УТС нелинейные системы 6 глава (1262338), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

усиления.Aн  q 2 (au , )  q12 (au ,  ) , н  arctg q1 (au , ) q(au , ) - относительная амплитуданелинейного элемента и фаза (смещение 1-ой гармоники) относительно вх. сигналаУсловие фильтра: рассмотренный метод гармонич. линеаризации нелинейногоэлемента м.б. применен, когда линейная часть системы удовлетворяет условию:a yk Wл ( jk )a y1 Wл ( j )a y1 , a yk - амплитуды 1-ой и k-ой гармоники на выходе нелинейного элемента,Wл ( j ) - АФЧХ линейной части системы (ЛЧС).Пример 1.q(au ,  )  q(au )q1 (au ,  )  0В случае однозначных нелинейных характеристик (без гистерезисных петель)коэффициент гармонической линеаризации q1 равен нулю.y  q(au )U ,q(au )  4c au ,y  c sin() .Пример 2.k  tg ,k Sin2(  ) 224kbbq1 (au ) (1  ) auauq(au ) au  b  arcSinau  2bau6.7 Проверка устойчивости нелинейных систем и расчёт автоколебаний почастотным характеристикам.Рассматривается применение метода гармонической линеаризации, основныеположения которого даны в предыдущей главе.Нелинейное звено присутствует в прямой цепии в цепи ОС.На основании критерия Найквиста эти системы будут находиться на границеустойчивости, если АФЧХ разомкнутого контура проходит через точку (-1, j0).Wл ( j) Wн (au , )  1,(*)Wл ( j)  W1 ( j) W2 ( j) - АФЧХ линейной части системы.эквивалентный комплексный коэфф.

усиления (получен в результатегармонической линеаризации нелин. характеристики).Wн-Условие (*) указывает на возможность существования автоколебаний.Представим это условие в виде:WЛ ( j )  1Wн (au ,  )Представим это выражение графически:aа1  aа 2aа1  aa  aaa -амплитуда автоколебаний.aа 2  aa  aЕсли х-ки пересекаются, то в (.) их пересечения по WЛ ( j) можно определитьчастоту, а по 1амплитуду колебаний, возникающих в системе.Wн (au ,  )Устойчивость колебаний проверяют исследованием поведения системы при малыхизменениях амплитуды aa . Если при положит. приращении амплитуды - колебаниязатухают, а при отрицательном расходятся, то колебания, определяемые (.)пересечения х-к будут устойчивы (автоколебания).Для проверки устойчивости и наличия автоколебаний в системе можно применятьЛАХ и ЛФХ. Для этого используют соотношения:20lg WЛ ( j )  20lg 1;Wн (au ,  )1arg WЛ ( j )  arg   Wн (au ,  ) Для определения параметров автоколебаний aафазовую границу устойчивости (ФГУ).11AН'  mod  q 2 (au ,  )  q12 (au ,  ) Wн (au ,  ) и а удобно использовать20lg AН'  … q1 1100  arg   180  arctg     180 q Wн (au ,  ) Wн (au ,  )  Н'  arg  Определение автоколебаний:автоколебания возникают, если ФГУ пересекается фазовой характеристикойлинейной части так, что в точке пересечения фазовая характеристика переходит сзаштрихованной стороны ФГУ на незаштрихованную (частота а ).ФГУ штрихуется с той стороны, по направлению которой смещаются характеристики20 lg 1при увеличении амплитуды.Wн (au ,  )Для звеньев с типовыми нелин.

х-ками Wн (au ,  ) - эквивалентный комплексныйкоэфф.усиления является функцией только амплитуды aа , поэтому для определения ФГУ на ЛАХ и ЛФХ линейной части системы достаточно нанести семействогоризонтальных прямых, параметром которых будет амплитуда aаЛекция №256.8. Абсолютная устойчивость нелинейных систем .Рассмотрим нелинейную систему следующего вида:Пусть однозначная нелинейная характеристика y= F(u)свойства:имеетследующие1. y= F(u) - непрерывная функция.2.

uF(u) > 0 при u ≠ 0,F(u) = 0 при u=0.3. F (u)du  0Характеристика нелинейного звена:Абсолютной устойчивостью системы при любой форме, приведённой выше длянелинейной характеристики, удовлетворяющей указанным трём условиям,называют асимптотическую устойчивость системы. В соответствии с теоремойЛяпунова асимптотической устойчивостью называется условие:lim xk (t )  0, k  1, 2,3,..., n .t где xк – отклонения (возмущения) фазовых координат системы от значений,описывающих равновесие системы.Критерий В. М. Попова определяет понятие и условия существования абсолютнойустойчивости нелинейной системы рассматриваемого вида.Впервые методпредложен в 1958 г. румынским ученым В.М.

Поповым для автономныхнелинейных САР с одной однозначной нелинейностью.Данный метод подобен (по идее) частотным критериям устойчивости линейныхсистем (например, критерию Найквиста).Формулировка критерия.Для абсолютной устойчивости нелинейной САР с нелинейным звеном, характеристика которого y=F(U), и линейной устойчивой частью с передаточной ф-цией Wл(s),достаточно, чтобы при к > 0 существовало такое вещественное число q , прикотором для всех ω ≥ 0, обеспечивалось выполнение неравенства:1 0 (*)tg  k - угол наклона к оси абсциссkпрямой, ограничивающей на координатной плоскости расположение х-ки y= F(u)Re (1  j  q)WЛ ( j ) Wл(jω) - АФЧХ линейной части системыУгол 0; K  - Гурвицев угол (заштрихован).Wл ( j )  P( )  jQ( )(1  j  q)  P( )  jQ( )  P( )  q  Q( )  j Q( )  q P( )После подстановки полученной вещественной части комплексного выражения внеравенство (*) имеем:P( )  q  Q( ) 1 0 (**)kВведём модифицированную частотную характеристику:WЛ .

м ( j )  Pм ( )  jQм ( )Pм ( )  P( )Qм ( )    Q ( )При этом неравенство (**) становится следующим:10k11Qм ( )   PМ ( )  qkPм ( )  qQм ( ) (Годограф не должен пересекать прямую)годограф Wл ( j) целиком (весь) должен лежать справа от прямой.Определение: Запишем «правило»: геометрическая формулировка. Для того, чтобы имеламесто абсолютная устойчивость в угле 0; K , достаточно, чтобы в плоскости WЛ ( j ) можнобыло выбрать прямую, проходящую через точку действительной оси с абсциссой (-1/К) так,чтобы годограф WЛ ( j ) весь лежал строго справа от прямойОба рисунка соответствуют абсолютной устойчивости нелинейной САР.Точка на оси абсцисс с координатой -1/K (K – Гурвицев угол) расположена левее точкипересечения годографа Попова с осью абсцисс.Очевидно, что через точку -1/К можно провести множество прямых…На рис.

одна из множества прямых проведена так, что видоизмененный годограф Попова лежит строго справа от этой прямой.Резюме: нелинейная САР абсолютно устойчива.Пример6.9 Второй (прямой) метод А. М. Ляпунова.Используется для исследования устойчивости нелинейных систем.Рассмотрим систему нелинейных уравнений 1-го порядка, которые описываютавтономную нелинейную САР:dxk X k ( x1, x2 , x3 ,..., xn ) ,dtk  1,2,3,..., n(*)Переменные x1, x2 ..., xn определяют состояние системы.X k ( x1, x2 , x3 ,..., xn ) - заданные ф-ции в фазовом пространстве.Положению равновесия соответствует система уравнений X k ( x1, x2 , x3 ,..., xn )  0 .При втором методе Ляпунова используется заданная в фазовом пространствефункция V ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) со следующими свойствами:1).

Функция V непрерывна со всеми частными производными 1-го порядка внекоторой открытой области, содержащей начало координат.2). Внутри этой области всюду, кроме начала координат, где V=0 , функция отличнаот нуля и имеет значения одного знака, такая функция называется знакоопределённой.Знакопостоянные функции те, которые сохраняют один и тот же знак во всех точкахобласти, но могут обращаться в нуль не только в начале координат, но и в другихточках области. Функция называется знакопеременной, если в данной областивокруг начала координат она может иметь разные знаки.Теоремы Ляпунова.1.

Если при заданных в форме (*) уравнениях можно найти знакоопределённуюфункциюV ( x1, x2 ,..., xn ) , производная которойdVdtявляется знакопостояннойфункцией противоположного с V ( x1, x2 ,..., xn ) знака или тождественно равна нулю,то система устойчива.dVзнакоопределённая функция, то система асимптотически устойчива, тоdtесть lim xk (t )  0 при t   .2. ЕслиdVокажется знакопостоянной того же знака, что и самаdtV ( x1, x2 ,..., xn ) ,которая является знакопостоянной во всей области,3. Если производнаяфункцияпримыкающей к началу координат, то система неустойчива.Пример:Система уравнений:dx1  x1  f ( x3 )dtdx2  f ( x3 )dt dx3 dt  (  1) x1   x x2  r  f ( x3 )(**)Рассмотрим первый случай :   1 .Примем функцию Ляпунова в виде:V 12x 212x3x2   f ( x3 )dx32(***)0Эта функция будет знакоопределённой, положительной, если   1 .

Она обращаетсяв нуль не только в начале координат, но и на отрезке установившегося процесса.Производная от функции Ляпунова по времени:dV V dx1 V dx2 V dx3dt x1 dt x2 dt x3 dtЧастные производные находим с помощью уравнения (***), а общие (обыкновенные) производные определяем как правые части системы уравнений (**).В результате получаем:dV22 (  1)  f ( x3 )  x1    r  (  1) f ( x3 )dtЭта производная является знакопостоянной, так как она обращается в нуль нетолько на отрезке АВ установившегося режима, но и на полосе, высота которойравна АВ, поскольку не содержит координаты х2 .

Вне этой полосыdVdtимеетотрицательные значения, если r>(γ-1) при γ>1. Таким образом, при выполненииуказанных неравенств система устойчива.Второй случай γ <1.1  2  2 3x1  x2   f ( x3 )dx3Функцию Ляпунова возьмём в виде: V 220xПроизводная от функции Ляпунова получается следующей:dV2 (1   ) x12  r  f ( x3 )dtЭта производная будет отрицательной, если 0< γ <1, r >0. При полученных условияхсистема устойчива..

Характеристики

Список файлов лекций