2. Проблемы ограниченности и безопасности для обыкновенных сетей Петри. Деревья покрытия разметок сетей Петри (1265178), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Äëÿ ëþáîé ñåòè Ïåòðèπïîëíîå äåðåâîïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì.2.  ñåòè Ïåòðèπïîçèöèÿpÿâëÿåòñÿîãðàíè÷åííîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿëþáîé âåðøèíûðàçìåòîê âåðíîM â ïîëíîìM(p) 6= ∞ .Äîêàçàòåëüñòâî.Ñàìîñòîÿòåëüíî.äåðåâå ïîêðûòèÿÄåðåâüÿ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòåé ÏåòðèÏîëíûå äåðåâüÿ ðàçìåòîê ìîæíî èñïîëüçîâàòü òàêæå è äëÿïðîâåðêè ñóùåñòâåííîñòè ïåðåõîäîâ â ñåòè Ïåòðè.Ïåðåõîä t â ñåòè Ïåòðè π íàçûâàåòñÿ ìåðòâûì , åñëè îí íåÿâëÿåòñÿ àêòèâíûì íè â îäíîé ðàçìåòêå M èç ìíîæåñòâà R(π), ò.å. íå ñðàáàòûâàåò íè â îäíîì âû÷èñëåíèè ñåòè π .Òåîðåìà î ìåðòâûõ ïåðåõîäàõÏåðåõîä t â ñåòè Ïåòðè π ÿâëÿåòñÿ ìåðòâûì òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà íè îäíà äóãà (M 0, M 00) â ïîëíîì äåðåâå ïîêðûòèÿðàçìåòîê íå ïîìå÷åíà ïåðåõîäîì t .Äîêàçàòåëüñòâî..ÑàìîñòîÿòåëüíîÄåðåâüÿ ïîêðûòèÿ ðàçìåòîê ñåòåé ÏåòðèÇàäà÷à 2.Ïîñòðîèòü àëãîðèòì, êîòîðûé ïîçâîëÿåòïðîâåðÿòü, ìîæåò ëè çàäàííàÿ ïîçèöèÿpïîëó÷èòü â õîäå êàêîãî-ëèáî âû÷èñëåíèÿ çàäàííîéπ õîòÿ áû îäíó ôèøêó:∃ M : M ∈ R(π) ∧ M(p) 6= 0 .ñåòè ÏåòðèÇàäà÷à 3.Ïîñòðîèòü àëãîðèòì, êîòîðûé ïîçâîëÿåòïðîâåðÿòü, ìîæåò ëè çàäàííûé ïåðåõîätñðàáîòàòü ñêîëü óãîäíî ìíîãî ðàç â õîäåêàêîãî-ëèáî âû÷èñëåíèÿ çàäàííîé ñåòè Ïåòðèπ.Ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòè äëÿ ñåòåéÏåòðèÐàçìåòêà M äîñòèæèìà â ñåòè Ïåòðè π , åñëè M ∈ R(π) .Ïðîáëåìà äîñòèæèìîñòè ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû äëÿ çàäàííîéñåòè Ïåòðè π è ðàçìåòêè M ïðîâåðèòü âêëþ÷åíèå M ∈ R(π) .Ïåðåõîä t â ñåòè Ïåòðè π íàçûâàåòñÿ æèâûì , åñëè äëÿ ëþáîéðàçìåòêè M 0, M 0 ∈ R(π) , ñóùåñòâóåò òàêàÿ ðàçìåòêàM 00 , M 00 ∈ R(π, M 0 ) , â êîòîðîé ïåðåõîä t àêòèâåí.Ñåòü íàçûâàåòñÿ æèâîé , åñëè âñå åå ïåðåõîäû æèâûå.Ïðîáëåìà æèâîñòè ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû äëÿ çàäàííîé ñåòèÏåòðè π ïðîâåðèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè îíà æèâîé.Ïîêàæåì, ÷òî ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòè äëÿîáûêíîâåííûõ ñåòåé Ïåòðè âçàèìíî ñâîäèìû äðóã ê äðóãó.Âàðèàíòû ïðîáëåìû äîñòèæèìîñòèÂíà÷àëå ïîêàæåì, ÷òî ïðîáëåìó äîñòèæèìîñòè äîñòàòî÷íîíàó÷èòüñÿ ðåøàòü ëèøü äëÿ îäíîãî âèäà ðàçìåòîê.Ïðîáëåìà 0 -äîñòèæèìîñòè ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû äëÿ çàäàííîéñåòè Ïåòðè π ïðîâåðèòü, ïðèíàäëåæèò ëè ìíîæåñòâó M ∈ R(π)ðàçìåòêà 0 = h0, 0, .
. . , 0i , â êîòîðîé íè îäíà ïîçèöèÿ ñåòè íåèìååò íè îäíîé ôèøêè.Òåîðåìà î0-äîñòèæèìîñòèÏðîáëåìû äîñòèæèìîñòè è 0 -äîñòèæèìîñòè äëÿîáûêíîâåííûõ ñåòåé Ïåòðè âçàèìíî ñâîäèìû äðóã ê äðóãó.Äîêàçàòåëüñòâî.Î÷åâèäíî, ÷òî ïðîáëåìà 0 -äîñòèæèìîñòè ýòî ÷àñòíûéñëó÷àé ïðîáëåìû äîñòèæèìîñòè.Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîé ñåòè Ïåòðè π è ðàçìåòêè M ìîæíîïîñòðîèòü òàêóþ ñåòü Ïåòðè πM , ÷òî M ∈ R(π) ⇔ 0 ∈ R(πM ).Âàðèàíòû ïðîáëåìû äîñòèæèìîñòèÏðåäïîëîæèì, ÷òî π = (P, T , F , W , M0) , ãäåP = {p1 , p2 , . .
. , pn } , T = {t1 , t2 , . . . , tm } , èM = hk1 , k2 , . . . , kn i .Òîãäà ñåòü Ïåòðè πM èìååò ñëåäóþùèé âèä:'#p1 p2pnrrrπ : "&t10 ? t20 ?66tn0 ?6k1k2 r r r knq1 q2qnt1 r r rt2tm$!%***0q0? t00AU ? j ut0q0Âàðèàíòû ïðîáëåìû äîñòèæèìîñòèCåòü Ïåòðè πM'#p1 p2pnr r rπ : "&t10 ? t20 ? 66tn0 ?6k1k2 r r r knq1 q2qnt1r r rt2tm$!%***0q0AU ? j ut0q0? t00Ïîêà ôèøêà îñòàåòñÿ â ïîçèöèè q0 , ¾ãîëóáàÿ¿ ïîäñåòüðàáîòàåò òî÷íî òàê æå, êàê ñåòü π , ò.å.
ìîæåò äîñòè÷ü ëþáîéðàçìåòêè M 0 = hk10 , k20 , . . . , kn0 i èç ìíîæåñòâà R(π) .Âàðèàíòû ïðîáëåìû äîñòèæèìîñòèCåòü Ïåòðè πM'#p1 p2pn000r r rkkknπ : 12"&t10 ? t20 ? 66tn0 ?6k1k2 r r r knq1 q2qnt1r r rt2tm$!%***0q0AU ? j ut0q0? t00Ïîêà ôèøêà îñòàåòñÿ â ïîçèöèè q0 , ¾ãîëóáàÿ¿ ïîäñåòüðàáîòàåò òî÷íî òàê æå, êàê ñåòü π , ò.å. ìîæåò äîñòè÷ü ëþáîéðàçìåòêè M 0 = hk10 , k20 , .
. . , kn0 i èç ìíîæåñòâà R(π) .Âàðèàíòû ïðîáëåìû äîñòèæèìîñòèÑåòü Ïåòðè πM'#p1 p2pnk20 r r r kn0k10π : "&t10 ? t20 ? 66tn0 ?6k1k2 r r r knq1 q2qnt1 r r rt2tm$!%u ***q00AU ? jt0q0? 0t0Íî êàê òîëüêî ôèøêà ïåðåõîäèò èç ïîçèöèè q0 â ïîçèöèþ q00 ,âñå ïåðåõîäû ïîäñåòè π ïåðåñòàþò áûòü àêòèâíûìè.Âàðèàíòû ïðîáëåìû äîñòèæèìîñòèÑåòü Ïåòðè πM'#p1 p2pn000r r rkkknπ : 21"&t10 ? t20 ? 66tn0 ?6k1k2 r r r knq1 q2qnt1 r r rt2tm$!%u ***0q0AU ? jt0q0? 0t0Çàòî àêòèâíûìè ñòàíîâÿòñÿ âñå ïåðåõîäû t10 , t20 , . . . , tn0 .È òîãäà ïîçèöèè p1, p2, . . .
, pn , à òàêæå q1, q2, . . . , qn ìîãóòîïóñòîøèòüñÿ.Âàðèàíòû ïðîáëåìû äîñòèæèìîñòèÑåòü Ïåòðè πM'#p1 p2pnrrr000π : "&t10 ? t20 ? 66tn0 ?6r r r000q1 q2qnt1 r r rt2tm$!%***0q0AU ? jt0q0? t00Íî ýòî îïóñòîøåíèå ìîæåò ñëó÷èòüñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäàk1 = k10 , k2 = k20 , . . . kn = kn0 .Âàðèàíòû ïðîáëåìû äîñòèæèìîñòèÒàêèì îáðàçîì, M = hk1, k2, . . . , kn i ∈ R(π) òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà 0 ∈ R(πM ) .Cåòü Ïåòðè πM'#p1 p2pnrrrπ : "&t10 ? t20 ?66tn0 ?6k1k2 r r r knq1 q2qnt1 r r rt2tm$!%***0q0? 0t0AU ? j ut0q0Âàðèàíòû ïðîáëåìû äîñòèæèìîñòèÄðóãèì âàðèàíòîì ïðîáëåìû äîñòèæèìîñòè ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìàîãðàíè÷åííîé äîñòèæèìîñòè ðàçìåòîê ñåòè Ïåòðè.Ïóñòü çàäàíà íåêîòîðûå ïðîèçâîëüíûå ñåòü Ïåòðè π è ååêîíå÷íàÿ èëè ïðåäåëüíàÿ ðàçìåòêà M .Ïðîáëåìà îãðàíè÷åííîé äîñòèæèìîñòè ñîñòîèò â òîì, ÷òîáûïðîâåðèòü, ñóùåñòâóåò ëè òàêàÿ êîíå÷íàÿ ðàçìåòêàM 0 , M 0 ∈ R(π) , êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó M 0 M .Òåîðåìà îá îãðàíè÷åííîé äîñòèæèìîñòèÏðîáëåìû äîñòèæèìîñòè è îãðàíè÷åííîé äîñòèæèìîñòè äëÿîáûêíîâåííûõ ñåòåé Ïåòðè âçàèìíî ñâîäèìû äðóã ê äðóãó.Çàäà÷à [òðóäíàÿ] .Äîêàçàòü òåîðåìó îá îãðàíè÷åííîé äîñòèæèìîñòè.Ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòèÏðîáëåìû 0-äîñòèæèìîñòè è æèâîñòè ñåòåé Ïåòðèâçàèìîñâÿçàíû.Òåîðåìà î ñâîäèìîñòè ïðîáëåìûäîñòèæèìîñòè ê ïðîáëåìå æèâîñòèÏðîáëåìû 0-äîñòèæèìîñòè äëÿ îáûêíîâåííûõ ñåòåé Ïåòðèàëãîðèòìè÷åñêè ñâîäèìà ê ïðîáëåìå æèâîñòè.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîé ñåòè Ïåòðè π ìîæíî ïîñòðîèòü òàêóþñåòü Ïåòðè πlive , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ æèâîé â òîì è òîëüêî òîìñëó÷àå, åñëè 0 ∈/ R(π) .Ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòèÏðåäïîëîæèì, ÷òî, ãäå.Òîãäà ñåòü Ïåòðè πlive èìååò ñëåäóþùèé âèä:π = (P, T , F , W , M0 )P = {p1 , p2 , .
. . , pn } T = {t1 , t2 , . . . , tm },'#p1 p2pnrrrπ : YHiPPH"I@& PPP HH@PP HPP HH @PP H @P H??? PPH@t10t20tn0t006&&t1 r r rt2tm$!%AU qj u ?0$q00-& %?t0Ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòèÑåòü Ïåòðè πlive'#p1 p2pnrrrπ : YHiP"PPP HHI@&PPH@PP HHPP H @PPHH@P0 PH???000tttt @1n206&&t1 r r rt2tm!%AU qj u ?0$q00& %? t0Åñëè â ñåòè Ïåòðè π äîñòèæèìà ðàçìåòêà 0 , òî ñåòü Ïåòðèèìååò âû÷èñëåíèå, â êîòîðîì âíà÷àëå â ïîäñåòè π áóäóòîïóñòîøåíû âñå ïîçèöèè p1, p2, . . .
, pn , à çàòåì ðàáî÷àÿ ôèøêàïîêèíåò ïîçèöèþ q0 çà ñ÷åò ñðàáàòûâàíèÿ ïåðåõîäà t0 .πlive$Ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòèÑåòü Ïåòðè πlive'#p1 p2pnr r rπ : YHiPPH"I@& PPP HH@PP HPP H@PPHH @P H? 0 ?? P0 PH@000t10t20tnt06&&t1 r r rtm$!%q0AU ?j$q00-& %0t20? t0Òàêèì îáðàçîì, ñåòü Ïåòðè πlive òàêæå äîñòèãàåò ðàçìåòêè 0 .Ò.ê. äëÿ ëþáîãî ïåðåõîäà t ñåòè πlive âåðíî •t 6= ∅ , ðàçìåòêà 0ÿâëÿåòñÿ òóïèêîâîé ðàçìåòêîé ñåòè πlive .Çíà÷èò, ñåòü Ïåòðè πlive íå ÿâëÿåòñÿ æèâîé.Ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòèÑåòü Ïåòðè πlive'#p1 p2pnt1r rπ : rHYiPPPH"I@&PP HH@PP HPP H@PPHH @PPHt0 ? t0 ?t 0 ? t 0 PH@1n206&& r r rt2tm$!%AU qj u ?0$q00-&%? t0À åñëè â ñåòè Ïåòðè π ðàçìåòêà 0 íåäîñòèæèìà, òî â ëþáîéäîñòèæèìîé ðàçìåòêå M ñåòè πlive íåïóñòîé áóäåò ëèáî îäíà èçïîçèöèé p1, p2, .
. . , pn (åñëè äî ýòîãî åùå íå ñðàáîòàë íè îäèíèç ïåðåõîäîâ t10 , t20 , . . . , tn0 ), ëèáî ïîçèöèÿ q00 (â ñëó÷àåñðàáàòûâàíèÿ êàêîãî-ëèáî èç ïåðåõîäîâ t10 , t20 , . . . , tn0 ).Ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòèÑåòü Ïåòðè πlive'#p1 p2pnt1r rπ : rHYiPPPH"I@&PP HH@PP HPP H@PPHH @PPHt0 ? t0 ?t 0 ? t 0 PH@1n206&& r r rt2tm$!%q0AU ?j$q00-&%? t0Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ðàçìåòêó M, M ∈ R(πlive ) , èïîêàæåì, êàê àêòèâèçèðîâàòü ïðîèçâîëüíûé ïåðåõîä t .Ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòèÑåòü Ïåòðè πlive'#p1 p2pnt1tr rπ : rHYiPPPH"I@&PP HH@PP HPP H@PPHH @PPHt0 ? t0 ?t 0 ? t 0 PH@1n206&& r r rt2tm$!%q0AU ?j$q00-&%? t0Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ðàçìåòêó M, M ∈ R(πlive ) , èïîêàæåì, êàê àêòèâèçèðîâàòü ïðîèçâîëüíûé ïåðåõîä t .1) Åñëè M(q00 ) = 0 , òî M(pi ) 6= 0 äëÿ íåêîòîðîãî i, 1 ≤ i ≤ n .Ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòèÑåòü Ïåòðè πlive'#p1 p2pnt1r rπ : rHYiPPPH"I@&PP HH@PP HPP H@PPHH @PPHt0 ? t0 ?t 0 ? t 0 PH@1n206&& r r rt2tm$!%q0AU ?j$q00-&%-t? t0Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ðàçìåòêó M, M ∈ R(πlive ) , èïîêàæåì, êàê àêòèâèçèðîâàòü ïðîèçâîëüíûé ïåðåõîä t .1) Åñëè M(q00 ) = 0 , òî M(pi ) 6= 0 äëÿ íåêîòîðîãî i, 1 ≤ i ≤ n .Òîãäà ïîñëå ñðàáàòûâàíèÿ ïåðåõîäà ti0 ïîëó÷àåì êîíôèãóðàöèþM 0 , â êîòîðîé M 0 (q00 ) > 0 .Ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòèÑåòü Ïåòðè πlive'#p1 p2pnt1r rπ : rHYiPP" PP HHI@&PPH@PP HHPP H @PPH @H? 0 ?? PH@000Pt1t2tnt06&& r r rt2tm$!%q0AU ?j$q00-&t%?t0Åñëè M(q00 ) > 0 , òî ïåðåõîä t00 àêòèâåí è áóäåò îñòàâàòüñÿàêòèâíûì âñåãäà.Ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòèÑåòü Ïåòðè πlive'#t1t tp1 t tp2t tpnπ : t tt t r rr t tHYiPP" PP HHI@&PPH@PP HHPP H @PPH @H? 0 ?? PH@000Pt1t2tnt06&& r r rt2tm$!%AU qj t t?0$t t0-t tq0&t%-t t?t0Åñëè M(q00 ) > 0 , òî ïåðåõîä t00 àêòèâåí è áóäåò îñòàâàòüñÿàêòèâíûì âñåãäà.Ïðè ìíîãîêðàòíîì ñðàáàòûâàíèè ïåðåõîä t00 ñïîñîáåíäîñòàâèòü ñêîëü óãîäíî ìíîãî ôèøåê â ëþáóþ ïîçèöèþ ñåòè,ñäåëàâ àêòèâíûì ëþáîé ïåðåõîä t .
Çíà÷èò, ñåòü πlive æèâàÿ.Ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòèÄîêàçàòåëüñòâî (îêîí÷àíèå).Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñåòè Ïåòðè π óäàëîñüïîñòðîèòü òàêóþ ñåòü Ïåòðè πlive , ÷òî0∈/ R(π) ⇔ πlive æèâàÿ ñåòü.À òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî ïðîáëåìà æèâîñòè äëÿ îáûêíîâåííûõñåòåé Ïåòðè, â ñâîþ î÷åðåäü, àëãîðèòìè÷åñêè ñâîäèìà êïðîáëåìå äîñòèæèìîñòè.Íî äëÿ ýòîãî ïîíàäîáèòñÿ âñïîìîãàòåëüíûå ïîíÿòèÿ.Ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòèÄëÿ çàäàííîãî ïåðåõîäà t êîíå÷íàÿ èëè ïðåäåëüíàÿ ðàçìåòêàM ñåòè Ïåòðè π íàçûâàåòñÿ t -òóïèêîâîé , åñëè ïåðåõîä t íåÿâëÿåòñÿ àêòèâíûì íè â îäíîé ðàçìåòêå M 0 èç ìíîæåñòâàR(π, M) , ò.å.
íè â êàêîì âû÷èñëåíèè ñåòè π , íà÷èíàþùèìñÿèç ðàçìåòêè M , ïåðåõîä t íèêîãäà íå ñðàáàòûâàåò.Î÷åâèäíî, ñåòü Ïåòðè π ÿâëÿåòñÿ æèâîé òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà èç åå íà÷àëüíîé ðàçìåòêè íå äîñòèæèìà íèêàêàÿ t-òóïèêîâàÿ ðàçìåòêà íè äëÿ îäíîãî ïåðåõîäà t .Îáîçíà÷èì çàïèñüþ Dt (π) ìíîæåñòâî âñåõ t -òóïèêîâûõðàçìåòîê ñåòè Ïåòðè π .Ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòèËåììà 1 .Äëÿ ëþáîé ïàðû ðàçìåòîê M, M 0 (êîíå÷íûõ èëè ïðåäåëüíûõ)âåðíî ñîîòíîøåíèåM ∈ Dt (π) ∧ M 0 M ⇒ M 0 ∈ Dt (π).Äîêàçàòåëüñòâî.Íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ t -òóïèêîâîñòèðàçìåòîê è îñíîâíîé òåîðåìû î ìîíîòîííîñòè âû÷èñëåíèéîáûêíîâåííûõ ñåòåé Ïåòðè.Ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòèËåììà 2 .Äëÿ ëþáîé ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòèðàçìåòîê α = M1 ≺ M2 ≺ M3 ≺ . .
. èç ìíîæåñòâà Dt (π) âåðíî,÷òî sup(α) ∈ Dt (π) .Äîêàçàòåëüñòâî.Çàìåòèì, ÷òî sup(α) ýòî òàêàÿ ðàçìåòêà M∞ , êîòîðàÿ äëÿëþáîé ïîçèöèè p óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ(Mi (p), åñëè ∀ j : j ≥ i : Mj (p) = Mi (p),M∞ (p) =∞, èíà÷å.Èç îñíîâíîé òåîðåìû î ìîíîòîííîñòè âû÷èñëåíèéîáûêíîâåííûõ ñåòåé Ïåòðè ñëåäóåò, ÷òî M∞ ∈ Dt (π) .Ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòèËåììà 3 .Äëÿ ëþáîé ñåòè Ïåòðè π è ïåðåõîäà t ìíîæåñòâî Dmaxt (π)âñåõ ìàêñèìàëüíûõ (ïî îòíîøåíèþ ) ðàçìåòîê ìíîæåñòâàDt (π) êîíå÷íî.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå: ñîâîêóïíîñòü Dmaxt (π) âñåõìàêñèìàëüíûõ ðàçìåòîê ìíîæåñòâà Dt (π) áåñêîíå÷íà.Òîãäà ïî ëåììå î áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâàõ ðàçìåòîê âìíîæåñòâå Dmaxt (π) åñòü áåñêîíå÷íàÿ ìîíîòîííîâîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçìåòîê.Îäíàêî ñóùåñòâîâàíèå òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðîòèâîðå÷èòòîìó, ÷òî ëþáûå äâà ìàêñèìàëüíûõ ýëåìåíòà ÷àñòè÷íîóïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà íåñðàâíèìû.Ïðîáëåìû æèâîñòè è äîñòèæèìîñòèËåììà 4 .Äëÿ ëþáîé ñåòè Ïåòðè π è ïåðåõîäà t ìîæíî ýôôåêòèâíîïîñòðîèòü òàêîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðàçìåòîê sup(D) , ÷òîDt (π) = {M : ∃ M 0 : M 0 ∈ sup(D) ∧ M M 0 } .Äîêàçàòåëüñòâî.Ïîêàæåì, ÷òî sup(D) = Dmaxt (π) .1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
