15(готово) (507203)

Билет 15. 1.Дать определение предела бесконечно большой функции при x→* и доказать теорему о его единственности.

Определение 4 (по Гейне)

Число А называется пределом функции f(x) при если любой ББП x_n значений аргумента последовательность {f(x_n)} соответствующих значений функции сходится к А.

Определение 4 (по Коши).

Число А называется если .

Доказывается, что эти определения равносильны:

Теорема 1. (единственность предела).

Если то .

Допустим противное, т.е. . Выберем , так, что бы окрестности т. , не пересекались, т.е. т.к. , то т.е. аналогично то т.е. .

Рассмотрим

Тогда,

и и , что невозможно, т.к. указанные окрестности не пересекаются.

Билет 15 2.Сформулировать теорему Тейлора. Записать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Пеано

Теорема Тейлора.

Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности конечной точки a производные до порядка (n+1) включительно, x – любое значение аргумента из указанной окрестности (x<>a) тогда между точками a и x найдется точка  такая, что (5)

многочлен Тейлора функции f(x)

Формула (5) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: ; , формула Тейлора с центром в точке a. Формулу Тейлора часто записывают в другом виде.

Положим .

, отсюда при n=0 получается формула Лагранжа .

Таким образом формула Тейлора обобщает формулу Лагранжа. Покажем, что если функция ограничена в окрестности точки a, то остаточный член формулы Тейлора есть БМ более высокого малости, чем (x-a)ⁿ при xa

т.о. ; (при x  a) (6). Ч.т.д.

Остаточный член (6) называется остаточным членом в форме Пеано, а формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано называется локальной формулы Тейлора.

x*(x-4)^(1/3)

билет 15

….