Митрохин В.Н. Электродинамические свойства материальных сред (2006) (1247706), страница 15
Текст из файла (страница 15)
8.4. Зависимость порогаприближений зависимость рс отпротеканияот степени вытянуb/a в общем случае приведена натости включенийрис. 8.4.Зависимость рс от b/a построенна на основании решения уравнения (8.6), в котором макроскопическая проводимость σэф находится из соотношения (8.1) с учетом усредненной поляризации.838.3. Диэлектрическая проницаемость перколяционной средыс вытянутыми включениямиУравнения теории эффективной среды (8.3) – (8.6) справедливыкак в статическом, так и в квазистатическом случаях. Здесь в этихуравнениях будут фигурировать не статические параметры проводимости σ и диэлектрической проницаемости ε, а комплексные проводимость σ(ω) и диэлектрическая проницаемость ε(ω), где ω –частота внешнего электрического поля.
Комплексная диэлектрическая проницаемость, согласно формулам (2.10) и (2.11), имеет видε(ω) = ε(ω) − iσ(ω) /(ε 0ω),(8.7)где ε(ω) и σ(ω) – диэлектрическая проницаемость и проводимость на частоте ω.Будем считать, что у слабопроводящего компонента – диэлектрика – статическая проводимость равна нулю, а диэлектрическаяпроницаемость εд не зависит от частоты; тогда ε д = ε д .У высокопроводящего компонента – металла – диэлектрическая проницаемость εм равна 1 и проводимость σм не зависит отчастоты. В этом случае для комплексной диэлектрической проницаемости металла справедлива формула εм = 1 − iσм /(ε0 ω). Дляупрощения формул удобно выразить проводимость в единицахσм , а частоту – в единицах σм / ε0 , т. е.
ввести безразмерные параметры σ′ = σ / σм , ω′ = ωε 0 / σм . Тогда выражение для εм будетвыглядеть так: εм = 1 − i / ω′.Уравнения теории эффективной среды в терминах комплекснойдиэлектрической проницаемости имеют такой же вид, как и в терминах проводимости. В частности, справедливо решение (8.6), в которомнадо заменить σм на εм , σд на ε д , σ| | на ε|| , σ⊥ на ε ⊥ , σэф на ε эф .На рис. 8.5 представлены зависимости ε′эф = Re ε эф от параметра τ = (р – рс)/рс для системы шариков (a/b = 1) и вытянутых включений (a/b = 100) на частотах ω′ , равных 0,001 и 0,01. Видим, чтобольшие значения диэлектрической проницаемости в случае вытянутых включений достигаются на гораздо большем расстоянии отпорога протекания, чем в случае сферических включений.
Видно84также, что область концентраций, в которой существенна дисперсия диэлектрической проницаемости, значительно больше в случаевытянутых включений. В связи с этим можно говорить о «размытости» критической области в случае вытянутых включений посравнению со случаем сферических включений.ε ′эфРис.
8.5. Зависимость диэлектрической проницаемости ε′эф от τ для систем со сферическими и с вытянутыми включениями:1 – ω′ = 0,001; 2 – ω′ = 0,01Рис. 8.6. Сопоставление диэлектрической проницаемости ε эф с приближениемМаксвелла–ГарнеттаНа рис. 8.6 сопоставляется комплексная диэлектрическая проницаемость ε эф , полученная из уравнения теории эффективной среды,с аналогичной величиной, вычисленной в приближении Максвелла–Гарнетта для вытянутых включений. Зависимость ε′′эф = Im ε эф от ε′эфпри частоте ω′, меняющейся от 0 до ∞, получена для a/b = 1 000 призначениях τ = – 0,9; – 0,2; 1,0. При τ = – 0,9 результаты, полученныеобоими методами, практически совпадают, в то время как при условии р > рс различия между ними становятся существенными.8.4.
Диэлектрическая и магнитная проницаемостиперколяционной среды с учетом скин-эффектаПри сильном скин-эффекте, т. е. при δ << a, где δ – глубинаскин-слоя; a – характерный размер частиц (когда существеннывихревые составляющие полей на размере проводящей частицы),85использованные ранее подходы неприменимы. В этом случае дляопределения параметров ε эф , µ эф используют способ их «измерения» в реальном эксперименте.Рассмотрим ограниченную перколяционную среду размеромl << ξ, (где ξ – радиус корреляции), т. е. однородную среду с позициипротекания, оптически тонкую (l << λ ε эфµ эф ), помещенную в резонатор. При этом предположим, что в резонаторе возбуждены электродипольный и магнитодипольный типы волн.
Эффективная диэлектрическая проницаемость ε эф определяется по изменению собственнойчастоты электродипольных колебаний, эффективная магнитная проницаемость µ эф – по изменению частоты магнитодипольных колебаний,а сдвиг собственных частот – полями рассеяния отдельных частиц.Полученные при таком подходе уравнения для ε эф , µ эф поформе совпадают с аналогичными уравнениями традиционногометода эффективной среды. Различие заключается в том, что скинэффект приводит к перенормировке диэлектрической и магнитнойпроницаемостей проводящего компонента.На рис. 8.7 представлена частотная зависимость диэлектрической проницаемости ε эф (ω) для различных значений параметраd = σм a/c, характеризующего размер частиц.ε эф / ε эф (0)Рис.
8.7. Частотная зависимость εэф при различных параметрах частиц:– ε′эф / ε эф (0);– ε′′эф / ε эф (0); I – d = 10–3; II – d = 1; III – d = 25Влияние рассматриваемых выше эффектов на дисперсию эффективной магнитной проницаемости существенно уже при δ ∼ a,86что связано с невысокими, как правило, значениями собственныхпараметров µi. Следует отметить, что перколяционной системеприсущи эффективные магнитные свойства, даже если µi = 1.На рис. 8.8 представлены частотные зависимости µ эф (ω) дляслучая постоянных значений µi.
Эти зависимости имеют релаксационный вид и соответствуют диамагнитному вкладу токов Фуков суммарную намагниченность системы.µ′эф / µ эф (0)Рис. 8.8. Частотная зависимость µ эфпри различных параметрах частиц:–––– – µ′эф / µ эф (0); ------ – µ′′эф / µ эф (0);I – d = 10–3; II – d = 1; III – d = 25На рис. 8.9 и 8.10 представлены частотные зависимости действительной и мнимой частей эффективной диэлектрической проницаемости с учетом глубины скин-слоя.
Степень вытянутостивключения a/b = 100, концентрации р = 10–3; 10–1; глубина δ вычислена при λ = 4a.абРис. 8.9. Частотные зависимости (а) действительной и (б) мнимой частейэффективной диэлектрической проницаемости с учетом глубины скинслоя при р = 10–3:1 – δ/в = 1/3; 2 – δ/в = 1,0; 3 – δ/в = 3,087абРис. 8.10. Частотные зависимости (а) действительной и (б) мнимой частей эффективной диэлектрической проницаемости ε эф с учетом глубиныскин-слоя при р = 10–1:1 – δ/в = 1/3; 2 – δ/в = 1,0; 3 – δ/в = 3,08.5.
Магнитные свойства перколяционных средПолученные в разд. 8.1–8.4 формулы для расчета эффективныхэлектродинамических параметров перколяционных сред, где существенны процессы влияния скин-эффекта, неприменимы вблизи порога протекания, поскольку в рамках использованного метода эффективной среды не учитывается образование больших проводящихкластеров вблизи рс (характерный размер кластера совпадает с корреляционной длиной ξ и расходится при р → рс как τ–ν). Между темналичие кластерной структуры существенно сказывается на магнитных динамических свойствах перколяционных сред, имеющихособенности вблизи порога протекания.На конечных частотах поля в величину µ эф (ω) перколяционныхсред вносят вклад магнитные моменты проводящих частиц из-затоков Фуко в присутствии переменного магнитного поля. Такойэлектродинамический диамагнитный эффект наиболее существенен,если проводящие частицы объединены в кластеры.
Кластер имеетсложную структуру (включающую в себя большое число замкнутыхконтуров), так что его можно рассматривать как некоторую решетку. Известно, что магнитная поляризуемость замкнутого контуравозрастает с увеличением его характерного размера l как l2.При определении магнитной поляризуемости кластера полнаяплотность тока j, индуцируемого внешним переменным магнитнымполем, представляется в виде суммы j = jс + jр, где jс – плотность то88ка, замыкающегося на размере одной проводящей частицы, а jр –плотность тока, замыкающегося на масштабе кластера l. Тогдаможно рассматривать два вида поляризуемости: «локальную» χмc ,связанную с возбуждением токов jс и собственно ферромагнитнымисвойствами частиц, и «структурную» χмр , обусловленную индуцируемыми в кластерах токами jр.
Такое разбиение токов позволяетвыделить «локальные» магнитные параметры, которые определяютмагнитные свойства перколяционных сред вдали от порога протекания рс. Поскольку эффективная магнитная проницаемость µ эф определяется суммарной поляризуемостью, можно записатьµ эф = 1 +4πмpм c∑ (χ piVi +χ ciVi ).V i(8.8)Причем для поляризации χмPi под объемом Vi p надо пониматьобъем всех проводящих частиц, входящих в i-й кластер.С учетом дипольного взаимодействия кластеров в приближении эффективной среды (считается, что каждый кластер находитсяв однородной среде с магнитной проницаемостью µ эф ) можно получить следующие уравнения для µ эф :µ эф = 1 + 3 pµ эф (µ − 1)2µ эф + µ−−12l δ 1−µ эф AB ∫ dl µ эф ln + i k + B1θ( p)δ(l − ξ) ,aal R0ξ(8.9)где R0 – минимальный размер кластера; A, B, B1 – нормировочныепараметры.0,θ( p) = 1,p ≤ pc ;p > pс .При р → рс основной вклад в параметр µ эф вносит последний член в выражении (8.9), обусловленный индуцированным89диамагнетизмом кластера.
При этом µ эф стремится к нулю какµ эф ∼ 1/ln[(ξ/R0) χм ], где χм = 1/ µм / 4 + i(δ k / a) 2 . Этот эффектприводит к тому, что на возрастающей зависимости µ эф (р) (приµ > 1) возникает «провал» в окрестности порога протекания рс(рис. 8.11), где приведена концентрационнаязависимостьµ эф (р) для µ′м = 10 , µ′′м = 5 , f == 6 ⋅ 109 Гц, d = 3 мкм.Уравнение (8.9) для параметра µ эф справедливо вовсей области изменения концентраций проводящего компонента, за исключением области, в которой перколяционнаясреда по отношению кРис. 8.11. Зависимость µ эф от конценвнешнему магнитному полютрации проводящего компонента рможет рассматриваться какоднородная. Это происходит в том случае, когда ток проводимости сравняется с токами смешения.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
