lectures (514392), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

. . xn , . . .}; òîãäà P {ξ = xk } = pk > 0,Pp1 p2 . . . pn . . .pk = 1.  ýòîì ñëó÷àå ÷àñòî çàïèñûâàþò:. Î÷åâèäíî, ÷òî â ñëó÷àåx1 x2 . . . xn . . .k∈Näèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ (x) èìååò ðàçðûâû â òî÷êàõ xk âåëè÷èíîé pk .ðàñïðåäåë¼ííîé äèñêðåòíîÏðèìåðû äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé:1): p{ξ = c} = 1.x1 . . . xn.2) Äèñêðåòíîå ðàâíîìåðíîå :1. .

. n1n0, p3) Áåðíóëëèåâñêîå :1, q = 1 − p.4) Áèíîìèàëüíîå ñ ïàðàìåòðàìè (n, p): pk = Cnk pk q n−k (âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ k óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè, ñîñòîÿùåé èç n èñïûòàíèé).C m C n−m5) Ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå : pm = M nN −M (âåðîÿòíîñòü èçâëå÷ü m áåëûõ øàðîâ â âûCNáîðêå áåç âîçâðàùåíèÿ n øàðîâ èç óðíû, ñîäåðæàùåé N øàðîâ, ñðåäè êîòîðûõ M áåëûõ).Âûðîæäåííîå6) Ãåîìåòðè÷åñêîå : pk = pq k (âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ïåðâîãî óñïåõà â ñõåìå Áåðíóëëèïîñëå k íåóäà÷).k7) Ðàñïðåäåëåíèå Ïàñêàëÿ : pk = Cn+k−1pn q k (âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ k íåóäà÷ â ñõåìåÁåðíóëëè äî n-ãî óñïåõà).λk e−λ, λ > 0 (ïðèáëèæåíèå ñõåìû Áåðíóëëè ïðè8) Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà : pk =k!n → ∞ â ñëó÷àå npn → λ, n → ∞ ñì. òåîðåìó Ïóàññîíà).Îïðåäåëåíèå: ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà∃ pξ (x) : ∀ x ∈ R pξ (x) ≥ 0 :R∞pξ (x)dx = 1, ∀ x ∈ R Fξ (x) =−∞, åñëèàáñîëþòíî íåïðåðûâíîRxpξ (t)dt.

 ýòîì ñëó÷àå pξ (x)−∞íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ; î÷åâèäíî, P {x1 ≤ ξ < x2 } =Rx2R= pξ (x)dx, ∀ B ∈ B(R) P {ξ ∈ B} = pξ (x)dx. Äèôôåðåíöèðóÿ ðàâåíñòâî, îïðåäåëÿx1BRxdFξþùåå pξ (x), ïî x, ïîëó÷èì:= pξ (x); ñóùåñòâîâàíèåpξ (t)dt ∀ x ∈ R îçíà÷àåò, ÷òîdx−∞dFξpξ =èìååò íà R êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà, à Fξ êóñî÷íî ïðèíàäëåæèò êëàññódx1C (R).Ïðèìåðû àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé:111)Ðàâíîìåðíîåíà [a, b]: 1 , x ∈ [a, b]pξ (x) = b − a0, x 6∈ [a, b]0, x < a⇒ Fξ (x) = x − a , a ≤ x ≤ bb−a1, x > b(ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà [− h2 , h2 ] îïèñûâàåò îøèáêó îêðóãëåíèÿ ïðè èçìåðåíèè òîéèëè èíîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, åñëè h öåíà äåëåíèÿ ïðèáîðà).2) Ïîêàçàòåëüíîå ñ ïàðàìåòðîì λ:1 − e−λx , x ≥ 0λe−λx , x ≥ 0⇒ Fξ (x) =pξ (x) =0, x < 00, x < 0(îïèñûâàåò âðåìÿ áåçîòêàçíîé ðàáîòû ïðèáîðà ñì.

çàìå÷àíèå).3)Rx−eÍîðìàëüíîå(u−a)22σ 2 du.ñ ïàðàìåòðàìè (a, σ): pξ (x, a, σ) =Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå íàçûâàåòñÿ√1σ 2πe−(x−a)22σ 2⇒ Fξ (x) =1√·σ 2π, åñëè îíî èìååò ïà-ñòàíäàðòíûì−∞ðàìåòðû (0,1); â ýòîì ñëó÷àå Fξ (x) =√12πRxu2e− 2 du = Φ(x). Ðàñïðåäåëåíèå îïèñûâàåò−∞ðàçáðîñ ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèÿ, âûçâàííûé âëèÿíèåì áîëüøîãî ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ.Çàìå÷àíèå: äëÿ ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðíî ñâîéñòâî îòñóòñòâèÿP {ξ ≥ x + y, ξ ≥ x}ïîñëåäåéñòâèÿ, òî åñòü ∀ x, y > 0P {ξ ≥ x + y/ξ ≥ x} ==P {ξ ≥ x}1 − P {ξ < x + y}e−λ(x+y)=== e−λy = P {ξ ≥ y}. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü ðà1 − P {ξ < x}e−λxáîòû ïðèáîðà â òå÷åíèå íåêîòîðîãî âðåìåíè ïîñëå òîãî, êàê îí óæå ïðîðàáîòàë âðåìÿ t0 ,íå çàâèñèò îò âåëè÷èíû t0 .Îïðåäåëåíèå: ïóñòü åñòü n ≥ 2 ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿF1 (x), .

. . Fn (x). F (x) íàçûâàåòñÿ ñìåñüþ ðàñïðåäåëåíèé, çàäàâàåìûõ F1 , . . . Fn , åñëè F (x) =nnPP=αk Fk (x) (αk ≥ 0 ∀ k = 1, n,αk = 1).k=1k=1Òåîðåìà 4 (Ëåáåãà, áåç äîêàçàòåëüñòâà): ëþáàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) ïðåäñòà-âèìà â âèäå ñìåñè ðàñïðåäåëåíèé, çàäàâàåìûõ F1 (x), F2 (x), F3 (x), ãäå F1 ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíî ðàñïðåäåë¼ííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, F2 ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ðàñïðåäåë¼ííîé àáñîëþòíî íåïðåðûâíî, F3 ñèíãóëÿðíàÿ ôóíêöèÿðàñïðåäåëåíèÿ (òà, äëÿ êîòîðîé íåëüçÿ çàäàòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ).3.2.Ìíîãîìåðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.Îïðåäåëåíèå: (Ω, F, P ) âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî; ξ1 , . . .

ξn : Ω → R ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû (n ≥ 2); òîãäà (ξ1 , . . . ξn ): Ωn → R íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíûì âåêòîðîì.Fξ1 ...ξn (x1 , . . . xn ) = P {ξ1 < x1 , . . . ξn < xn } ìíîãîìåðíàÿ ñîâìåñòíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ξ1 , . . . ξn (ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà).→−Òåîðåìà 1 (ñâîéñòâà ìíîãîìåðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ): ξ = (ξ1 , . . . ξn ) ñëó÷àéíûé âåêòîð; Fξ1 ,...ξn (x1 , .

. . xn ) åãî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ; òîãäà1) ∀ x11 , x12 , x2 , . . . , xn ∈ R : x11 < x12 F (x11 , x2 , . . . xn ) ≤ F (x12 , x2 , . . . xn ).122) ∀ k = 1, nlim F (x1 , . . . xn ) = 0,3) ∀ x1 , . . . xn ∈ R, ∀ k = 1, nnPlimxk →−∞F (x1 , . . . xn ) = 1.x1 ,...xn →+∞limxk →xk0 −0F (x1 , . . . xn ) = F (x1 , . . . xk−1 , xk0 , xk+1 , .

. . xn ).4) ∀ ai , bi ∈ R : ai < bi (i = 1, n) P {a1 ≤ ξ1 < b1 , . . . an ≤ ξn < bn } = F (b1 , . . . bn ) −Ppi + pij − . . . + (−1)n F (a1 , . . . an ) ≥ 0, ãäå pij çíà÷åíèå F â òî÷êå, äëÿ êîòîðîé i, j, . . .-i=1i<jûå êîîðäèíàòû áåðóòñÿ êàê ai , aj , . . ., à îñòàëüíûå êàê bl (l 6= i, j, . . .).

 ÷àñòíîñòè, ïðèn = 2 P {a1 ≤ b1 , a2 ≤ ξ2 < b2 } = F (b1 , b2 ) − F (a1 , b2 ) − F (b1 , a2 ) + F (a1 , a2 ).4 Ñâîéñòâà 13 ñëåäóþò èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ äëÿ îäíîìåðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (ñì. 3.1, òåîðåìà 2), à ñâîéñòâî 4 îñòàâèì áåç äîêàçàòåëüñòâà. →−Îïðåäåëåíèå: ñëó÷àéíûé âåêòîð ξ ðàñïðåäåë¼í äèñêðåòíî, åñëè ôóíêöèÿ ξ : Ω → Rnïðèíèìàåò êîíå÷íîå èëè ñ÷¼òíîå ÷èñëî çíà÷åíèé xs = (xs1 , . . .

xsn ); òîãäà P {ξ = xs } =P→−ps ≥ 0 ∀ s,ps = 1. ξ ðàñïðåäåë¼í àáñîëþòíî íåïðåðûâíî, åñëè ∃ pξ1 ...ξn (x1 , . . . xn ): Rn →sRR: ∀ (x1 , . . . xn ) ∈ Rn p(x1 , . . . xn ) ≥ 0, p(x1 , . . . xn )dx1 . . . dxn = 1RnZx1Zxn···Fξ1 ...ξn =−∞p(u1 , . . . un )du1 . . . dun ;−∞∂ nF.òàêèì îáðàçîì, p(x1 , . . . xn ) =∂x1 . . . ∂xn→−Îïðåäåëåíèå: åñëè ξ = (ξ1 , ξ2 ) ñëó÷àéíûé âåêòîð, òî Fξ1 (x), Fξ2 (y) íàçûâàþòñÿìàðãèíàëüíûìè (îäíîìåðíûì) ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ; àíàëîãè÷íî, pξ1 , pξ2 ìàðãèíàëüíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.

Î÷åâèäíî, ÷òîZx Z+∞Z pξ1 ξ2 (u, v)dv  du ⇒ pξ1 (x1 ) = pξ1 ξ2 (x, v)dv.Fξ1 (x) =−∞−∞RÀíàëîãè÷íî â n-ìåðíîì ñëó÷àå ìàðãèíàëüíûå ïëîòíîñòè ïîëó÷àþòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ïîn − 1 ïåðåìåííûì.Ïðèìåðû ìíîãîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé:1)Ðàâíîìåðíîå äâóìåðíîå2)Äâóìåðíîå íîðìàëüíîå0, (x, y) 6∈ Díà îáëàñòè D: pξ1 ξ2 (x, y) = 1 , (x, y) ∈ D.S(D)ñ ïàðàìåòðàìè (a1 , a2 , σ1 , σ2 , ρ):1(x − a1 )22ρ(x − a1 )(y − a2 )(y − a2 )2ppξ1 ξ2 (x, y) =exp − 2+− 2.2σ1 (1 − ρ2 )σ1 σ2 (1 − ρ2 )2σ2 (1 − ρ2 )2πσ1 σ2 1 − ρ2Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ρ èìååò ñìûñë êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõâåëè÷èí ξ1 è ξ2 (ñì.

3.4), à(x − a1 )21(y − a2 )21pξ1 (x) = √exp −, pξ2 (y) = √exp −.2σ122σ222πσ12πσ2Îïðåäåëåíèå: ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . ξn, åñëè1) Fξ1 ...ξn (x1 , . . . xn ) = Fξ1 (x1 ) · . . . · Fξn (xn ) âî âñåõ òî÷êàõ (x1 , . . . xn ), â êîòîðûõ ýòèôóíêöèè îïðåäåëåíû.13íåçàâèñèìû2) ∀ B1 , .

. . Bn ∈ B(R) P {ξ1 ∈ B1 , . . . ξn ∈ Bn } = P {ξ1 ∈ B1 } · . . . · P {ξn ∈ Bn }.Çàìå÷àíèå: ïî òåîðåìå 1 (3.1) äàííûå îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòû; îòìåòèì òàêæå, ÷òîíà íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â ñîâîêóïíîñòè íàêëàäûâàåòñÿ ìåíüøåå ÷èñëî óñëîâèé, ÷åì íà íåçàâèñèìîñòü â ñîâîêóïíîñòè ñîáûòèé. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ñîâìåñòíàÿôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ n ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïîçâîëÿåò çàäàòü ñîâìåñòíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìåíüøåãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, à òàêæå ìàðãèíàëüíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.Òåîðåìà 2 (áåç äîêàçàòåëüñòâà): ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ1 , .

. . ξn ) ðàñïðåäåë¼í äèñêðåòíî; òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû ξ1 , . . . ξn áûëè íåçàâèñèìû, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî P {ξ1 =x1 , . . . ξn = xn } = P {ξ1 = x1 } · . . . · P {ξn = xn } ∀ (x1 , . . . xn ) ∈ Rn .Ñëåäñòâèå: ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îäíà èç êîòîðûõ èìååò âûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå,íåçàâèñèìû (ðàâåíñòâî, çàäàííîå â óñëîâèè òåîðåìû, âûïîëíÿåòñÿ âî âñåõ òî÷êàõ R2 ).Òåîðåìà 3 (áåç äîêàçàòåëüñòâà): ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ1 , . . . ξn ) ðàñïðåäåë¼í àáñîëþòíîíåïðåðûâíî; òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû ξ1 , . . .

ξn áûëè íåçàâèñèìû, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íîpξ1 ...ξn (x1 , . . . xn ) = pξ1 (x1 ) · . . . · pξn (xn ) âî âñåõ òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè ýòèõ ïëîòíîñòåé.3.3.Ôóíêöèè îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Îïðåäåëåíèå: g : Rn → Rm áîðåëåâñêàÿ, åñëè ∀ B ∈ B(Rm ) g −1 (B) ∈ B(Rn ).Òàêèì îáðàçîì, åñëè ξ ñëó÷àéíûé âåêòîð, òî η = g(ξ) òàêæå ñëó÷àéíûé âåêòîð.→−Ðàñïðåäåëåíèå ôóíêöèè îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: ïóñòü ξ ñëó÷àéíûé âåêòîð,→−→g : Rn → Rn áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ, −η = g( ξ ); òîãäà ∀ B ∈ B(Rn )Z−1P {η ∈ B} = P {ξ ∈ g (B)} =ôóíêöèÿpξ (x)dx = (çàìåíà ïåðåìåííûõ â êðàòíîì èíòåãðàëå) =g −1 (B)Z=pξ (g (y))|J(g (y))| dy, ãäå J = det−1−1−1B∂gi∂xjn.i,j=1Ïðèìåð (ðàñïðåäåëåíèå χ2 ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû): ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðå-äåëåíà íîðìàëüíî ñ ïàðìåòðàìè (0,1); òîãäà η = ξ 2 èìååò ðàñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò ñîäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû.

Íàéä¼ì ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ η .√√2P {ξ < y}, y > 0P {− y < ξ < y}, y > 0Fη (y) = P {η < y} ===0, y ≤ 00, y ≤ 0√rR y − x22√ √1e 2 dx, y > 0Φ0 ( y), y > 0√2ππ==− y0, y ≤ 0,0, y ≤ 0yZy √ 1 e− 2 , y > 0x22πyãäå Φ0 (y) = e− 2 dx ⇒ pη (y) =0, y ≤ 0.0(i)(i)Òåîðåìà 1 (áåç äîêàçàòåëüñòâà): ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . .

ξni (i = 1, m) íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; ϕi : Rni → R áîðåëåâñêèå ôóíêöèè; òîãäà ñëó÷àéíûå(i)(i)âåëè÷èíû ηi = ϕi (ξ1 , . . . ξni ) òàêæå íåçàâèñèìû.14Òåîðåìà 2 (ôîðìóëà êîìïîçèöèè (ñâ¼ðòêè)): ξ, η íåçàâèñèìûåñëó÷àéíûå âåëè÷èíû,Rðàñïðåäåë¼ííûå àáñîëþòíî íåïðåðûâíî; τ = ξ + η ⇒ pτ (z) = pξ (u)pη (z − u)du.RZz−uZZ4 Fτ (z) = Fξ+η (z) =pξη (u, v)dudv ==−∞dv−∞u+v<zZzZ+∞pξη (u, v)du =u=uv =w−u=−∞ +∞ZZzZ+∞ pξη (u, w − u)du dw =pτ (w)dw ⇒ pτ (z) =pξη (u, z − u)du =−∞−∞−∞Z+∞= (ξ, η íåçàâèñèìû) =pξ (u)pη (z − u)du. −∞Ñëåäñòâèå: ξ, η ðàñïðåäåëåíû íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè (a1 , σ1 ), (a2 , σ2 ) ñîîòâåòñòâåííî; pòîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà τ = ξ + η ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè(a1 + a2 , σ12 + σ22 ).Z11 (x − a1 )2 (z − x − a2 )24 Ïî ôîðìóëå êîìïîçèöèè pτ (z) =dx =+exp −2πσ1 σ22σ12σ22RZu = z − a1 − a211 v 2 (u − v)2==exp −+dv =v = x − a12πσ1 σ22 σ12σ22RZ221+σ1u2σ12u2σ12u21σ212exp −− 2uv · 2 + 2 · 2−·+=v ·dv =2πσ1 σ22σ12 σ22σ2 σ2 σ1 + σ22 σ22 σ12 + σ22 σ22R!2pZ2222σ1 + σ211uσuσ1 dv =p 1exp − −v·=+1−222πσ1 σ22σ1 σ2σ2σ1 + σ22σ2 σ12 + σ22R!ppu2−σ12 + σ22σ12 + σ22uσ112 +σ 2 )2(σ12 ·− p 2=·e= t=v·, |J| =σ1 σ2σ1 σ22πσ1 σ2σ2 σ1 + σ22Z √Z(z−a1 −a2 )222tt−1σ1 σ21122−−·√· e 2(σ1 +σ2 )2π · p 2e 2 dt = √e 2 dt = 1 = p2222π2π2π(σ1 + σ2 )σ1 + σ2RRp íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (a1 + a2 , σ12 + σ22 ).

Ïðèìåð: ξ, η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè (0, σ), à η ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [− h2 , h2 ]. Íàéä¼ì Pτ (x), ãäå τ = ξ + η . 1 , x ∈ [− h , h ]2x1− 22 22σepξ (x) = √, pη (x) = h⇒2πσh h0, x 6∈ [− 2 , 2 ]x+Z⇒ pτ (x) =x−h21√h 2πσt2− 22σedt=1hΦ0x+σh2!− Φ0x−σh2!!.h2Çàìå÷àíèå: íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ìîãóò áûòü ñâÿçàíû ôóíêöèîíàëüíî;íàïðèìåð, â ñëó÷àå âûðîæäåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ξ â òî÷êå x = 1, η = ξ 2 èìååò òàêîå æåðàñïðåäåëåíèå, à êîíñòàíòû íåçàâèñèìû (ñì. 3.2, ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 2).15→−→Îïðåäåëåíèå: ξ = (ξ1 , . . . ξn ), −η = (η1 , . .

Характеристики

Список файлов лекций