У. Питерсон - Коды, исправляющие ошибки (1267328), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В этом разделе даются утвердительные ответы на два следующих вопроса: 1. Можно ли любое подпространство пространства 6Р(д ) описать как совокупность корней мпогочлена 1(Х), полностью разлагающегося на множители в поле 6Р(д'")? 2. Можно ли любое надпространство пространства 6Р(д'") описать как совокупность значений, которые получаются при подстановке всех элементов из 6Р(д"') в некоторый мяогочлен 1(Х). полностью разлагающийся на множители в 6Р(д'")? В этом разделе Т. используется для обозначения отображения поля 6Р(д™) в себя, которое переводит каждый элемент поля р в элемент 6».- (ф (1» Теорема 6.28. Любое линейное преобразование пространства 6р(д ) в себя может быть одиозна но представлено в виде 1(~), где 1(Х) — многочлен степени, не превосходящей т — 1. Доказательство.
Поскольку число всевозможных линейных преобразований пространства 6г"(д'") в себя равно д"" и число различных многочленов 1(Х) степени, не превосходящей и — 1, с коэффициентами из 6Г(д'") также равно д"', то достаточно показать, что 1(ь)Фд(Е), если 1(Х)Ф'д(Х). Это в свою очередь эквивалентно тому, что 1(Т.) Ф О, если 1(Х) чь О и степень )(Х)( ~ и — 1. Итак, пусть 1(Х)= а»+ а~Х+ ... + а,Х', где з ~ т — 1, а,ен ен 6Р(а'") и не все а; = О. Если 8 ~ 6Р(д ), то 1(Т) (8) =а16+ а»р»+ ... + а,(1»'. Так как д' ~ д™ и не все а, = О, то должен найтись отличный от нуля элемент р ен 6г (д ), на котором многочлен а,Х+а,Х»+ ... + а,Х»' не обращается в нуль. Для этого (1 преобразование 1(Л)(р) чь О, и, следовательно, 1(Е) ~ О. Ч.
т. д. Удобны следующие обозначения. При )(Х)= Х а~Х обозначим через 1(Х) многочлен г (Х) = Я а,Х» . 1 0 Так как каждое подпространство одновременно является областью значений для некоторого линейного отображения пространства 6Р(ч ) и нулевым пространством для этого же отображения, то с~ра~едливо следующее следствие из теоремы 6.28: Следствие 6.1. Любое подпространство пространства 6Р(д ) могхет бьчть представлено в виде совокупности нулей и области значений некоторого многочлена вида 1(Х). Конечно, в этом следствии содержится только частичный ответ "а приведенные выше вопросы. Ведь нужно еще доказать, что в качестве этих многочленов могут быть выбраны многочлены, полностью разлагающиеся на множители в 6Г(д ).
Для этого оказываются полезными следующие идеи. Рассмотрим совокупность многочленов с коэффициентами из 6«(д ). Сложение многочленов определим, как обычно, а в качестве умножения рассмотрим операцию ь, определенную правилами: Х' э Хг = Х'+1, Х ь а = ач ь Х, (6З 4) если а евбр(д ). Можно доказать, что относительно этих операций совокупность многочленов образует некоммутативное кольцо. Это кольцо не содержит делителей нуля, т. е. если 1(Х)яд(Х) ~'О, то ни 1(Х), ни д(Х) не равны нулю. Заметим, что при выбранном определении умножения линейные преобразования У(Х)ьй(Х))хг в и )(1.) И(1.) тождественны.
Нетрудно доказать следующую теорему: Теорема 6.29. Пусть 1(Х) и д(Х) — многочлены с коэффициентами из 6«(д"'), и пусть д(Х) Ф О. Тогда суи4ествуют однозначно определенные многочлены у(Х) и «(Х), такие, что 1 (Х) = д (Х) ь д (Х) + «(Х), причем либо «(Х) = О, либо степень многочлена «(Х) меньше степени многочлена д(Х). В некоммутативном кольце левый идеал определяется как подкольцо 1, такое, что если 1(Х) принадлежит 1 и а(Х) — произвольный многочлен кольца, то а(Х)+~(Х) тоже принадлежит 1. (Заметим, что )(Х) а(Х) может не принадлежать Ц Далее тем же самым методом, который используется при доказательстве теоремы 6.5, можно показать, что всякий левый идеал является главным левым идеалом, т.
е. что во всяком идеале 1 существует единственный нормированный многочлен д(Х) наименьшей степени и любой многочлен из 1 может быть представлен в виде ~(Х) е д (Х) для некоторого ((Х) . Пусть теперь у — некоторое й-мерное подпространство пространства 6Р(д"'), рассматриваемого как векторнос пространство над 6«(у). Обозначим через 1 совокупность всех многочлепов 1(Х), таких, что 1(1.) У = О.
Тогда эта совокупность является левым идеалом, так как (а(Х)*((Х))х х)«=а(А)1(Е))«=О, и, следовательно, для любого многочлена а(Х) произведение а(Х). 1(Х) принадлежит 1. Кроме того, очевидно, что если ~,(Х) и 1т(Х) принадлежат 1, то )~(Х)+1т(Х) тоже принадлежит 1. Таким образом, в совокупности 1 найдется единственный нормированный многочлен д(Х) наименьшей степени А, причем любой другой многочлен из 1 является левым кратным для д(Х).
В соответствии с утверждением теоремы 6.28 существует многочлен )(1.), совокупность нулей которого совпадает с подпространством г', т. е. такой, что 1(1.) Р = О тогда и только тогда, когда аен К Тогда ((Х) принадлежит 1, откуда вытекает, что 1(Х)= — ~,(Х)ед(Х). Итак, ),(1.)д(1.) Р = О тогда и только тогда, когда (1 ~ 1/, н, следовательно, д'(Е)Р = О тогда и только тогда, когда ря К Многочлен Х'" — 1 также является элементом 1, поскольку для любого элемента поля (1.~-1) ~= ~ч"- ~=О.
Следовательно, существует многочлен й(Х), такой, что Х вЂ” 1=А(Х).д(Х) и а(Х)*(Х вЂ” 1)=а(Х)* й(Х) д(Х). Более того, для любого элемента поля Р справедливо равенство и поэтому Х"'р=()Х'". Отсюда вытекает, что для люа бого многочлена 1(Х) справедливо равенство Х ."1(Х) = 1(Х): Х'". Таким образом, й' (Х) ч (Х вЂ” 1) = (Х вЂ” 1) ч д (Х) = д(Х) ч Ь (Х) ч х( (Х), и поскольку нн один из сомножителей не равен нулю, то на д(Х) можно сократить, так что Обозначим теперь через У подпространство пространства бг"(д ), состоящее из всех элементов, которые появляются в результате применения преобразования д(Т.) к элементам поля, т. е. (1=д(ЦОГ(д ). Если в качестве дЩ рассматривать матрицу, то г' будет нулевым пространством, и поскольку размерность г' равна л, то по теореме 2.15 ранг по строкам д(Ь) равен и — л, В этом случае У является пространством столбцов матрицы л(Е), н поскольку Ранги пространства строк и пространства столбцов любой матрицы Равны, то размерность 0 также равна т — й.
Далее, й (Е) а (Ь) аг (д") = 6 (Т.) Ц = О, Поскольку все элементы пространства г являются корнями ф(Л), то степень д(Х) равна по меньшей мере д" и поэтому степень многочлена д(Х) равна по меньшей мере й. Аналогично все элементы П являются корнями миогочлена й(Х); следовательно, степень Б(Х) равна по меньшей мере д -", а степень многочлена й(Х) равна по меньшей мере т — й. Однако степень у(Х)ьй(Х) —. = Х'" — 1 равна пт, откуда вытекает, что степень д(Х) должна равняться lг, а степень й(Х) должна быть равна и — я. Это значит, что степень а(Х) должна быть равна д'-, т.
е. что все элементы подпространства У являются корнями д(Х) и многочлен д(Х) разлагается на Вь линейных множителей в пространстве 6Р(д"'). Аналогично корнями многочлена й(Х) являются все элементы пространства 6, й(Х) разлагается на множители и размерность У равна т — й. Окончательно имеем и, следовательно, й(Ь)6Р(в'") принадлежит пространству К Поскольку 6, нулевое пространство для й(Е), является пространством размерности т — й, то размерность пространства значений должна быть равна я и, следовательно, оно должно совпадать с пространством т'.
Таким образом, справедлива следующая теорема: Теорема 6.30. Пусть У вЂ” 'я-мерное подпространство пространства 6г Я"), рассматриваемого как векторное пространство над 6Р(д). Тогда суи(ествуют единственное п1 — й-мерное надпространство 6, однозначно определенные нормированные многочлены у(Х) степени я и й(Х) степени и — й, такие, что $' является пулевым пространством для д(1.) и областью значений й(Б), а У является нулевым пространством для й(Б) и областью значений д(й).
Более того, д(Х)чй(Х) = й(Х)ьд(Х) = Х'" — 1. Следствие 6.2. Многочлен у(Х) степени уь полностью разлагается на линейные множители, причем все элементы пространства Р являются его корнями, а все элементы пространства П являются значениями, которые иногочлен д(Х) принимает при подстановке в него вместо Х всех элементов 6г(д ). Аналогично все элеиенты пространства У являются корняии многочлена Б(Х), а элементы пространства Р— его значениями.
Наконец, у (й (Х)] = Ь (у (Х)] = Х вЂ” Х. Замечания Материал первой части этой главы можно найти в любой из книг по алгебре, упомянутых здесь, и во многих других. Наиболее простое изложение теории полей Галуа, в частности, содержится в книге Кармайкла (4Ц. Книга Ван-дер-Вардена (310) также является очень хорошим руководством. Книга Альберта Я чи- тается труднее, ио она глубже и предназначена для читателя, интересующегося конечными полями '). Результаты равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
