Воронов Е. М. Методы оптимизации управления ММС на основе стабильно-эффективных игровых решений (2001) (1264203), страница 39
Текст из файла (страница 39)
С учетом этого рассматриваются два новых принципа оптимизации: бесполезность угрозы (защищенные исходы), рискованностьугроз (дальновидная устойчивость).Введен и аксиоматически представлен класс критериев Эрроу–Гурвицадля обобщенной задачи принятия решения в условиях неопределенности.Как было отмечено ранее, рассмотрено обобщение арбитражного решенияНэша в виде арбитражной схемы Райфы, которая приводит к точке пересечения Парето-области с отрезком, соединяющим гарантированное решение с утопическим.Сформировано понятие пропорционального арбитражного решения,близкое к СТЭК-12, СТЭК-13, которое физически означает постепенноепродвижение по лучу, проведенному из точки гарантированных решенийк Парето-границе, и, следовательно, дает возможность решать задачу почастям.Исследованы так называемые групповые решения, которые имеют много общего с арбитражными схемами.
Групповое решение переплетается сгрупповыми играми: любое правило типа принятия решения по большинству голосов можно представить в виде просто игры, где основной результат голосования сформулирован как функция общественного блага.Глава 6. Методы комбинирования решений2056.2. КОМПРОМИССЫ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПАНЕОБЯЗАТЕЛЬНЫХ СОГЛАШЕНИЙ6.2.1.Анализ условий для получения предельного СТЭК(ПСТЭК). Общий анализ условий «близости» стабильныхи эффективных решений с учетом особенностей структурывекторного показателя ММС для полученияустойчивого эффективного решения (ПСТЭК)Анализ взаимосвязи Парето- и Нэш-решений, а также выявление ситуаций их близости имеет большое значение при исследовании ММС, таккак это дает возможность:• оценить эффективность функционирования системы и возможности ееповышения;• выбирать на множестве Парето или в его окрестности точки,обладающие свойством устойчивости к изменению ситуации какойлибо из коалиций, т.е.
может рассматриваться как способ уменьшениянеопределенности на множестве Парето;• выбирать среди стабильных решений недоминируемые, максимальноэффективные;• обеспечить попадание на множество Парето стабильных «угрозконтругроз» (УКУ) и т.д.Эффективность функционирования каждой подсистемы, входящей вмногообъектную систему, характеризуется векторным показателем вида(6.1)=J iT [ J1iT , J i2T , J i3T ], i ∈ M K ,где М K – множество коалиционных индексов разбиения, где компонентыJ ij , вообще говоря, сами являются векторными и обладают следующимисвойствами:1) J1i = J1i (q ) ;∑i∈M KJ1i (q ) = C ,2) J i2 = J i2 (qi ) ; i ∈ M K ,3)J i3=J i3 (q ); i∈MK .(6.2)(6.3)(6.4)Отметим, что J , q , i ∈ M K определяют состав коалиции, причем qi –множество управляющих факторов коалиции (параметризованных управлений, параметризованных законов – стратегий и т.д.).Соотношение (6.2) означает, что часть компонент векторного показателя системы J T = [ J1T ,..., J mK T ] образуют постоянную сумму, т.е.
являютсясущественно конфликтными. Соотношение (6.3) означает, что у каждойкоалиции есть показатели, зависящие только от параметров qi этой коаiiСтабильные эффективные решения и компромиссы. Часть I206лиции. Относительно этих показателей взаимодействие не является конфликтным. Соотношение (6.4) означает, что внутри каждой коалиции могут быть показатели, зависящие от параметров всей системы и отражающие тот факт, что коалиции являются составными, взаимосвязанными частями единой системы.Таким образом, имеем коалиционную игру вида (6.1), при исследовании которой принципиально возможны варианты:• со скалярными показателями коалиций (когда определены приоритетывнутри коалиций и может быть осуществлена скаляризация каждоговектора J i , i ∈ M K );• с векторными показателями J i (когда приоритеты внутри коалиций неопределены, или определены лишь с точностью до конусовдоминирования).Случай скалярных показателей коалиции.
Предполагаем, что скалярные показатели коалиций могут быть представлены в видеФ1 (q ) = λ11 J11 (q ) + λ12 J 21 (q1 ) + λ13 J 31 (q ); Ф2 (q ) = λ 21 J12 (q ) + λ 22 J 22 (q 2 ) + λ 23 J 32 (q ). (6.5)Для простоты обозначений в (6.5) и далее предполагается, чтоФ = [Ф1 , Ф2 ] , т.е. число коалиций mK = 2 , а компоненты J ij – скаляры.Компоненты λ ij в (6.5) характеризуют значимость первичных показателей внутри коалиций. С точки зрения взаимного расположения Паретои Неш-решений необходимо проанализировать следующие вариантыструктуры скалярных показателей Ф 1 и Ф 2 :λ11 > λ12 , λ11 > λ13 ,λ 21 > λ 22 , λ 21 > λ 23 .То есть в показателях Фi более приоритетными являются компоненты,образующие постоянную сумму.
В этом случае векторный показатель Фобладает свойством:(6.6)∑ Фi (q)= C + ξ(q) ,i∈M Kгде=ξ(q )∑i∈M K 1i ≠ j[(λ i1 − λ j1 ) J1i (q )] +∑ ( λi 2 J 2i (qi ) + λi 3 J 3i (q) ).i∈M KТо есть получили постановку с возмущенной постоянной суммойλ12 > λ11 , λ12 > λ13 ,λ 22 > λ 21 , λ 22 > λ 23 .Глава 6. Методы комбинирования решений207В показателях Ф i более приоритетными являются компоненты, развязанные по вектору параметров. В этом случае векторный показатель Ф обладает свойством:Ф1 (q ) = Ψ1 (q1 ) + ξ1 (q ); (6.7)Ф2 (q ) = Ψ 2 (q 2 ) + ξ2 (q ), гдеΨ1 (q1 ) =λ12 J 21 (q1 ); Ψ 2 =λ 22 J 22 (q 2 ),ξ1 (q ) = λ11 J11 (q ) + λ13 J 31 (q ),ξ2 (q ) = λ 21 J12 (q ) + λ 23 J 32 (q ).Показатели Ф 1 (q) и Ф 2 (q) развязаны по параметрам q1 и q2 c точностьюдо функций ξ 1 (q) и ξ 2 (q) причём значения коэффициентов λ 11 , λ 13 , λ 21 , λ 23малы.Возможны смешанные ситуации, напримерλ11 ≈ λ12 ≈ λ13 ,λ11 > λ12 ,или λ 21 > λ 22λ 21 ≈ λ 22 ≈ λ 23 .В этом случае трудно выявить какую-либо определённую структурувекторного показателя Ф.Таким образом, учёт особенностей задачи приводит к необходимостипроведения дополнительного исследования взаимосвязи Парето- и Нэшрешений для показателей вида (6.6) и (6.7).
Наложение на функции ξ, ξ 1 ,ξ 2 некоторых условий даёт возможность судить о положении нэшовскихточек относительно множества Парето для показателей вида (6.6), (6.7).Утверждение 6.1. Пусть в игре с возмущённой постоянной суммой(6.6) функция ξ(q) является ограниченной на множестве Q:(6.8)c2 inf ξ(q ); c = c 1 – c 2 ,=c1 sup ξ(q ); =q∈Qq∈Qа q* – произвольное допустимое решение.Тогда на множестве Парето Ф П (q), построенном в критериальном пространстве вектора Ф, можно выбрать точку qП такую, что∀ε > 0 ∃ η(ε) ∀c ≤ η(ε) Ф(q*) – Ф(qП)≤ ε.Следствие 6.1. При условиях, сформулированных в утверждении 6.1,решение qr, равновесие по Нэшу относительно векторного показателя Ф(если оно существует) удовлетворяет полученным неравенствам. То есть вкритериальном пространстве показателя Ф имеет место близость междунэшовскими и паретовскими точками.Утверждение 6.2. Пусть в игре с векторным показателем (6.7) функцииξ 1 (q) ξ 2 (q) ограничены на множестве Q:(6.9)ci′ inf ξi (q ); F i = c i – c′i ; i∈M K ,=ci sup ξi (q ); =q∈Qq∈Q208Стабильные эффективные решения и компромиссы.
Часть Iа q – решение, равновесное по Нэшу относительно показателя Ф и векторов q1 и q2, принадлежащих различным коалициям действия. Тогда существует такое решение qП∈ Ф П (q), что∀ε > 0 ∃ η(ε), ∀F i ≤ η(ε), i = 1, 2:Ф(qr) – Ф(qП) ≤ ε.Таким образом, в утверждениях 6.1 и 6.2 обоснована близость Паретои Нэш-решений для видов взаимодействия подсистем, характеризуемыхпоказателями (6.6) и (6.7).
Если приоритеты первичных показателей внутри коалиции распределяются в соответствии с вариантом (6.3), то получаем показатели Ф i коалиций достаточно общего вида. При этом решение qr,равновесное по Нэшу, будет, вообще говоря, внутренней точкой множества достижимых внутренних оценок Ф(Q).Случай векторных показателей коалиций.
В случае векторных показателей коалиций имеет место векторное равновесие по Нэшу. При этомравновесное решение определяется относительно коалиционной структуры М K = Р. Множество Парето, в этом случае будем иметь в критериальном пространстве первичного векторного показателя J∈ Em. Тот факт, чточасть компонент векторного показателя J образует постоянную сумму,можно сформулировать в следующем виде.
Существует такое подмножество L ⊆ M = { l , m }, что выполняется условие(6.10)q ) c, q ∈ Q .∑ J j (=rj∈LВ [32] показано, что для задачи с постоянной суммой (когда (6.10)справедливо при L = M) любое допустимое решение q∈Q является оптимальным по Парето, и, следовательно, равновесие по Нэшу (если оно существует) обладает свойством оптимальности по Парето. Учёт свойства(6.10) позволяет сформулировать следующее:Утверждение 6.3. Пусть векторный показатель J∈Em обладает на Qсвойством (6.10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
