2. Проблемы ограниченности и безопасности для обыкновенных сетей Петри. Деревья покрытия разметок сетей Петри (1265178)
Текст из файла
Ìîäåëèïîñëåäîâàòåëüíûõèïàðàëëåëüíûõâû÷èñëåíèéÂ.À. ÇàõàðîâËåêöèÿ 2.1.Ïðîáëåìû îãðàíè÷åííîñòè èáåçîïàñíîñòè äëÿ ñåòåé Ïåòðè2.Äåðåâüÿ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòåéÏåòðè3.Âàðèàíòû ïðîáëåìû äîñòèæèìîñòè4.Ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòèäëÿ ñåòåé ÏåòðèÏðîáëåìà îãðàíè÷åííîñòè äëÿ ñåòåé ÏåòðèÏîçèöèÿ p â ñåòè Ïåòðè π = (P, T , F , W , M) íàçûâàåòñÿîãðàíè÷åííîé , åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî n , ÷òî äëÿ ëþáîéðàçìåòêè M 0, M 0 ∈ R(π) , âåðíî ðàâåíñòâî M 0(p) ≤ n .Ñåòü Ïåòðè íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé , åñëè ëþáàÿ åå ïîçèöèÿîãðàíè÷åíà.Ïðîáëåìà îãðàíè÷åííîñòè ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû äëÿïðîèçâîëüíîé çàäàííîé ñåòè Ïåòðè ïðîâåðèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè îíàîãðàíè÷åííîé.Î÷åâèäíî, ÷òî ñåòü Ïåòðè îãðàíè÷åíà òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà ìíîæåñòâî åå äîñòèæèìûõ ðàçìåòîê R(π) êîíå÷íî.×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ãðàôäîñòèæèìûõ ðàçìåòîê G (π) è óáåäèòüñÿ, ÷òî â ýòîì ãðàôåêîíå÷íîå ÷èñëî âåðøèí.
Îäíàêî íåïðîñòî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òîãðàô G (π) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî âåðøèí.Ïðîáëåìà îãðàíè÷åííîñòè äëÿ ñåòåé ÏåòðèÏðèìåð íåîãðàíè÷åííîé ñåòè Ïåòðètp1 t2IRt1p3IRp2t3p 4Ïðîáëåìà îãðàíè÷åííîñòè äëÿ ñåòåé ÏåòðèÏðèìåð íåîãðàíè÷åííîé ñåòè Ïåòðètp1 t2IRt1p3IR- tp2t3p 4Ïðîáëåìà îãðàíè÷åííîñòè äëÿ ñåòåé ÏåòðèÏðèìåð íåîãðàíè÷åííîé ñåòè Ïåòðètp1 t2IRt1p3IR- t tp2t3p 4Ïðîáëåìà îãðàíè÷åííîñòè äëÿ ñåòåé ÏåòðèÏðèìåð íåîãðàíè÷åííîé ñåòè Ïåòðètp1 t2IRt1p3ItR- ttp2t3p 4Ïðîáëåìà îãðàíè÷åííîñòè äëÿ ñåòåé ÏåòðèÏðèìåð íåîãðàíè÷åííîé ñåòè Ïåòðètp1 t2IRt1p3ItR- tt tp2t3p 4Ïðîáëåìà îãðàíè÷åííîñòè äëÿ ñåòåé ÏåòðèÏðèìåð íåîãðàíè÷åííîé ñåòè Ïåòðè-p1 t2IRt1- tp3ItR- tt tp2t3p 4Ïðîáëåìà îãðàíè÷åííîñòè äëÿ ñåòåé ÏåòðèÏðèìåð íåîãðàíè÷åííîé ñåòè Ïåòðè-p1 t2IRt1- tp3IR- t ttp2t3- tp 4Ïðîáëåìà îãðàíè÷åííîñòè äëÿ ñåòåé ÏåòðèÏðèìåð íåîãðàíè÷åííîé ñåòè Ïåòðè-p1 t2IRt1- tp3IR- t tp2t3- t tp 4Ïðîáëåìà îãðàíè÷åííîñòè äëÿ ñåòåé ÏåòðèÏðèìåð íåîãðàíè÷åííîé ñåòè Ïåòðè-p1 t2IRt1- tp3IR- tp2t3t- ttp 4Ïðîáëåìà îãðàíè÷åííîñòè äëÿ ñåòåé ÏåòðèÏðèìåð íåîãðàíè÷åííîé ñåòè Ïåòðè-p1 t2IRt1- tp3IRp2t3t- tt tp 4Ïðîáëåìà îãðàíè÷åííîñòè äëÿ ñåòåé ÏåòðèÏðèìåð íåîãðàíè÷åííîé ñåòè Ïåòðè-p1 t2IRt1- tp3IRp2t3t- tt tp 4Êàê âèäíî èç ïðîâåäåííîãî âû÷èñëåíèÿ, ïîçèöèè p2 è p4ÿâëÿþòñÿ íåîãðàíè÷åííûìè.Íî êàê ìîæíî ñòðîãî îáîñíîâàòü îáíàðóæåííûé ýôôåêò¾íåîãðàíè÷åííûõ¿ âû÷èñëåíèé?Ïðîáëåìà îãðàíè÷åííîñòè äëÿ ñåòåé ÏåòðèÊðèòåðèé íåîãðàíè÷åííîñòè ñåòè ÏåòðèÑåòü Ïåòðè π = (P, T , F , W , M0) ÿâëÿåòñÿ íåîãðàíè÷åííîéòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíî òàêîåâû÷èñëåíèåττ000M0 −→∗ M 0 −→∗ M 00 ,â êîòîðîì äëÿ ïàðû êîíôèãóðàöèé M 0, M 00 âûïîëíÿåòñÿñîîòíîøåíèå M 0 M 00 , ïðè÷åì õîòÿ áû äëÿ îäíîé ïîçèöèè pñïðàâåäëèâî ñòðîãîå íåðàâåíñòâî M 0(p) < M 00(p) .Äîêàçàòåëüñòâî.(⇐ ) Èç óñëîâèÿ M 0 M 00 ñëåäóåò, ÷òî M 00 = M 0 + K äëÿíåêîòîðîé ðàçìåòêè K .Èç óñëîâèÿ M 0(p) < M 00(p) ñëåäóåò, ÷òî ðàçìåòêà K íåïóñòîåìóëüòèìíîæåñòâî ïîçèöèé.Èç îñíîâíîé òåîðåìû î ìîíîòîííîñòè âû÷èñëåíèé ñåòåé Ïåòðèñëåäóåò, ÷òî M 0 + nK ∈ R(π) äëÿ ëþáîãî öåëîãî n, n ≥ 0 .Ïðîáëåìà îãðàíè÷åííîñòè äëÿ ñåòåé ÏåòðèÄîêàçàòåëüñòâî.(⇒ ) Åñëè ñåòü Ïåòðè π íåîãðàíè÷åíà, òî åå ãðàô äîñòèæèìûõðàçìåòîê G (π) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî âåðøèí, äîñòèæèìûõèç íà÷àëüíîé ðàçìåòêè M .Òîãäà, ïî, â òàêîì ãðàôå ñóùåñòâóåòáåñêîíå÷íàÿ öåïü (ìàðøðóò áåç ïîâòîðÿþùèõñÿ âåðøèí)ëåììå Êåíèãàttt123α = M0 −→M1 −→M2 −→···Ëåììà î áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâàõ ðàçìåòîê.Èç ëþáîé áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçìåòîêM0 , M1 , M2 , M3 , .
. . ìîæíî âûäåëèòü áåñêîíå÷íóþ ìîíîòîííîâîçðàñòàþùóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçìåòîêMr Mr Mr . . . .123Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé ëåììûÊàæäàÿ ðàçìåòêà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà íàáîðîìíàòóðàëüíûõ ÷èñåë Mi = hn1i , n2i , . . . , nmi i .Çàìåòèì, ÷òî íèêàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëíå ìîæåò áûòü áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé.Ïîýòîìó â áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçìåòîê α ìîæíîâûäåëèòü áåñêîíå÷íóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçìåòîêα(1) = Mi1 , Mi2 , .
. . , Mik , . . . ,â êîòîðîé ïåðâûå êîìïîíåíòû íàáîðîâ, çàäàþùèõ ýòèðàçìåòêè, îáðàçóþò íåóáûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòün1i ≤ n1i ≤ n1i ≤ . . . .Òî÷íî òàê æå â áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçìåòîê α(1)ìîæíî âûäåëèòü áåñêîíå÷íóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçìåòîê123α(2) = Mj1 , Mj2 , . . . , Mj` , .
. . ,â êîòîðîé âòîðûå êîìïîíåíòû íàáîðîâ, çàäàþùèõ ýòèðàçìåòêè, îáðàçóþò íåóáûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòün2j ≤ n2j ≤ n2j ≤ . . . .123Ïðîáëåìà îãðàíè÷åííîñòè äëÿ ñåòåé ÏåòðèÏðîâåäÿ òàêîå âûäåëåíèå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòåé m ðàç (ïî÷èñëó ïîçèöèé â ñåòè π ), ïîëó÷èì áåñêîíå÷íóþ íåóáûâàþùóþïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ðàçìåòîêα(m) = Mr1 Mr2 Mr3 . .
. .Ëåììà î áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâàõ ðàçìåòîê äîêàçàíà.Ïîñêîëüêó ðàçìåòêè ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàñïîëàãàþòñÿäðóã çà äðóãîì íà îäíîì è òîì æå ìàðøðóòå â ãðàôåäîñòèæèìûõ ðàçìåòîê G (π) , ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ î òîì,÷òî ïàðà ðàçëè÷íûõ ðàçìåòîê Mr , Mr óäîâëåòâîðÿåòñîîòíîøåíèþττ10200M0 −→∗ Mr1 −→∗ Mr2äëÿ íåêîòîðûõ êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ïåðåõîäîâ τ 0, τ 00è ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Mr Mr .12Äåðåâüÿ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòåé ÏåòðèÊðèòåðèé íåîãðàíè÷åííîñòè ñåòè Ïåòðè ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòüàëãîðèòì ðåøåíèÿ ïðîáëåìû îãðàíè÷åííîñòè ñåòè.Ýòîò àëãîðèòì îñóùåñòâëÿåò ïðîâåðêó îãðàíè÷åííîñòè ñåòèÏåòðè ïóòåì ïîñòðîåíèÿ ò.í..Âåðøèíàìè ýòîãî äåðåâà ñëóæàò íàáîðû, ñîñòîÿùèå èçíàòóðàëüíûõ ÷èñåë, à òàêæå ñïåöèàëüíîãî ñèìâîëà ∞ .Íàáîðû, â êîòîðûõ ñîäåðæèòñÿ ñèìâîë ∞ , áóäåì íàçûâàòüïðåäåëüíûìè .Ïðåäåëüíûå íàáîðû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàçìåòêèîñîáîãî ðîäà: ðàâåíñòâî M(p) = ∞ äëÿ íåêîòîðîé ïîçèöèè pîçíà÷àåò, ÷òî â ýòîé ïîçèöèè ìîæåò áûòü íàêîïëåíî áåñêîíå÷íîìíîãî ôèøåê.Ïðåäåëüíûå íàáîðû ìîæíî ñðàâíèâàòü äðóã ñ äðóãîì è ñíàáîðàìè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (ðàçìåòêàìè) ïîêîìïîíåíòíî,ïîëàãàÿ, ÷òî n < ∞ äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n .äåðåâà ïîêðûòèÿ ðàçìåòîêÄåðåâüÿ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòåé ÏåòðèÏðè ïîñòðîåíèè äåðåâà ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ïðåäåëüíûå íàáîðûáóäóò âîçíèêàòü âñÿêèé ðàç, êîãäà îáíàðóæèâàþòñÿ ïàðûñðàâíèìûõ ðàçìåòîê.Ïóñòü çàäàíû äâå ðàçìåòêè M 0, M 00 ñåòè Ïåòðè π è ïðè ýòîìM 0 ≺ M 00 .
Òîãäà çàïèñü [M 0 , M 00 ] áóäåò îáîçíà÷àòü ïðåäåëüíûéíàáîð, êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ðàâåíñòâàì äëÿëþáîé ïîçèöèè p :(M 00 (p), åñëè M 0 (p) = M 00 (p),[M 0 , M 00 ](p) =∞, åñëè M 0 (p) < M 00 (p).Äåðåâî ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê Γ(π) ñåòè Ïåòðèπ = (P, T , F , W , M0 ) óñòðîåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì.1)  êà÷åñòâå âíóòðåííèõ (íåëèñòîâûõ) âåðøèí èñïîëüçóþòñÿòîëüêî íàáîðû íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ñîîòâåòñòâóþùèåðàçìåòêàì ñåòè π .2) Ïðåäåëüíûå íàáîðû ñëóæàò òîëüêî ëèñòîâûìè âåðøèíàìè.Äåðåâüÿ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòåé Ïåòðè3) êîðíåì äåðåâà ÿâëÿåòñÿ íà÷àëüíàÿ ðàçìåòêà M0 ;4) ðàçìåòêà M ñåòè π , âõîäÿùàÿ â ñîñòàâ äåðåâà Γ(π) ,ñëóæèò ëèñòîâîé âåðøèíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàI ëèáîI ëèáîM0MMÿâëÿåòñÿ òóïèêîâîé ðàçìåòêîé ñåòèâñòðå÷àëàñü ðàíåå â äåðåâåâ âåðøèíóMΓ(π)π,íà ïóòè èç êîðíÿ;t5) åñëè âåðøèíà M íå ÿâëÿåòñÿ ëèñòîâîé, è M −→M 00 äëÿíåêîòîðîãî ïåðåõîäà t , òî â äåðåâå Γ(π) èìååòñÿ äóãà,âåäóùàÿ èç âåðøèíû M â òàêóþ âåðøèíó Mb , ÷òîIIb = M 00 , åñëè íà ïóòè èç èç êîðíÿ M0 â âåðøèíó M íåòM0000âåðøèí M , óäîâëåòâîðÿþùèõ îòíîøåíèþ M ≺ M;000bM = [M , M ] , åñëè íà ïóòè èç èç êîðíÿ M0 â âåðøèíó M0âñòðå÷àåòñÿ òàêàÿ âåðøèíà M , äëÿ êîòîðîé ñïðàâåäëèâî000ñðàâíåíèå M ≺ M.Äåðåâüÿ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòåé ÏåòðèÏðèìåð äåðåâà ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê Γ(π) äëÿ ñåòè Ïåòðè π .tp1 t2IRt1p3IRp2t3Íà÷àëüíàÿ ðàçìåòêà M0 = (1, 0, 0, 0)M0 = (1, 0, 0, 0)p 4Äåðåâüÿ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòåé ÏåòðèÏðèìåð äåðåâà ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê Γ(π) äëÿ ñåòè Ïåòðè π .-p1 t2IRt1Rp2;M1 òóïèêîâàÿ ðàçìåòêàt- tp3I2M0 −→M1 = (0, 0, 1, 0)t3M0 = (1, 0, 0, 0)p 4Äåðåâüÿ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòåé ÏåòðèÏðèìåð äåðåâà ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê Γ(π) äëÿ ñåòè Ïåòðè π .-p1 t2IRt1Rp2;M1 òóïèêîâàÿ ðàçìåòêàtM0 = (1, 0, 0, 0)- tp3IM1 = (0, 0, 1, 0)2M0 −→M1 = (0, 0, 1, 0)t3p 4Äåðåâüÿ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòåé ÏåòðèÏðèìåð äåðåâà ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê Γ(π) äëÿ ñåòè Ïåòðè π .tp1 t2IRt1M0 = (1, 0, 0, 0)p3IM1 = (0, 0, 1, 0)Rp2t3Íà÷àëüíàÿ ðàçìåòêà M0 = (1, 0, 0, 0)p 4Äåðåâüÿ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòåé ÏåòðèÏðèìåð äåðåâà ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê Γ(π) äëÿ ñåòè Ïåòðè π .tp1 t2IRt1M0 = (1, 0, 0, 0)p3IM1 = (0, 0, 1, 0)R- tp2t1M0 −→M2 = (1, 1, 0, 0)M0 ≺ M2[M0 , M2 ] = (1, ∞, 0, 0)t3p 4Äåðåâüÿ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòåé ÏåòðèÏðèìåð äåðåâà ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê Γ(π) äëÿ ñåòè Ïåòðè π .tp1 t2IRt1M0 = (1, 0, 0, 0)@p3@IM1 = (0, 0, 1, 0) @R@[M , M ] = (1, ∞, 0, 0) 0 2R- tpp 2t1M0 −→M2 = (1, 1, 0, 0)M0 ≺ M2[M0 , M2 ] = (1, ∞, 0, 0)t34Äåðåâüÿ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòåé ÏåòðèÒåîðåìà î äåðåâå ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê1.
Äëÿ ëþáîé ñåòè ÏåòðèðàçìåòîêΓ(π)2. Ñåòü Ïåòðèπäåðåâî ïîêðûòèÿÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì.πÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà â äåðåâå ïîêðûòèÿ ðàçìåòîêΓ(π)îòñóòñòâóþò ïðåäåëüíûå âåðøèíû.Äîêàçàòåëüñòâî.Ñëåäóåò èç êðèòåðèÿ íåîãðàíè÷åííîñòè ñåòåéÏåòðè è îïðåäåëåíèÿ äåðåâà ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê.Äåðåâüÿ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòåé ÏåòðèÑëåäñòâèÿ èç òåîðåìû î äåðåâå ïîêðûòèÿðàçìåòîê1.
Ïðîáëåìà îãðàíè÷åííîñòè îáûêíîâåííûõ ñåòåéÏåòðè àëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøèìà.2. Ïðîáëåìà áåçîïàñíîñòè îðäèíàðíûõ ñåòåéÏåòðè àëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøèìà.Çàäà÷à 1 [òðóäíàÿ]À êàêîâà ñëîæíîñòü ïðåäëîæåííîãî àëãîðèòìàïðîâåðêè îãðàíè÷åííîñòè ñåòåé Ïåòðè ïóòåìïîñòðîåíèÿ äåðåâüåâ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê?Äåðåâüÿ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòåé ÏåòðèÈíîãäà âàæíî íå òîëüêî óñòàíîâèòü, ÷òî ñåòü Ïåòðè ÿâëÿåòñÿíåîãðàíè÷åííîé, íî òàêæå è îïðåäåëèòü, â êàêèõ ïîçèöèÿõìîæåò íàêàïëèâàòüñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ôèøåê.Äëÿ ýòîãî äåðåâà ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê Γ(π) óæå íåäîñòàòî÷íî,ïîñêîëüêó àíàëèç âû÷èñëåíèé íà åãî âåòâÿõ îáðûâàåòñÿ ïðèîáíàðóæåíèè ïåðâîãî æå ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê M 0 ≺ M 00 .tp1 t2IRt1M0 = (1, 0, 0, 0)@p3@IM1 = (0, 1, 0, 0) @R@[M , M ] = (1, ∞, 0, 0) 0 2Rpp 2t34 ýòîé ñåòè íåîãðàíè÷åíû ïîçèöèè p2 è p4 , íî ãðàô Γ(π)îáíàðóæèâàåò òîëüêî íåîãðàíè÷åííîñòü p2 .Äåðåâüÿ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòåé ÏåòðèÍî ïîñòðîåíèå äåðåâà ïîêðûòèÿ ìîæíî ïðîäîæèòü, åñëèîáðàùàòüñÿ ñ ïðåäåëüíûìè íàáîðàìè òàê æå, êàê ñ îáû÷íûìèðàçìåòêàìè.Óñëîâèìñÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà m âåðíûðàâåíñòâà ∞ + m = ∞ − m = ∞ .Òîãäà äëÿ âñÿêîãî ïðåäåëüíîãî íàáîðà M è ïåðåõîäà t âïðîèçâîëüíîé ñåòè Ïåòðè π ìîæíî îïðåäåëèòüI óñëîâèå ñðàáàòûâàíèÿ ïåðåõîäà: FW (•, t) M ,I ðåçóëüòàò ñðàáàòûâàíèÿ ïåðåõîäà:M 0 = (M FW (•, t)) + FW (t, •) .Òàêèì îáðàçîì, ïîñòðîåíèå äåðåâà ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê Γ(π)ìîæåò áûòü ïðîäîæåíî èç ïðåäåëüíûõ âåðøèí.Ïîëó÷åííîå â ðåçóëüòàòå òàêîãî ïîñòðîåíèÿ äåðåâî íàçûâàåòñÿïîëíûì äåðåâîì ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòè Ïåòðè π .Äåðåâüÿ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòåé ÏåòðèM0 = (1, 0, 0, 0)t2 HHt1jHp3IM1 = (0, 1, 0, 0) M20 = (1, ∞, 0, 0)t1 M30 = (1, ∞, 0, 0) t2R?p4p2tp1 t2IRt1t3M40 = (0, ∞, 1, 0)t3?Ïîëíîå äåðåâî ïîêðûòèÿðàçìåòîê ñåòè ÏåòðèM50 = (0, ∞, 1, ∞)t3?M60 = (0, ∞, 1, ∞)Äåðåâüÿ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòåé ÏåòðèÒåîðåìà î ïîëíîì äåðåâå ïîêðûòèÿðàçìåòîê1.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
