У. Питерсон - Коды, исправляющие ошибки (1267328), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Ч. т. д. Теорема 6.11. Пусть У(Х) = у(Х)Ь(Х), где У(Х) — многочлен степени и, а й(Х) — многочлен степени А. Тогда идеал, порожденный классом вычетов (д(Х)) в алгебре многочленов по модулю у(Х), имеет размерность А. Доказательство, В идеале, который является некоторым подпространством, векторы (д(Х)), (Хд(Х)), ..., (Х" 'д(Х)) линейно независимы, ибо любая линейная комбинация этих векторов имеет вид ((аз+...+ ах ~Хь — ')д.(Х)) и по теореме 6.6 отлична от нуля, так как каждый класс вычетов содержит некоторый многочлен степени, меньшей и. Более того, если (з(Х)) принадлежит идеалу, многочлен з(Х) делится иа д(Х) по теореме 6.9, а если з(Х)— многочлеи наименьшей степени в своем классе вычетов, то его степень меньше и.
Таким образом„ ь(Х) = л (Х) Ч (Х) =к (Х)(ЧО+ Ч~Х+ ° ° ° +Чь-1Х» ~) (8(Х)) = ЧО(а(ХИ+ Ч1(ХЫ (Хц+ ... + Ч» Ъ (Хй ~а(ХИ, так что й векторов (д(Х)), (Хя(Х)), ..., (Х" — 'д(Х)) порождают идеал. Следовательно, размерность идеала равна л. Ч. т.
д. Нормированный многочлен д(Х) минимальной степени, такой, что его класс вычетов (д(Х)) принадлежит идеалу, называется порождаип(им многочленом идеала. Утверждения теорем 6.9 — 6.11 можно суммировать следующим образом. Каждому идеалу в алгебре многочленов по модулю )(Х) соответствует порождающий многочлен д(Х), являющийся делителем )(Х), и каждый нормированный многочлен, являюшийся делителем многочлена )(Х), порождает свой идеал. Каждый класс вычетов в идеале, порожденном многочленом д(Х), содержит единственный многочлен, который делится на д(Х) и степень которого меньше чем степень многочлена 1(Х), и каждый такой многочлен принадлежит некоторому классу вычетов, входящему в идеал. Имеется естественное соответствие между наборами длины л и многочленами в алгебре многочленов по модулю 1'(Х) степени и.
Набор (аман...,а„,) длины и соответствует многочлену аз+ +щ5+ ... +а ч5" — '. Сумма двух наборов соответствует сумме соответствующих многочленов, и умножение на скаляр производится аналогичным образом. В следующих главах набор (аман...,а„~) длины и и многочлен аз+а,5+ ... +а„~5" ~ будут рассматриваться только как различные представления одного и того же элемента алгебры; выбор обозначения определяется соображениями удобства. Аналогично элементы алгебры иногда будут называться векторами, а иногда — многочленами.
Будем говорить, что многочлен «(5) принадлежит нулевому пространству идеала У, если г(5)з(5) =- О для любого многочлена з(5) из 1. Это определение отличается от определения нулевого пространства, данного в гл. 2, потому что требования, состоящие в том, что скалярное произведение векторов должно быть равно О и что произведение многочленов должно равняться О, не совпадают. Между этими понятиями, однако, имеется очень тесная связь, если )(Х) = Х" — 1.
Пусть а(5)=аз+а,5+ ... +а„,5 Ь(5)=Ь,+Ь,5+;.. +Ь„,5"-'. Тогда коэффициент при 5! в произведении с(5) = а(5)Ь(5) равен сс = аьЬ! + а, Ь!, + ... + агЬь + +а,+сЬь-с+аг+зЬ~-з+ ° .. +а со~+с. (68) Слагаемые, содержащие а,+ь ..., а„ь получаются из слагаемых в произведенни а(5)Ь(В), которые содержат Б"+с. ибо поскольку .ч~ — 1 = О, то Яиь! = Яс.
Равенство для с; можно переписать в виде скалярного произведения: с! — — (а„, а„..., а„с)(Ьь Ьс „..., Ь„, Ь„„Ь„, ..., Ь +,). Первый вектор — это вектор, соответствующий а(Я). Второй вектор содержит коэффициенты Ь(5), расположенные в обратном порядке и сдвинутьсе циклически на !+ 1 элемент вправо, Таким образом, если произведение а(Я)Ь(5) равно нулю, то вектор, соответствующий а(Я), ортогонален вектору, соответствующему Ь(Я), компоненты которого расположены в обратном порядке, и каждому циклическому сдвигу этого вектора. Верно и обратное утверждение: если вектор (аь, аь..., а„.с) ортогонален вектору (Ь„ьЬ м...,Ьь), а также циклическому сдвигу этого вектора, то а(о)Ь®= О.
Теорема 6.12. Пусть ЦХ), у(Х) и Й(Х) — нормированньсе много- члены, и пусть !(Х) = д(Х)Ь(Х). Тогда класс вьсчетов (а(Х)» принадлежит нулевому пространству идеала, порожденного многочленом Ь(Х), тогда и только тогда, когда он принадлежит идеалу, порожденному многочленом у(Х). Доказательство. Если (а(Х)» принадлежит идеалу, порожденному многочленом д(Х), а (Ь(Х)) — любой класс вычетов из идеала, порожденного Ь(Х), то многочлен а(Х) кратен д(Х) и много- член Ь(Х) кратен й(Х), а произведение а(Х)Ь(Х) кратно !(Х).
Следовательно, (а(Х))(Ь(Х)) = (а(Х)Ь(Х)» = О, и, таким образом, класс вычетов (а(Х)) принадлежит нулевому пространству идеала, порожденного многочленом Ь(Х). Обратно, если (а(Х))(Ь(Х)» = О, то произведение а(Х)Ь(Х) должно бьсть кратно !(Х). Это значит, что многочлен а(Х) должен делиться на д(Х), и, следовательно, класс вычетов (а(Х)» принадлежит идеалу, порожденному д(Х). Ч. т. д. Примеры применения этих понятий даны в равд.
8.1 и 8.2. 6.5. Поля Галуа Теорема 6.!3. Пусть р(Х) — многочлен с коэффициентами из поля г. Алгебра многочленов над полем г по модулю р(Х) аз~~ется полем тогда и только тогда, когда многочлен р(Х) — не- приводим в поле г", т. е. если р(Х) нельзя представить в виде произведения многочленов с коэффициентами из г. Доказательство аналогично доказательству теоремы 6Хи !!ример.
Рассмотрим кольцо многочлепов с действительными коэффициентами по модулю неприводимого многочлена Ха+1 = = р(Х). Обозначим через (Х) =1 класс вычетов, содержащий Х. Тогда каждый элемент получившегося поля можно представить в виде многочлена от 1 степени, меньшей чем 2, т. е. в виде а+ И. Так как 1 по теореме 6.8 удовлетворяет уравнению р(Х) = О, то 1т + 1 = О, или !т = — 1. Это просто один из способов описания поля комплексных чисел. Поле, образованное мпогочленами над полем г по модулю не- приводимого многочлена р(Х) степени А, называется расширением поля степени я над г".
Если класс вычетов, содержащий Х, обозначен через а, то расширение поля обозначается через Ца). Первоначальное поле р называется основным полем. Новое поле содержит элементы (классы вычетов), соответствующие элементам основного поля, и можно сказать, что оно содержит основное поле. Так как р(а) = О, то сс — корень многочлена р(Х), и поэтому говорят, что расширение поля образуется присоединением корня уравнения р(Х) = О к основному полю. Эта терминология поучительна и удобна, но ее нужно рассматривать не более как эвристическое описание процесса построения поля, элементами которого являются классы вычетов.
В равд. 6.2 было показано, что классы вычетов целых чисел по модулю некоторого простого числа р образуют поле из р элементов, называемое полем Галуа 6Р(р). Можно доказать, что кольцо многочленов над любым конечным полем содержит по крайней мере один неприводимый многочлен каждой степени. Поле много- членов над 6г" (р) по модулю неприводимого многочлена степени гп называется полем Галуа, состоящим из р~ элементов, и обозначается как 6Р(р*").
Действительно, это поле является по теореме 6.7 векторным пространством размерности т над полем 6г(р) и, следовательно, содержит ры элементов. Таким образом, для любого числа д = р"', которое является степенью простого числа, существует поле 6Г(д) из д элементов. Можно показать также, что любое конечное поле изоморфно некоторому полю Галуа, т.
е. имеет ту же самую структуру, что и некоторое поле Галуа, и отличается от него только выбором названий для элементов. Можно также доказать, что любые конечные поля с одним и тем же числом элементов изоморфны, т. е. они отличаются только выбором названий для элементов. Поля Галуа, которые могут быть образованы классами вычетов многочленов по модулю неприводимого многочлена над полем 6р(р)„называются полями характеристики р.
Таким образом, при любом выборе т поле бг (р'") — это поле характеристики р. В поле 6«(р) элемент р=-О. Поскольку 6Е(р) — поле коэффициентов для 6«'(р'"), то во всех полях характеристики р элемент р = О. Тогда (а+ Ь)'=а'+С,'иэ 'Ь-«-С'„а' 'Ь'-«- ... -«-Ь', н так как все биномиальные коэффициенты Ср при О < 1( р содержат р в качестве множителя и поэтому равны О, то доказана следующая теорема: Теорема 6.14. В поле характеристики и имеет место равенство (а+ Ь) э = аэ+ ЬЯ.
Рассмотрим теперь основное поле г и некоторое его расширение; пусть «3 — любой элемент расширения. Нормированный многочлен т(Х) наименьшей степени с коэффициентами из основного поля Е, такой, что т(р) = О, называется минимальн«ям многочленом или минимальной функцией для «3. Теорема 6.15. Минимальная функция т(Х) для любого элемента «3 является неприводимым многочленом. Доказательство. Предположим, что, наоборот, т (Х) = = т,(Х)тэ(Х). Тогда т(р) = т,(р)тг(р) и по крайней мере один из сомножителей т1(«3) или тг(«3) должен быть равен О. Если эти сомножители нетривиальны, то это противоречит предположению о том, что т(Х) — многочлен минимальной степени с корнем р. Ч. т.
д. Теорема 6.16. Если ((Х) — многочлен с коэффициентами из основного поля г и если 1(р)=О, то многочлен Г(Х) делится на т(Х) — минимальную функцию для «3. Доказательство. В соответствии с алгоритмом Евклида г (Х) = т (Х) д (Х) + г (Х), где г(Х) — многочлен степени, меньшей степени т(Х).
Поскольку Ц«3) = О и т(«3) = О, то «(«3) = О. Так как т(Х) — минимальная функция для «3, а степень многочлена «(Х) меньше степени т(Х), то г(«3) = О, если только «(Х) = О. Ч. т. д. Из теоремы 6.16 следует, что минимальная функция для единственна. Из вее следует также, что если р(Х) †-нормированный неприводимый многочлен н р(р) = О, то р(Х) — минимальная функция для «3. Теорема 6.17. Для каждого элемента из расширения поля степени Й над Е существует минимальная функция для этого элемента степени й или меньше. Доказательство. По теореме 6.7 расширение поля является век~орным пространством размерности й.
Поэтому для любого элем~ига р совокупность нз А+1 элементов 1, «3, «3г..... рь не может быть линейно независимой. Следовательно, должен существовать некоторый многочлен степени я или меньше от (1, который равен О, и этот многочлен можно нормировать, разделив его на коэффи- циент при высшей степени переменного. Ч. т. д. 6.6, Мультипликативная группа поля Галуа В любой конечной группе можно рассмотреть совокупность элементов, образованию некоторым элементом й и всеми его степенями дд = дз, дд = да и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
