Воронов Е. М. Методы оптимизации управления ММС на основе стабильно-эффективных игровых решений (2001) (1264203), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Тогда множество Q совпадает с множеством Q s J слабооптимальных по Парето (оптимальных по Слейтеру [224]) решений.Замечание 6.1. Решение q1∈Q s J, вообще говоря, может не быть оптимальным по Парето, так как множество решений, оптимальных по Паретои оптимальных по Слейтеру, связаны между собой отношением(6.11)Q П J ⊆ Q s J.С учётом условия (6.10) возможна ситуация, когда=J i (q ") J i (q '), i ∈ L;J j (q ") ≤ J j (q '), j ∈ ( M \ L).
Следствие 6.2. При условиях, сформулированных в утверждении 6.3,решение qr, равновесное по Нэшу между векторными показателями (6.1)(если оно существует), принадлежит множеству решений, оптимальных поСлейтеру.Отметим, что так же, как и в случае (6.6), условие (6.10) означает, чторассматривается игра с «возмущенной» постоянной суммойГлава 6. Методы комбинирования решений∑ J i (q ) =209c + ξ(q ) ,(6.12)i∈Mгдеξ(q ) =∑ J j (q ) .j∈( M |L )Следовательно, в этом случае можно применить утверждение 6.3 дляисследования условий близости Парето- и Нэш-решений.Проведенный анализ показывает, что взаимное расположение Паретои Нэш-решений в конфликтной ситуации с показателями эффективностивида (1 – 4) определяется свойствами компонент этих показателей, а такжесоотношением их приоритетов внутри коалиций.Влияние степени конфликтности в ММС с антагонистическим ядром в векторных показателях на свойства СТЭК.
Пусть скалярнаясвёртка показателей i-го объекта:J i (q=)li∑ αij J ij ; =ili1, N ;∑ αij==j 1 =j 11; 0 ≤ αij ≤ 1 ,(6.13)где подвектор qi, например, параметризованного ПКЗУ i-й системы, принадлежит вектору q.Пусть показатели J i1 составляют постоянную суммуN∑ J i1 ( q ) = 0.(6.14)i =1Определение 6.1.
Степенью конфликтности (Degree of conflict) в системе (6.14) называется величина(6.15)D c = min [αi1] .iСоотношение (6.14) приобретает свойства антагонизма, если любой коалиции из объектов с целевым скаляром ∑ J i1 противодействует коалиi∈Kция из остальных объектов∑ J i1 + ∑i∈Ki∈N / KJ i1 =0.Как известно, стабильные решения qr = (q 1 r,...,q N r) в общем случае приотсутствии ограничений определяются необходимыми условиями оптимальности по Нэшу∂J ij (q r / qi )∂J i (q r / qi ) li0; i =1, N ,=α=∑ ij ∂q∂qiij =1(6.16)где qr/q i = (q 1 r,…, q i-1 r, q i, q i+1 r,…,q N r).Эффективная Парето-оценка (qП, JП) определяется из экстремальныхсвойств свёртки210Стабильные эффективные решения и компромиссы.
Часть IJ=N∑ γ i J i (q) → opt; ∑ γ=ii =11; 0 ≤ γ i ≤ 1 ,(6.17)iгде γ i определяет значимость (приоритетность) i-го объекта в многообъектной системе.Определение 6.2. Обобщённой степенью конфликтности в системе(6.14) называется величина(6.18)Dc0 = min γ i αi1 .iДля выявления свойств степени конфликтности и анализа области применения ПКЗУ в неантагонистических ситуациях рассмотрим без ограничения общности результата N = 2, l i = 2, что в то же время соответствуетдвухобъектной системе с двухмерными векторными показателями, тогдасистема (6.13)принимает вид:J 1 (q) = α J 11 +(1 – α) J 12 ,J 2 (q) = β J 21 +(1 – β) J 22 .(6.19)Система (6.14)принимает вид(6.20)J 11 + J 21 = 0.Свёртка (6.17) с учётом (6.20) принимает видJ = γJ 1 +(1 – γ)J 2 = αγJ 11 +(1 – γ)βJ 21 +γ(1 – α)J 12 +(1 – γ)(1 – β)J 22 == (αγ – (1 – γ)β)J 11 +γ (1 – α)J 12 +(1 – γ)(1 – β)J 22 .(6.21)Степень конфликта и обобщённая степень конфликта соответственно:D c = min[α;β],(6.22)0(6.23)Dc = min[γα;(1 – γ)β].Из (6.22) следует, что степень конфликта по ядру определяется объектом, который имеет меньшую значимость антагонистического ядра (6.20).Из (6.23) следует, что обобщённая степень конфликтности определяетсяминимальным произведением значимости антагонистического ядра наприоритетность объекта.Далее приведен ряд утверждений, которые раскрывают влияние степени конфликтности на взаимосвязь свойств стабильности и эффективности.Утверждение 6.4.
С увеличением степени конфликтности стабильныерешения (6.16) сближаются с областью эффективных решений (6.17).Замечание. 6.2. Следует иметь в виду, что по определению допустимые значения множества показателей J ij , j = 1,…, l i , i = 1,...,N при наличиисвязи (6.14) составляют Парето-множество. Но стабильные и эффективныерешения рассматриваются на векторе J i , i = 1,...,N, при этом решения составляют часть границы в векторном пространстве допустимых значенийпоказателей.Утверждение 6.5. При равной приоритетности объектов и равной значимости антагонистического ядра эффективная Парето-оценка формируется и достигается в единственной точке трёхмерной области показателей.Глава 6.
Методы комбинирования решений211Пусть цели объектов равно приоритетны, следовательно, в (6.21) величина γ = 0,5. Тогда (6.21) приобретает вид(6.24)J = (α – β)J 11 +(1 – α)J 12 +(1 – β)J 22 .Если α = β ≠ 1, то эффективная Парето-оценкаJ = (1 – α)(J 12 +J 22 )→optопределяется в единственной точке qП.Данная точка является внутренней точкой трёхмерного пространства(6.25)J 11 (qП), J 12 (qП), J 22 (qП).Следствие 6.3.
Из утверждений 6.4, 6.5 следует, что при увеличенииα = β ≠ 1 стабильное решение стремится к найденной точке.Следствие 6.4. При α = β = 1 из выражения (6.24) следует, что оптимизация эффективности вырождается, так как ситуация (6.19), (6.20) становится антагонистической.Утверждение 6.6. При α = β = 1, γ ≠ 0,5 оптимизация эффективности(6.21) превращается в оптимизацию показателя объекта, имеющего больший приоритет.Анализируя выражение (6.21), можно обнаружить, что при α = β = 1,γ > 0,5; J = (2γ – 1)J 11 , где 2γ – 1>0.И наоборот, при γ < 0,5; J = (2γ – 1)J 11 = – (1 – 2γ)J 11 = (1 – 2γ)J 21.Утверждение 6.7. Оптимизация (6.21) при α ≠ β при фиксированных α,β, γ даёт точку на Парето-границе трёхмерной допустимой области (J 11 ,J 12 , J 22 ) или (J 21 , J 12 , J 22 ), если обобщённая степень конфликтности (6.23)определяется вторым или первым объектом соответственно.При оптимизации выражения (6.21) процесс Парето-оптимизации будетиметь место, если коэффициенты при показателях находятся в диапазоне(0,1) и их сумма равна единице.Можно показать, что0 ≤ γ(1 – α) ≤ 1, 0<(1 – γ)(1 – β) ≤ 1, – 1 ≤ γα – (1 – γ)β ≤ 1.Тогда:а) если γα ≥ (1 – γ)β, т.е.
Dc0 = (1 – γ)β, то 0 ≤ γα – (1 – γ)β ≤ 1;б) если γα ≤ (1 – γ)β, т.е. Dc0 = γα, то – 1 ≤ γα – (1 – γ)β ≤ 0.Следовательно, выражение (6.21) имеет место при αγ ≥ (1 – γ)β. Приαγ ≤ (1 – γ)β исключается величина J 11 и выражение (6.21) принимает видJ = ((1 – γ)(β – γ α)J 21 +γ(1 – α)J 12 +(1 – γ)(1 – β)J 22 ).Утверждение 6.8. Для объекта, который определяет степень конфликтности (6.22), стабильные свойства Нэш-решения менее эффективны.Утверждение 6.9. При различном приоритете объектов (γ ≠ 0,5) эффективная оценка на основе (6.21) без компонент антагонистического ядраподчиняется условию: степень значимости антагонистического ядра дляобъектов обратно пропорциональна приоритетности объектаα / β = (1 – γ) / γ.(6.26)2126.2.2.Стабильные эффективные решения и компромиссы.
Часть IСТЭК на основе Парето–Нэш–УКУ–Шепли-комбинацийВ данном разделе рассматриваются схемы формирования компромиссов, их систематизация на основе принципа необязательных соглашений ив условиях, в основном, объективной информации о ММС.Технология формирования компромиссов базируется на интерактивныхпроцессах, комбинирующих указанные модули оптимизаций с разной степенью автоматизации интерактивных процедур.Интерактивные процедуры, как и модули оптимизации, реализуются, восновном, в программной системе многокритериальной оптимизации многообъектных динамических систем («МОМДИС»), описание которой данов работах [48, 213] и главе 9.Результат оптимизации, как и ранее, позволяет получить параметрыпрограммно-корректируемых законов управления (ПКЗУ), оптимальныеуправления и решения в ММС.Параллельная реализация модулей оптимизации позволяет обеспечитьреальное время для схем СТЭК.Большинство схем СТЭК полностью реализованы в среде «МОМДИС»,«MATLAB», «DELPHI» или в собственной среде, некоторые схемы СТЭКимеют заявочный характер.Далее формируется математическое описание схем СТЭК и общиеблок-схемы предлагаемых интерактивных алгоритмов.Выбор наиболее эффективного решения по Нэшу (СТЭК-1).
Потребность в данном СТЭК возникает, когда скалярное равновесие по Нэшупри фиксированной структуре ММС является неединственным. Практически речь идет о выборе недоминируемых решений по Нэшу.Определение 6.3. Нэш-решение игры Г(Р)''''''u r = (uKr 1 ,..., uKr l ) , где K i ∈P = М K , i = 1,...,l; u∈Uдоминирует решение u r′ , еслиJ Ki ( u r′′ ) ≥ J Ki ( u r′ ), i = 1,…,l.В рамках СТЭК-1 предполагается, что недоминируемое решение u r′′ –единственное, тогда оно наиболее эффективно для всего коалиционногоразбиения ММС, поэтому принимается игроками как необязательное соглашение.Алгоритмическая схема СТЭК-1 может быть сформирована с помощьюодного из методов Парето-оптимизации на конечном множестве точек.Одной из технологически удобных процедур является Паретооптимизация на основе конусов доминирования, рассмотренная в работах[47, 213, 428, 430] и главе 3.Условие доминирования решения J ′′ над J ′ относительно конуса Ω сматрицей В имеет простой видB∆J ≥ 0,(6.27)где ∆J = J ′′ – J ′ , J ′′ = J( u′′ ), J ′ = J( u′ ).Глава 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
