Методы оптимизации (часть 1) (1264230), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Доказательство единственности решения или его отсутствия.Пример:1Дано: функционал вида J = ( x2 +  2 x2 )dt → min ,0граничные условия: x(0) = 0 x(1) = x1.Требуется определить: xo (t ) - экстремаль, доставляющую минимум функционалу, ипроходящую через граничные точки 0; xk  в моменты времени t = 0 и t = 1 .Решение: Поскольку задача уже формализована, то остаётся только, согласно правилу,составить и решить уравнение Эйлера.Вначале необходимо определить частные производные интегранта функционала повсем, входящим в него, координатамFx = 2x,Fx = 2 2 x.Затем составить уравнение Эйлера (1.1) в видеFx −dFx = 2x − 2 2 x = 0.dtПосле выполнения элементарного преобразования уравнение Эйлера примет видx−12x =0.Так как корни характеристического полинома p2 −11= 0 соответственно равны p1,2 =  ,2то уравнение семейства экстремалей можно записать так1− t1tx(t) = C1e  + C2e .Постоянные интегрирования C1, C2 в этом уравнении определяются из граничных условий0 = C1 + C211− x11 = C1e  + C2e ,и соответственно равныC1 =x1−1e −e1, C2 = −x1−1e −e1.Следовательно, искомое уравнение экстремали примет видx (t ) =x1o−11− t1 (e1t−e ).e  − eгде xo (t ) - представляется единственным решением из семейства допустимых решений.11УМКД Методы оптимизацииВычисление экстремалей затрудняется тем, что уравнение Эйлера в общем случаеявляется нелинейным, поэтому особый интерес представляют важные частные классыфункционалов, когда интегрирование Эйлера упрощается.1) Первый частный класс функционалов, характерен тем, что интегрант F[x(t), t] несодержит производной координаты в явном виде.

Тогда уравнение Эйлера преобразуется квидуFx −dF = 0, = Fx = 0 .dt xВ этом случае дифференциальное уравнение превращается в функциональное уравнение.Пример:Дано: функционал видаt2J =  ( x − a)2 + (2x − b)3  etdt → min .t1Решение: Fx = 2( x − a) + 6(2x − b)2 = 0 .2) Второй частный класс функционалов, в которых выражение F[x(t), t] не содержит вявном виде искомой функции x(t) . Функционал такого вида называется интеграломимпульса. В этом случае Fx = 0, поэтому уравнение Эйлера принимает вид:Fx = constПример:1Дано: функционал вида J = x2dt → min ,0 x(0) = 0 x(1) = x1.Решение: определим Fx = 0 и Fx = 2x , и составим уравнение Эйлера2x = C1 .граничные условия:Решением этого уравнения будет семейство допустимых функцийx(t) = C1t + C0 .С учетом того, что C0 = 0;C1 = 1 уравнение экстремали примет вид: x0 (t) = t .

Решениеединственно.3) Третий частный класс функционалов. Этот класс характеризуется тем, что выражениефункционала не содержит в явном виде независимой переменной t , то есть F[x(t), x(t)] , иносит название интеграла энергии.В этом случае уравнение Эйлера принимает видF − xFx = const .Такое уравнение является первым интегралом уравнения Эйлера, т.е.дифференциальным уравнением первого порядка.Доказательство:xFx − x=dddx d  dF ( x, x) Fx = F ( x, x) −=dtdtdt dt  dx dF( x, x) − xFx ( x, x) = 0dt12УМКД Методы оптимизацииПример:1Дано: функционал вида J = x2 x2dt → extr ,0 x(0) = 1 x(1) = 2.граничные условия:Fx = 2 xx2Решение: определим частные производные интегранта функционала ,2Fx − 2 x xисоставим уравнение Эйлераx2 x2 − 2x2 x2 = C1( xx)2 = −C1 = C2 ,тогда1xdx C3= .

Проинтегрировав обе частиЭто уравнение с разделяющимися переменнымиdt xxx =  C2 = C3,или x = C3уравнения, получим уравнение семейства допустимых экстремалей xdx =  C dt31 2x = C4t + C52x(t) =  2C4t + 2C5 .После определения из граничных условий постоянных интегрирования C4 , C5 , уравнениеэкстремали определяется в окончательном виде и представляет собой гиперболуx0 (t ) =  t + 1 .Уравнение Эйлера является первым необходимым условием существованияэкстремума, но оно не дает ответа на вопрос, какой же вид экстремума (min или max)доставляет функционалу определенная в процессе решения уравнения Эйлера экстремальx0 (t ) .

Ответ на него дает второе необходимое условие существования экстремума - условиеЛежандра.t1Для того чтобы функционал вида J = F( x, x, t)dt в задаче с закрепленнымиt0граничными точками достигал на экстремали минимума или максимума, необходимо,чтобы вдоль этой кривой x0 (t ) выполнялось условие:2F( x, x, t) 0 - условие минимумаxx(12)или F( x, x, t)(13) 0 - условие максимума.xx2 F( x, x, t)Примечание: если= 0 , то возможны разрывы и изломы экстремали x0 (t ) .xx213УМКД Методы оптимизацииПример:1Дано:J =  x2 x2dt → extr .0В этом случае уравнение экстремали является гиперболой x0 (t ) =  t + 1 , но какойже вид экстремума доставляет эта экстремаль, минимум или максимум?Решение: определим условие Лежандра согласно (12) или (13)Fx = 2xx22  0t =1Fxx = 2x2 = 2(t + 1) t=0 = 4  0.Следовательно, x0 (t ) =  t +1 abs min , т.е.

экстремаль доставляет минимум заданномукритерию эффективности.Задача.Дано: функционал вида J =(x12+ tx ) dt → extr ,0граничные условия:x(0) = 0,x(1) = 1.Решить простейшую вариационную задачу на интервале времени t 0, 1 c .По условиям задачи подынтегральная функция F = x2 + tx.Для формирования уравнения Эйлера необходимо определить частные производныефункции F .F= t.xFFx == 2x.xFx =Тогда уравнение Эйлера примет видd (2x)= 0.dtt − 2x = 0 .tx= .2t−Проинтегрировав левую и правую части уравнения дважды, имеем следующееуравнение.x=t2+C .4 1t3x(t) = + C1t + C2.12Для определения значений констант C1 и С2 необходимо подставить в полученноеуравнение краевые условия.Откуда C2 = 0.

Тогда03x(0) = 0,  x(0) = + C1  0 + C2 = 0.12x(t) =t3+C t .12 114УМКД Методы оптимизацииx(1) = 1,  x(1) =13+ C 1 = 1.12 111. Тогда уравнение экстремали принимает вид12t 3 11xo (t) = + t .12 12Откуда C1 =График оптимальной траектории движения показан на рис. 2.2.Рис. 2.2. Оптимальная траектория движенияНа основе условия Лежандра можно определить тип экстремума функционалакачества.

Для этого необходимо найти вторую частную производную функции F поскорости x .Fxx = (F ) Fx== 2  0,xxxследовательно в данной задаче эустремаль обеспечивает критерию эффетивности минимум.Покажем, что траектория xo (t ) доставляет абсолютный минимум задачи. Для этогонеобходимо доказать, что J (xo + h)  J (xo ) для любой функции h(t) на интервале времениt 0, 10 с, удовлетворяющей краевым условиям h(0) = h(1) = 0. Данные условияобязательны к выполнению, поскольку в противном случае вариация оптимальнойтраектории движения xo (t) + h(t) не будет удовлетворять краевым условиям задачи.Условие J (xo + h)  J (xo ) равносильно условию J (xo + h) − J (xo )  0 .1(())J ( x + h) =  xo + h + t  ( xo + h) dt.o02J ( x ) =  ( xo2 + t  xo ) dt.1o0(())J ( xo + h) − J ( xo ) =  xo + h + t  ( xo + h) dt − ( xo2 + t  xo ) dt =11(02)101()=  xo2 + 2xoh + h2 + t  xo + t  h − xo2 − t  xo dt =  2xoh + h2 + t  h dt 01(0)  2xoh + t  h dt = …015УМКД Методы оптимизации ( h ) dt 0 для любой функции1Последнее преобразование выполнено в силу того, что20h(t ) .

Далее необходимо произвести преобразование первого слагаемого в интегранте в силутого, что hdt = dh .11 2x hdt =  2x dh .oo00Необходимо проинтегрировать данное уравнение по частям, принимая во внимание, что11 udv = u  v 0 −  vdu, где u = 2xo , v = h .101 2x dh = 2xoo00111 h 0 −  hd (2x ) = 2x (1)  h(1) − 2x (0)  h(0) −  2h  x dt = − 2h  xodt1oooo000В силу требований к краевым условиям к вариации.Тогда, возвращаясь к исследуемому выражению, получаемJ ( x + h) − J ( x )  − 2h  x dt +  t  hdt =  h  (t − 2  xo ) dt .1oo1100o0В силу найденного уравнения Эйлера t − 2x = 0 данное неравенство принимает видoJ (xo + h) − J (xo )  0для любой функции h(t) , удовлетворяющей краевым условиям.Следовательно найденная экстремаль доставляет абсолютный минимум критериюэффективности.

Можно определить его значение  t 2 11 2 t 3 11  533=  ( x + t  x ) dt =   +  + t   + t   dt = 1,4806.12 360 12 12  00  41Jmin2.2.1o2oВариационная задача со старшими производнымиОбобщением простейшей задачи вариационного исчисления является задача наотыскание экстремума функционала, зависящего не только от первой, но и от старшихпроизводных искомой функции.t1J =  F[ x(t), x(t), x(t),..., x(n) (t), t]dt → extr .(2.12)t0Граничные условия в этом случае имеют видx(t1 ) x(t0 ) x(t )x(t1 )0(2.13) x( n−1) (t0 )x(n−1) (t1 ).Необходимо определить: xо (t ) – уравнение экстремали, доставляющей экстремумфункционалу (2.12) и проходящей в моменты времени t0 и t1 через граничные точки (2.13).Доказательство: предположим, что уравнение экстремали xo (t ) определено.

Характеристики

Список файлов лекций