Изопериметрическая задача (1264227)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Изопериметрическая задачаПостановка задачи.Изопериметрическая задача отличается от простейшей вариационнойзадачи наличием в условиях дополнительного ограничения или системыограничений, заданных в форме интегрального уравнения.Дан критерий эффективности в форме ЛагранжаtkF (t , x, x)dtJextr .t0Задан интервал времени t t0 , tk .Заданы краевые условия на левом и правом концах траекторииx(t0 ) x0 , x(tk ) xk .Заданы изопериметрические условияtkf1 (t , x, x)dtJ1l1 ,t0. ....tkf m (t , x, x)dtJmlm .t0Требуетсяопределитьоптимальнуютраекториюдвиженияматериальной точки на заданном интервале времени, которая быудовлетворяла краевым условиям, а также системе изопериметрическихусловий таким образом, чтобы функционал качества достигал своегоэкстремума.Для решения поставленной задачи требуется сформироватьрасширенный критерий эффективности – лагранжианmL = 0 F (t , x, x) +  i f i (t , x, x) ,i =1где i , i = 0, m – неопределенные множители Лагранжа, отличные от нуля.0  0 в случае решения задачи минимизации критерия эффективности, 0  0в случае решения задачи максимизации критерия эффективности.

Дляопределения направления поиска экстремума можно воспользоватьсядостаточными условиями Лежандра для простейшей вариационной задачи.Необходимое условие существования экстремума лагранжианаобеспечивает уравнение Эйлера:dLx − Lx = 0 .dtДанное уравнение решается совместно с системой краевых условий исистемой изопериметрических условий. В результате определяется экстремальx o (t ) и оптимальное значение критерия эффективности J o .Пример.1Дан критерий эффективности J =  x 2 dt → extr .0Дан интервал времени t   0; 1 с.Даны краевые условия: x(0) = 0, x(1) = 1 .1Задано изопериметрическое условие: J1 =  txdt = 0 .0Определить экстремаль и оптимальное значение критерияэффективности.Решение.Для начала необходимо сформировать расширенный критерийэффективности – лагранжианL = 0 x 2 + 1tx .Далее формируется уравнение ЭйлераdLx − Lx = 0 .dtЧастные производные лагранжиана имеют видLLx == 1t ,xLLx == 20 x .xТогда уравнение Эйлера примет видd1t − (20 x) = 0 ,dt20 x = 1t ,откуда путем деления обеих частей уравнения на 20 можно получить егоследующий вариант:x=1t.20Введем обозначениеC=1,20тогда уравнение Эйлера примет окончательный видx = Сt .Возьмем неопределенный интеграл левой и правой частей по времениCx = t 2 + C1 .2Возьмём неопределенный интеграл левой и правой частей по времениCx(t ) = t 3 + C1t + C2 .6Данное уравнение описывает семейство траекторий движенияматериальной точки, которое зависит от значений неопределенных константинтегрирования C1 , C2 , а также коэффициента C .Воспользуемся краевыми условиями для определения их значений.Краевое условие на левом конце:x(0) = 0 .Подставим время t = 0 в уравнение траектории движения и приравняемусловию на левом конце.Cx(0) = 03 + C1  0 + C2 = 0 .6С2 = 0 .Тогда описание траектории движения упроститсяCx(t ) = t 3 + C1t .6Краевое условие на правом конце:x(1) = 1 .Подставим время t = 1 с в уравнение траектории движения и приравняемусловию на правом концеCx(1) = 1 + C1  1 = 1.6CC1 = 1 − .6Подставим найденное значение в уравнение траектории движенияC Cx(t ) = t 3 + 1 −  t .66CДляопределениязначениякоэффициентанеобходимовоспользоваться изопериметрическим условием1J1 =  txdt = 0 .0 C + 1 −  t dt = 0 .6 0определенный интеграл с известными1C t  6 tВозьмеминтегрирования31пределами C 5 1 C  3 30 t + 3 1 − 6  t  = 0 . 0Приведем к единому знаменателю оба слагаемых в левой части16Ct 5 + (60 − 10C )t 3= 0.1800Умножим обе части уравнения на 180.16Ct 5 + (60 − 10C )t 3 = 0 .06C  1 + (60 − 10C )  1 − ( 6C  0 + (60 − 10C )  03 ) = 0 .5354C = 60 .C = 15.Подставим найденный коэффициент в уравнение траектории движенияи уравнение скорости15 15 x o (t ) = t 3 + 1 −  t ,6653x o (t ) = t 3 − t .22153x o (t ) = t 2 − .22График экстремали представлен на рисунке 1.Рис.

1. График экстремали x o (t )График оптимальной скорости движения представлен на рисунке 2.Рис. 2. График оптимальной скорости движения материальной точки x o (t )Под интегралом изопериметрического условия присутствует функцияf1 (t , x) = t  x .Определим ее описание3  535f1 (t , x) = t   t 3 − t  = t 4 − t 2 .2  222График функции f1 (t , x ) представлен на рисунке 3.Рис. 3. График функции f1 (t , x )На рисунке 3 площадь под кривой выше нуля равна площади под кривойниже нуля, в этом заключается геометрический смысл наложенногоизопериметрического условия.В соответствии с условием Лежандра, необходимо определить знаквторой частной производной Lxx .L  (2 x)Lxx = x == 2  0.xxТаким образом, движение по найденной экстремали и с полученнойоптимальной скоростью обеспечивает критерию эффективности экстремум вформе минимума.Определим значение критерия эффективности.2111 15 2 3  225 4 45 2 9 oo2J =  x dt =   t −  dt =  t − t +  dt =224240001159 45 − 30 + 9 24 43=  t5 − t3 + t  === 6.24 044 4.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций