УТС Л 27-30 (1262336)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

6.6 Метод гармонической линеаризации.Метод гармонической линеаризации в отличии от фазовой плоскости используетсядля исследования нелинейных систем, математические модели которых имеютпорядок выше 2-го. Метод относится к числу приближённых методов исследования.Суть метода.Пусть нелинейный элемент системы описывается уравнениемy  F (U ,dU)dtПри гармоническом входном сигнале:U  au  Sin   t;dU au  Cosdt(*) - угловая частота, au - амплитуда входного сигнала.Разложим нелинейную функциюy  F (U ,dU)dtв ряд Фурье и в полученномрезультате сохраним (удержим) только члены соответствующие первой гармоникеи постоянной составляющей.

Исходим из предположения, что линейная частьсистемы обладает свойством фильтра, т.е. уменьшает амплитуды высших гармоникнастолько, что их можно исключить (гипотеза фильтра).yb0 b1Cos  b2 Sin , где b0 , b1 , b2 - коэффициенты ряда Фурье.2b0 b1 b2 1112 F (.)d02 F (.)Cos dгде F(.)  F(au sin , au cos )02 F (.)Sin d0При симметричной относительно «U» характеристике имеем b0 =0, тогда:y  b1Cos  b2 SinТригонометр.

функции Sin и Cos выразим из ур-я (*), тогдаyb2b dUU 1(*)auau dtОбозначим:b2 q(au ,  ) ,aub1 q1 (au ,  )au-коэф-ты гармонической линеаризации.С учётом принятых обозначений имеем согласно уравнению (*):y  q(au ,  )U q1 (au ,  ) dUdtТакойспособполучениялинейноймоделиназ.гармонической линеаризацией. Это уравнение является линейным относительно«U» и его можно представить в изображениях по Лапласу в виде:y(s)  q(au ,  )U (s) Следовательно:q1 (au ,  )sU (s) .Wн (s) q (a ,  )y(s) q(au ,  )  1 usU (s)При гармоническом сигнале: s  jWн (au ,)  q(au ,)  jq1 (au , ) - эквивалентный комплексный коэфф.

усиления.Aн  q 2 (au , )  q12 (au ,  ) , н  arctg q1 (au , ) q(au , ) - относительная амплитуданелинейного элемента и фаза (смещение 1-ой гармоники) относительно вх. сигналаУсловие фильтра: рассмотренный метод гармонич. линеаризации нелинейногоэлемента м.б. применен, когда линейная часть системы удовлетворяет условию:a yk Wл ( jk )a y1 Wл ( j )a y1 , a yk - амплитуды 1-ой и k-ой гармоники на выходе нелинейного элемента,Wл ( j ) - АФЧХ линейной части системы (ЛЧС).Пример 1.q(au ,  )  q(au )q1 (au ,  )  0В случае однозначных нелинейных характеристик (без гистерезисных петель)коэффициент гармонической линеаризации q1 равен нулю.y  q(au )U ,q(au )  4c au ,y  c sin() .Пример 2.k  tg ,k Sin2(  ) 224kbbq1 (au ) (1  ) auauq(au ) au  b  arcSinau  2bau6.7 Проверка устойчивости нелинейных систем и расчёт автоколебаний почастотным характеристикам.Рассматривается применение метода гармонической линеаризации, основныеположения которого даны в предыдущей главе.Нелинейное звено присутствует в прямой цепии в цепи ОС.На основании критерия Найквиста эти системы будут находиться на границеустойчивости, если АФЧХ разомкнутого контура проходит через точку (-1, j0).Wл ( j) Wн (au , )  1,(*)Wл ( j)  W1 ( j) W2 ( j) - АФЧХ линейной части системы.эквивалентный комплексный коэфф.

усиления (получен в результатегармонической линеаризации нелин. характеристики).Wн-Условие (*) указывает на возможность существования автоколебаний.Представим это условие в виде:WЛ ( j )  Представим это выражение графически:1Wн (au ,  )aа1  aа 2aа1  aa  aaa -амплитуда автоколебаний.aа 2  aa  aЕсли х-ки пересекаются, то в (.) их пересечения по WЛ ( j) можно определитьчастоту, а по 1амплитуду колебаний, возникающих в системе.Wн (au ,  )Устойчивость колебаний проверяют исследованием поведения системы при малыхизменениях амплитуды aa . Если при положит. приращении амплитуды - колебаниязатухают, а при отрицательном расходятся, то колебания, определяемые (.)пересечения х-к будут устойчивы (автоколебания).Для проверки устойчивости и наличия автоколебаний в системе можно применятьЛАХ и ЛФХ. Для этого используют соотношения:20lg WЛ ( j )  20lg 1;Wн (au ,  )1arg WЛ ( j )  arg   Wн (au ,  ) Для определения параметров автоколебаний aафазовую границу устойчивости (ФГУ).11AН'  mod  q 2 (au ,  )  q12 (au ,  ) Wн (au ,  ) и а удобно использовать20lg AН'  … q1 1100  arg   180  arctg     180 q Wн (au ,  ) Wн (au ,  )  Н'  arg  Определение автоколебаний:автоколебания возникают, если ФГУ пересекается фазовой характеристикойлинейной части так, что в точке пересечения фазовая характеристика переходит сзаштрихованной стороны ФГУ на незаштрихованную (частота а ).ФГУ штрихуется с той стороны, по направлению которой смещаются характеристики20 lg 1при увеличении амплитуды.Wн (au ,  )Для звеньев с типовыми нелин.

х-ками Wн (au ,  ) - эквивалентный комплексныйкоэфф.усиления является функцией только амплитуды aа , поэтому для определения ФГУ на ЛАХ и ЛФХ линейной части системы достаточно нанести семействогоризонтальных прямых, параметром которых будет амплитуда aаЛекция №256.8. Абсолютная устойчивость нелинейных систем .Рассмотрим нелинейную систему следующего вида:Пусть однозначная нелинейная характеристика y= F(u)свойства:1. y= F(u) - непрерывная функция.2. uF(u) > 0 при u ≠ 0,F(u) = 0 при u=0.3. F (u)du  0Характеристика нелинейного звена:имеетследующиеАбсолютной устойчивостью системы при любой форме, приведённой выше длянелинейной характеристики, удовлетворяющей указанным трём условиям,называют асимптотическую устойчивость системы.

В соответствии с теоремойЛяпунова асимптотической устойчивостью называется условие:lim xk (t )  0, k  1, 2,3,..., n .t где xк – отклонения (возмущения) фазовых координат системы от значений,описывающих равновесие системы.Критерий В. М. Попова определяет понятие и условия существования абсолютнойустойчивости нелинейной системы рассматриваемого вида.Впервые методпредложен в 1958 г.

румынским ученым В.М. Поповым для автономныхнелинейных САР с одной однозначной нелинейностью.Данный метод подобен (по идее) частотным критериям устойчивости линейныхсистем (например, критерию Найквиста).Формулировка критерия.Для абсолютной устойчивости нелинейной САР с нелинейным звеном, характеристика которого y=F(U), и линейной устойчивой частью с передаточной ф-цией Wл(s),достаточно, чтобы при к > 0 существовало такое вещественное число q , прикотором для всех ω ≥ 0, обеспечивалось выполнение неравенства:1 0 (*)tg  k - угол наклона к оси абсциссkпрямой, ограничивающей на координатной плоскости расположение х-ки y= F(u)Re (1  j  q)WЛ ( j ) Wл(jω) - АФЧХ линейной части системыУгол 0; K  - Гурвицев угол (заштрихован).Wл ( j )  P( )  jQ( )(1  j  q)  P( )  jQ( )  P( )  q  Q( )  j Q( )  q P( )После подстановки полученной вещественной части комплексного выражения внеравенство (*) имеем:P( )  q  Q( ) 1 0 (**)kВведём модифицированную частотную характеристику:WЛ .

м ( j )  Pм ( )  jQм ( )Pм ( )  P( )Qм ( )    Q ( )При этом неравенство (**) становится следующим:10k11Qм ( )   PМ ( )  qkPм ( )  qQм ( ) (Годограф не должен пересекать прямую)годограф Wл ( j) целиком (весь) должен лежать справа от прямой.Определение: Запишем «правило»: геометрическая формулировка. Для того, чтобы имеламесто абсолютная устойчивость в угле 0; K , достаточно, чтобы в плоскости WЛ ( j ) можнобыло выбрать прямую, проходящую через точку действительной оси с абсциссой (-1/К) так,чтобы годограф WЛ ( j ) весь лежал строго справа от прямойОба рисунка соответствуют абсолютной устойчивости нелинейной САР.Точка на оси абсцисс с координатой -1/K (K – Гурвицев угол) расположена левее точкипересечения годографа Попова с осью абсцисс.Очевидно, что через точку -1/К можно провести множество прямых…На рис. одна из множества прямых проведена так, что видоизмененный годограф Попова лежит строго справа от этой прямой.Резюме: нелинейная САР абсолютно устойчива.Пример6.9 Второй (прямой) метод А.

М. Ляпунова.Используется для исследования устойчивости нелинейных систем.Рассмотрим систему нелинейных уравнений 1-го порядка, которые описываютавтономную нелинейную САР:dxk X k ( x1, x2 , x3 ,..., xn ) ,dtk  1,2,3,..., n(*)Переменные x1, x2 ..., xn определяют состояние системы.X k ( x1, x2 , x3 ,..., xn ) - заданные ф-ции в фазовом пространстве.Положению равновесия соответствует система уравнений X k ( x1, x2 , x3 ,..., xn )  0 .При втором методе Ляпунова используется заданная в фазовом пространствефункция V ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) со следующими свойствами:1).

Функция V непрерывна со всеми частными производными 1-го порядка внекоторой открытой области, содержащей начало координат.2). Внутри этой области всюду, кроме начала координат, где V=0 , функция отличнаот нуля и имеет значения одного знака, такая функция называется знакоопределённой.Знакопостоянные функции те, которые сохраняют один и тот же знак во всех точкахобласти, но могут обращаться в нуль не только в начале координат, но и в другихточках области.

Функция называется знакопеременной, если в данной областивокруг начала координат она может иметь разные знаки.Теоремы Ляпунова.1. Если при заданных в форме (*) уравнениях можно найти знакоопределённуюфункциюV ( x1, x2 ,..., xn ) , производная которойdVdtявляется знакопостояннойфункцией противоположного с V ( x1, x2 ,..., xn ) знака или тождественно равна нулю,то система устойчива.dVзнакоопределённая функция, то система асимптотически устойчива, тоdtесть lim xk (t )  0 при t   .2.

ЕслиdVокажется знакопостоянной того же знака, что и самаdtV ( x1, x2 ,..., xn ) ,которая является знакопостоянной во всей области,3. Если производнаяфункцияпримыкающей к началу координат, то система неустойчива.Пример:Система уравнений:dx1  x1  f ( x3 )dtdx2  f ( x3 )dt dx3 dt  (  1) x1   x x2  r  f ( x3 )(**)Рассмотрим первый случай :   1 .Примем функцию Ляпунова в виде:V 12x 212x3x2   f ( x3 )dx32(***)0Эта функция будет знакоопределённой, положительной, если   1 . Она обращаетсяв нуль не только в начале координат, но и на отрезке установившегося процесса.Производная от функции Ляпунова по времени:dV V dx1 V dx2 V dx3dt x1 dt x2 dt x3 dtЧастные производные находим с помощью уравнения (***), а общие (обыкновенные) производные определяем как правые части системы уравнений (**).В результате получаем:dV22 (  1)  f ( x3 )  x1    r  (  1) f ( x3 )dtЭта производная является знакопостоянной, так как она обращается в нуль нетолько на отрезке АВ установившегося режима, но и на полосе, высота которойравна АВ, поскольку не содержит координаты х2 .

Вне этой полосыdVdtимеетотрицательные значения, если r>(γ-1) при γ>1. Таким образом, при выполненииуказанных неравенств система устойчива.Второй случай γ <1.1  2  2 3x1  x2   f ( x3 )dx3Функцию Ляпунова возьмём в виде: V 220xПроизводная от функции Ляпунова получается следующей:dV2 (1   ) x12  r  f ( x3 )dtЭта производная будет отрицательной, если 0< γ <1, r >0. При полученных условияхсистема устойчива..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций