|τn−1 | < tα,n−1 } = 1 − 2α, ïîýòîìó P x̄ − tα,n−1 ·n−1n−1= 1 − 2α.nPS2(xk − a)2 ⇒ 2 èìååò ðàñïðåäåëåíèå õè3. Îöåíêà äëÿ σ ïðè èçâåñòíîì a: S 2 =σk=11êâàäðàò ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
