Деменков Н.П. Вычислительные аспекты решения задач оптимального управления (2007) (1253737), страница 19
Текст из файла (страница 19)
5.4. Содержание справкиКомплекс является открытым для внесения в него различныхметодов и задач.5.1. Система управления скоростью дисковых ножницДисковые ножницы должны нарезать материал строго определенной длины. В связи с тем, что скорость подачи материала впроцессе управления несколько изменяется, она измеряется совместно со скоростью вращающихся фрез.
Эти сигналы используютсяв действующей модели для поддержания длины нарезаемого материала в допустимых пределах.Рассмотрим частную задачу – переход от одного разрезанногокуска к другому путем изменения скорости вращающейся фрезы.Чтобы избежать брака материала, подводимого к ножницам, изменение скорости должно быть плавным. Однако оно должно быть ибыстрым, чтобы уменьшить количество производимого за одинпроход материала нежелаемой длины, так как подобный материалсоставляет отходы производства.Желаемое изменение скорости фрезы в функции времениy1ж (t) = 0,5[1 + cosπt/10].Для простоты начальное значение скорости нормализуется изадается равным единице, а начало перехода – нулю.Уравнения объекта управления 2-го порядка имеют видx = A x + B u ;147y = C x,где a11 = 0, a12 = 1, a 21 = –0,25, a 22 = – 0,2, b11 = 0, b12 = 0, b21 == 0, b22 = 10, c11 = 2, c12 = 0, c21 = 0, c22 = 1 – элементы матриц А,В и С соответственно.Целью построения системы служит линейный регулятор, стремящийся, чтобы сигнал y1(t) воспроизводил сигнал y1ж (t) при ограничениях типа зоны насыщения| u2(t)| ≤ u2max(t) и |y2(t)| ≤ y2max(t) ,где u2max(t) = 0,2, y2max(t) = 0,2.Реакция системы при единичном начальном условии должнабыть задемпфированной – перерегулирование не должно превышать пяти процентов.Для объекта управления1 ⎤⎡ 0⎡0 0 ⎤⎡2 0⎤A=⎢; B=⎢; C=⎢⎥⎥⎥⎣ −0, 25 −0, 2 ⎦⎣ 0 10 ⎦⎣0 1⎦диапазон начальных условий составляет0,5 ≤ x10 ≤ 0,75, 0 ≤ x20 ≤ 0,2.В качестве первого значения показателя качества примемtJ=1 k ж( x − x ) т Q ( x ж − x ) + u т Ru ) dt ,2 t∫0где x ж(t) – желаемое поведение системы;x1ж(t) = 0,25[1+cosπt/10];x2ж(t) = x 1ж(t) = –(π/40)sinπt/10 для 0 ≤ t ≤ 10.С целью определения весовых коэффициентов показателя качества положим время tk равным бесконечности.148Передаточная функция замкнутой системы определяется какW(s) =12 2T s + 2ζTs + 1.Проектируемая система должна иметь перерегулирование, не превышающее пяти процентов и нулевую позиционную ошибку, поэтомувыбираем из первой стандартной формы табл.
3.8 значение ζ = 0,7.В соответствии с методикой Эллерта, изложенной в разд. 3.2.4,исходя из «худших» значений x1(0) = 0,75, x2(0) = 0,2 и u2 (0) = – 0,2,получим решение для определения постоянной времени T и элементов матрицы Q:Т = 0,43834965, q11 = 0,06786696 и q22 = 0,02075401.После определения этих величин предположение о бесконечном времени tk отбрасываем и рассчитываем оптимальную системудля tk = 10.Используя программный комплекс «Методы оптимизации»(рис. 5.5) или непосредственно функцию lqr в Matlab, покажите наРис. 5.5. Решение задачи АКОР149графиках, что синтезированная система отвечает поставленнымтребованиям.В случае невыполнения ограничения на сигнал y2(t) его можноучесть, используя метод штрафных функций или синтезируя нелинейный регулятор.5.2. Задача вывода космического аппарата на орбитуРассмотрим задачу, впервые поставленную и решенную Д.Е.
Охоцимским и Т.М. Энеевым.В целях упрощения вводятся следующие допущения:• аэродинамические силы отсутствуют;• поле земного притяжения является плоскопараллельным, ускорение силы притяжения постоянно для всех высот (g = const);• вращение Земли отсутствует;Уравнения движения КА в плоскости выведения OXстYст (рис. 5.6)могут быть записаны в следующем виде:dVx P= cos υ;dtmdV ydt=Psin υ;mdX= Vx ;dtdY= Vy;dtP = m c,где Vx и Vy – горизонтальная и вертикальная составляющие скорости V; P – сила тяги; υ – угол между вектором скорости и направлением ускорения a; с – постоянная скорость истечения газов; m –секундный расход топлива.Ставится задача нахождения оптимального секундного расходатоплива u(t) = m , т.
е. необходимо отыскать оптимальную про150Рис. 5.6. К задаче вывода КА на орбитуграмму изменения вектора тяги P(t), или, другими словами, такоеуправление u(t), которое в конце участка выведения t = tk на заданной высоте Y(tk) = Yзад обеспечит максимум горизонтальной составляющей скорости Vx(tk) = Vxmax при нулевой вертикальной составляющей скорости Vy(tk) = 0.В силу взаимности полученное решение будет обеспечиватьтакже достижение при заданной скорости наибольшей высоты, атакже достижение заданных значений высоты и скорости при минимальном расходе топлива.Область допустимых управлений зададим условиямиm min ≤ m ≤ m max ; m min = 0;сos2 υ + sin2 υ = 1.Минимизируемый функционал имеет видJ = – Vx(tk).Краевые условия:Ф1 = Vy(tk) = 0;151Ф2 = m(tk) – mкон = 0.Записав уравнения для сопряженной системы и гамильтониани зная, что для сопряженной системы задано единственное условие в конце участка выведенияP1(tk) = –1,найдем оптимальное управление на участке выведения при заданных начальных условиях (табл.
5.1) и Yзад = 450 000 м.Таблица 5.1Параметрmo , кгmx , кгm , кг/сс, кг/с115010036007283820Вариант2325003600148526032965000103132703625Рис. 5.7. Вид оптимального управленияПримените для решения задачи метод последовательных приближений, взяв в качестве начального приближения для управления закон (рис. 5.7)152⎧m max при t ∈ [t0 , tпер ];⎪m = ⎨⎪m min при t ∈ [tпер , tk ],⎩где tпер = 200 с.Сравните результаты, полученные модифицированными алгоритмами улучшения сходимости М2-3 и М4.5.3.
Задача спуска космического аппарата в атмосфере МарсаВ качестве исходных возьмем уравнения продольного движения центра масс спускаемого аппарата в атмосфере без учета вращения планеты:dθ 1gV) cosθ;= σxρVK cosγ – ( −dt 2V Rм + HdV1= − σxρV 2 – gsinθ;dt2dH=Vsinθ,dtcx S– баллистический параmметр; ρ = ρ0e–βH – плотность атмосферы; ρ0 – плотность атмосферыу поверхности Марса; β – градиент плотности; V – скорость полеcта; K = x – аэродинамическое качество спускаемого аппарата,cyгде θ – угол наклона траектории; σx =при этом управление u = Kcosγ – эффективное аэродинамическоеRм 2качество; g = g0 () – ускорение свободного падения; g0 –Rм + Hускорение свободного падения на поверхности планеты; Rм – радиус Марса; H – высота полета.Основная задача при спуске КА с пролетной траектории –обеспечить минимум энергозатрат на аэродинамическое торможе153ние спускаемого аппарата, поэтому критерием оптимизации в данном случае является минимум скорости V в конечный момент времени tk.При заданных в момент t = t0 значениях θ0 = θ(t0), V0 = V(t0),H0 = H(t0), а также при известных величинах ρ0, β, σx, g0, Rм требуется найти такое управление u(t), которое обеспечило бы достиже-Рис.
5.8. К задаче спуска КА в атмосфере Марсание минимальной скорости Vk на заданной высоте при соблюденииограничения |u(t)|≤u0 (рис. 5.8).Условие окончания процесса: спускаемый аппарат долженспуститься до высоты Hзад = 6600 м. Краевые условия в данномслучае отсутствуют.Минимизируемый функционал имет видJ = V.Численное интегрирование уравнений движения спускаемогоаппарата при различных релейных управлениях и одинаковых начальных условиях и параметрах позволяет сделать вывод о том,154что наиболее вероятным оптимальным управлением является релейное с одним переключением:⎧⎪−1 при t < tпер ;u= ⎨⎪⎩+1 при t > tпер .Оптимальность релейного управления с одним переключениембыла доказана для Hзад = 10 км [18].Примените для решения задачи метод последовательных приближений, взяв алгоритм улучшения сходимости М4.
В качественачальных условий возьмите: θ0 = – 0,3 рад; H0 = 244000 м; V0 == 4575 м/с; σx = 1/150; K = 0,5; модель атмосферы – рабочая, ρ0 == 0,013 кг/м3, β = 0,00009 м–1; Нзад = 0 м; tпер = 198 с.5.4. Задача максимизации дальности полетаИсследуется управляемое движение тела переменной массы ватмосфере Земли под действием сил тяжести, аэродинамическихРис.
5.9. К задаче управляемого движения тела в атмосфересил и управляемой тяги. В рассматриваемой модели тело трактуется как точечная масса, угол атаки и скольжения – как управляющие функции (рис. 5.9).155Уравнения движения в безразмерной форме имеют видV = –qV2Cx – sinθ + P/Mu(1 – α2/2) (1 – β2/2);θ = qVCy – cosθ /V + Pα/(MuV);ϕ = – (qVCz + P β (1 – α2/2)/(Mu V))/cosθ;X = kV cosθ cos ϕ;Y = kV sinθ;Z = – kV cosθ sin ϕ.При этом заданы параметры:q = (ρ0a2S/2m0g) Hi(Y)/Mu(Y) = 0,92 Hi(Y)/Mu(Y);k = a2/g · 10 = 9,174;Mu = m(t)/m0 , m0 – начальная масса тела;P = P(t)/ m0g;ρ0 = 1.29 кг/см3 – плотность атмосферы у поверхности Земли;ρ = ρ(Y) – плотность атмосферы (взята по таблицам стандартной атмосферы); V – скорость тела; S – площадь миделева сечения; Cx, Cy, Cz – аэродинамические коэффициенты; θ – угол междувектором скорости и плоскостью (X, Z) (поверхностью Земли); ϕ –угол между проекцией вектора скорости на плоскость (X, Z) иосью X; a – скорость звука в атмосфере, будем считать ее независящей от высоты Y и равной 300 м/с.Система координат (X, Y, Z) ориентирована следующим образом: ось Y направлена вертикально вверх, плоскость (X, Z) совпадает с поверхностью Земли.
Земля рассматривается плоской и невращающейся. Начало координат системы (X, Y, Z) неподвижно инаходится на поверхности Земли.156Аэродинамические коэффициенты задаются следующими выражениями:Cy = α(a0(M) + α F(α, M) a1(M));Cz = β (d0(M) + β F(β, M) d1(M));Cx = Cx0(M) + K(t) Cxd(M) + Δ Cx(M, Y) + (b0(M) – α b1(M)) ( С y2 + C z2 ).Здесь M = V/a – число Маха;⎧α, если M < 1;F(α, M) = ⎨⎩1, если M ≥ 1.Функции a0(M), a1(M), d0(M), d1(M), Cx0(M), Cxd(M), Δ Cx(M, y),b0(M), b1(M) положительны и заданы арифметическими выражениями; K(t) – заданная положительная функция времени.Начальные условия:V(0) = V0; θ(0) = θ0; ϕ (0) = 0;X(0) = X0; Y(0) = Y0; Z(0) = 0,т. е. в начальный момент времени скорость направлена параллельно поверхности Земли, ось X выбрана в направлении вектора скорости в момент t = 0.На управляющие функции α и β наложены следующие ограничения:[α] ≤ αmax ; [β] ≤ βmax;α max = βmax = 18 град ≈ 0,314 рад.Постановка задачи: определить область D(Y0, V0) точек в плоскости (X, Z), Yi = 0, из которой может быть приведено управляемоетело для всех возможных начальных условий Y0, V0 из интервалов0,5 ≤ Y0 ≤ 22; 0,6 ≤ V0 ≤ 2,5 в точку Y = 0, используя управленияα(t), β(t).157Поставленная задача сводится к задаче оптимального управления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
