Задание (1247447), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Размеры отверстия малы по сравнению с длиной свободного пробега:S   .Молекулы пролетают через отверстие, не испытывая столкновений друг с другом. Потоки молекулразличных газов не связаны друг с другом. Изменение числа частиц одного газа в сосуде равноразности влетающих и вылетающих частиц этого газа. Снаружи гелий отсутствует. Поэтому балансовое уравнение для гелия имеет вид:Vdn He1  n He v He S ,dt4где nHe , v He – концентрация и средняя скорость атомов гелия в сосуде. Сосуд тонкостенный, поэтому температуру гелия можно считать постоянной и равной температуре наружного воздуха.Уравнение решается методом разделения переменных:dn Hev S  He dt.n He4VНачальное условие: nне = n0 при t = 0.

Решение имеет вид:n He  n0 exp(24v He St ).4Vwww.phys.nsu.ruУравнение состояния р = nкТ. Парциальное давление гелия в сосудеp He  p 0 exp(v He St ).4VДля воздуха в балансовом уравнении необходимо учитывать как влетающие, так и вылетающие молекулы:Vdn в 1 v в S (n 0  n в ).4dtОно также решается методом разделения переменных при условии, что начальная концентрациямолекул воздуха в сосуде равна нулю:n в  n 0 (1  exp(vв St )),4Vp в  p 0 (1  exp(vв St )).4VСуммарное давление в сосуде определяется законом Дальтона:p = pHe + pв.Окончательнор = р0 (1 + exp(– t/He) – exp(– t/возд)),  = 4V/(S v ).2-я контрольная работа1. Рассматриваемый процесс равновесный, а для равновесных процессов согласно второму началутермодинамики изменение энтропии определяется равенством:QdS .TПри изобарическом нагревании газа бесконечно малое количество подводимой теплоты связано ссоответствующим изменением температуры соотношениемQ   c p dT ,где ν – число молей газа, cp – его молярная теплоемкость при постоянном давлении.Подставляя это выражение для элементарного количества теплоты в равенство для dS и интегрируя его от начальной температуры T0 до конечной температуры T, получим25www.phys.nsu.ruS   c p lnT.T0Изменение энтропии определяется отношением конечной и начальной температур.

Это отношениенайдем по известному количеству подведенной теплотыTQ   c p (T  T0 )   c p T0   1, T0откуда следуетQT 1.T0 c p T0Неизвестное число молей газа найдем из термического уравнения состояния. Для идеальногогаза оно имеет видpV  RT ,или в начале процессаp 0V0  RT0 ,С учетом соотношения Майераcp – cV = Rи выражения для показателя адиабатыcpcV,находим последовательно число молей газа и отношение температур:p 0V 01,(  1)cV T0 1 QT 1.T0 p 0V 0Таким образом, изменение энтропии равноS p 0V 0    1 Q .ln1   1 T0pV0 0 Из термического уравнения состояния для идеального газа следует, что в изобарическом процессе отношение объемов газа в два момента времени равно соответствующему отношению температур: 1 QVT 1.V0 T0 p 0V 026www.phys.nsu.ruТаким образом, объем при изобарическом нагреве газа становится равным  1 Q .V  V0 1  p 0V0 2.

В первое начало термодинамики входит величина Q. Под ней понимают количество теплоты,полученное системой. По условию задачи уходящее тепло равно изменению внутренней энергиигаза, поэтому в соотношении между Q и U возникает знак «минус»:Q = –U.Так как газ идеальный, то его внутренняя энергия – функция только температуры. Пусть теплоемкость CV постоянна. ТогдаQ = – CV (T – T0).Здесь либо CV теплоемкость всего газа, либо количество газа равно одному молю, и тогда CV –молярная теплоемкость. Таким образом, теплоемкость газа в рассматриваемом процессе равнаC  (Q / T )  CV .Работа, совершаемая над газом, и подведенная к нему теплота идут на изменение его внутренней энергии (первое начало термодинамики).

Для условий задачиA' = U – Q = 2U = 2CV (T – T0).Для нахождения конечной температуры необходимо получить уравнение процесса. С этой целью рассматривается первое начало термодинамики в дифференциальной форме. Для данной задачи оно имеет вид– dU = dU + pdV.Слева – количество теплоты, полученное газом. Для идеального газа уравнение можно преобразовать:2dU + pdV = 0  2CV dT + RTdV/V = 0.Оно решается разделением переменных, так чтоT / T0  (V0 / V ) (  1) / 2 ,где  – показатель адиабаты.

По условию газ сжимается с уменьшением объема в два раза. ОкончательноA  2CVT0 (2( 1)/ 21).3. Абсолютная средняя скорость молекулярного движения <v> для идеального газа вычисляетсяпо формулеv 8kT.mПри адиабатическом расширении газа его температура уменьшается, и соответственно уменьшается средняя скорость теплового движения молекул. Уравнение адиабаты идеального газа в переменных p, V имеет вид27www.phys.nsu.rupV   const.Пользуясь термическим уравнением состояния идеального газаpV  RT ,запишем уравнение адиабаты в переменных T, V:TV  1  const,откуда найдем конечную температуру газа при его адиабатическом расширении: 1V  (  1)T2  T1 ,  T1  2 2V и, следовательно, отношение средних скоростей молекулярного движения:v2v1T2 2  ( 1) / 2 .T1Показатель адиабаты одноатомного идеального газа равен γ = 5/3.

Для этого случая отношениеабсолютных средних скоростей теплового движения молекул при адиабатическом двукратномувеличении объема газа равенv2v1 2 1 / 3.4.В этой задаче нет подвода теплоты, отсутствует работа внешних сил. Внутренняя энергиясистемы двух газов сохраняется. Отсюда следует0 = ΔU = ν1CV1 (T – T0) + ν2CV2 (T – T0)  T = T0,т. е. конечная температура смеси равна начальной температуре.Для каждого газа реальный процесс можно заменить изотермическим (как в процессе ГейЛюссака), так чтоΔSi = νi R ln ((V1 + V2) /Vi), i = 1, 2.Энтропия – аддитивная величина. Ее изменение для системы равноΔS = ΔS1 + ΔS2 = ν1 R ln (1 + V2 /V1) + ν2 R ln (1 + V1 /V2) > 0.Пусть (для большей наглядности результата) V1 = V2.

Тогда ν1 = ν2 = ν иΔS = 2ν R ln 2 > 0.Энтропия возросла, хотя подвода теплоты нет. Следовательно, диффузия – неравновесный процесс.Если применить теперь полученную формулу для тождественных газов, то получается парадоксальный вывод. Конечное состояние системы макроскопически ничем не отличается от начального состояния. Перегородка не играет никакой роли. Ее можно мысленно ставить и мысленно же убирать.

Поскольку энтропия – функция состояния, ее значение для тождественных газов недолжно зависеть от наличия или отсутствия перегородки. А в соответствии с полученным вышерезультатом энтропия возрастает. Этот парадоксальный вывод получил название парадокса Гиббса. Разрешается он следующим образом.28www.phys.nsu.ruДля тождественных газов полученная формула для ΔS неприменима, для них ΔS = 0.

А формулой можно пользоваться, если молекулы или атомы газов хоть как-то различаются и смесь таких газов можно разделить на компоненты с помощью, например, центрифуги. Молекулы (атомы)одного и того же газа неразличимы, и установить, какая из частиц первоначально была в объемеV1, а какая в объеме V2, невозможно. От перехода неразличимых частиц из одного объема в другоймакроскопическое состояние системы не меняется.5.

Изменение энтропии не зависит от пути перехода системы из одного состояния в другое. Наэтом основании изменение энтропии в результате плавления вещества при температуре T1 можноприравнять изменению энтропии в следующем переходе. Вначале твердое вещество нагреваетсяот температуры T1 до T0, затем происходит его плавление при температуре T0 (а при этой температуре теплота плавления вещества известна), и, наконец, уже в жидком состоянии вещество охлаждается от T0 до T1.

На T,S-диаграмме изображены: сплошной линией – путь перехода при температуре T1  T0, пунктиром – предложенный путь перехода, изменение энтропии на котором мы будемопределять.Подсчитать изменение энтропии при таком переходе несложно:T0T1T1T0S   mC т dT / T  mq 0 / T0   mC ж dT / T  m(C т  C ж ) ln(T0 / T1 )  mq 0 / T0 .С другой стороны, то же изменение энтропии в результате плавления вещества при температуре T1 равноS  mq1 / T1 .Приравнивание этих двух выражений для S даетq1  (C т  C ж )T1 ln(T0 / T1 )  q 0T1 / T0 .Решения примеров задач к экзамену1.

Импульс, передаваемый пластинке одной молекулой при упругом отражении, равен 2mvx,где ось х направлена перпендикулярно плоскости пластинки. Если dj(vx, v) – число молекул, падающих на единицу площади пластинки в единицу времени и имеющих данные компоненты скорости vx и v (v – составляющая скорости, перпендикулярная оси х), то сила, действующая на пластинку, равнаF  S  2mv x dj.Для dj имеет место выражение dj  v x ndw(v ) , где n – концентрация частиц в сосуде,dw(v )  ( /  ) 3 / 2 exp(v 2 )dv – распределение Максвелла ( = m/2kT). В цилиндрических координатах v 2  v x2  v 2 , dv  2v  dv  dv x , поэтому29www.phys.nsu.ruF  2mSn( /  ) 3 / 2   v x2 exp(v x2 )dv x0vxr / l exp(v2) 2v  dv  .0Очевидно, не все молекулы с данной vх попадают на пластинку, а только те, у которых v  vxr/l.Интегрирование дает окончательный результат:F = nkTS(1 – (1 + (r/l)2)–3/2).2.

В лабораторной системе отсчета газ в центрифуге вращается как единое целое, стало быть,имеется центростремительное ускорение, т. е. система не находится в механическом равновесии ик ней нельзя применить распределение Больцмана. В системе же отсчета, связанной с центрифугой, объект исследования находится в равновесии, и к нему можно применить указанное распределение.

Но в этой системе отсчета на частицы действует центробежная сила. Соответствующаяпотенциальная энергия частицы равнаru    m 2 rdr  01m 2 r 2 .2Распределение Больцмана с учетом цилиндрической симметрии имеет видdw(r )  1 / Z exp(m 2 r 2 / 2kT )2rldr ,где l – высота барабана центрифуги. Выражение для статистической суммы получается из условия нормировки распределения:RZ   exp(m 2 r 2 / 2kT )2rldr  l02kT(exp(m 2 R 2 / 2kT )  1).2mВ результате для концентрации частиц получается формулаNm 2 exp(m 2 r 2 / (2kT ))n(r )  Ndw(r ) / (2π rldr ) .2 lkT exp(m 2 R 2 / 2kT )  1Из формулы следует, что концентрация тяжелых частиц у боковой стенки центрифуги относительно выше, что используется для разделения смесей. Концентрация частиц у боковой стенкицентрифуги равнаn( R ) 1Nm 2.2 lkT 1  exp(m 2 R 2 / 2kT )Соответствующее отношение концентраций молекул D2 и H2 будетnD2 / nH2 N D 2 m D 2 1  exp(m H 2  2 R 2 / 2kT )N H 2 m H 2 1  exp(m D 2  2 R 2 / 2kT ).С учетом того, что масса молекулы дейтерия в два раза тяжелее и начальная пропорция изотоповводорода D2 и H2 равна , при отборе смеси у боковой стенки центрифуги можно увеличить долюдейтерия:N D2 / N H 2  nD2 / nH2 21  exp( m H 2  2 R 2 / 2kT )Максимальное соотношение компонент в смеси равно30.www.phys.nsu.ru( N D 2 / N H 2 ) max  2  .3.

Характеристики

Список файлов курсовой работы