Задание (1247447), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Если газ не очень плотный, то при расчете частоты столкновений следует учитывать толькопарные столкновения (столкновениями одновременно более чем двух молекул можно пренебречь).При этом молекулы в некотором приближении можно считать упругими шариками. Если v i и v j –скорости двух молекул, то для столкновения важны не сами по себе эти скорости, а скорость относительного движения молекул: v ij  vi  v j .Задача решается в системе отсчета, связанной с рассматриваемой молекулой. Все остальныемолекулы движутся с относительными скоростями и, как известно, распределены по скоростям свероятностью, определяемой распределением Максвелла, в которое входит приведенная масса молекул .Вместо рассматриваемой молекулы можно ввести гипотетическую частицу диаметромd = di + dj (где di и dj – диаметры сталкивающихся молекул), заменив все остальные молекулы материальными точками.

Таким образом, задача определения частоты столкновений сводится к нахождению числа ударов о круг диаметром d частиц максвелловского газа. Эта частота равна произведению плотности потока двумерного газа (см. задачу 2.9) на длину окружности. Для частотыстолкновений молекулы i-го сорта с молекулами j-го сорта получаем ij   (d i  d j )n j vij n j vij (d i  d j ).Здесь v ij – средняя относительная скорость. Она вычисляется по той же формуле, что и простосредняя скорость теплового движения молекул двумерного газа, только с заменой массы молекулы на приведенную массу, поскольку характер распределения молекул по скоростям один и тот же(распределение Максвелла).Для полной частоты столкновений молекулы i-го сорта (с молекулами всех сортов) получаем i   n j v ij (d i  d j )  v i d i  n j 1   i /  j (1  d j / d i ).jjВ случае наличия только одного сорта частиц частота столкновения молекулы равна  n 2v 2 d  231Nv 2d ,Swww.phys.nsu.ruгде v kT– средняя скорость теплового движения молекул двумерного газа.2mВ действительности молекулы взаимодействуют не только при непосредственном соприкосновении, но и при пролете на некотором расстоянии друг от друга.

Такой характер взаимодействияобычно учитывается посредством введения эффективного сечения столкновения.4. Рассматривается стационарное течение. Цилиндрический канал длинный, что позволяет не учитывать влияние его концов. Жидкость несжимаемая. В результате можно считать, что имеетсялишь одна компонента скорости жидкости (обозначим ее через u), направленная вдоль оси x.

Этакомпонента скорости зависит только от расстояния до оси симметрии (радиуса r). Градиент давления постоянный, имеет отрицательное значение. Течение ламинарное. Схема течения показана нарисунке.В области течения выделяется цилиндрический слой жидкости между радиусами r и r + dr. Жидкость не испытывает ускорения, поэтому равнодействующая всехсил, действующих на жидкость в выделенном объеме, равна нулю. Рассмотрим проекцию всех сил на ось x.

По цилиндрической поверхности радиуса r действует силатрения 2rlr, где  – напряжение трения, нижний индекс указывает, на каком расстоянии действует сила трения. По цилиндрической поверхности радиуса r + dr сила трения действует в противоположном направлении –2rlr + dr. На торцевые поверхности действуют силы давления. С учетом заданного перепада давления проекция этих сил на ось x равна p2rdr. Балансовое уравнениеимеет вид2rlr – 2rlr + dr + p2rdr = 0.Сократив на 2 и разделив на ldr, получим дифференциальное уравнение:d(r ) pr  0.drlНапряжение трения для рассматриваемой задачи имеет вид  du,drгде  – коэффициент вязкости. После подстановки  получаем дифференциальное уравнение дляскорости жидкости u:pd  du r.r   dr  dr lДля его решения имеются два граничных условия:du/dr <  при r = 0 (на оси симметрии);u = 0 при r = R (условие прилипания на стенке).На оси симметрии обычно пишут условие симметрии du/dr = 0 при r = 0.

Однако, в случае осесимметричной задачи достаточно использовать ограниченность производной. Однократное интегрирование с использованием первого условия даетpdur.dr2lПоследующее интегрирование с использованием второго условия дает параболический профильскорости32www.phys.nsu.ruu= (Δp/4lη) (R2 − r2)Он изображен на рисунке к задаче.Расход жидкости определяется выражениемRQ   u (r )2rdr 0p 4R .8lЭто формула Пуазейля, а рассмотренное течение называется течением Пуазейля.5. Максимальная работа будет получена, если использовать тепловую машину, работающуюпо обратимому циклу Карно.

Схема такой машины приведена на рисунке.Однако теплоемкости тел (нагревателя и холодильника) в данной задаче конечные и их температуры при тепловом контакте с рабочим телом тепловой машины в общем случае изменяются.Поэтому для получения максимальной работы применяется непрерывная последовательность бесконечно малых циклов Карно, в пределах каждого из которых текущие температуры тел Т1 и Т2(соответственно температуры нагревателя и холодильника) можно считать постоянными. Приконтакте с нагревателем (тело 1) рабочее тело получает количество тепла, равное Q1 .Это тепло Q1, согласно рисунку, является «отданным теплом» для нагревателя (тела 1).

Другимисловами, нагреватель получает тепло, равное– Q1 = C1 dT1.От холодильника (тело 2), согласно введенным обозначениям, рабочее тело получает тепло,равное –Q2 . В то же время холодильник (тело 2) получает тепло, равноеQ2 = C2 dT2.Таким образом, тепловая машина будет совершать работу за счет внутренней энергии тел 1 и2. Совершаемая за цикл работа равна сумме теплот, полученных рабочим телом в течение цикла:А = Q1 – Q2 = – C1dT1 – C2dT2.Работа машины продолжается до тех пор, пока температуры тел не становятся равными:T1 = T2 = Т. Полная работа равнаА = C1T10 + C2T20 – (C1 + C2)Т.Для нахождения конечной температуры тел можно воспользоваться равенством Клаузиуса для обратимого цикла:33www.phys.nsu.ru тепло, полученное рабочим телом от i - го источника 0температура i - го источникаQ1/T1 – Q2/T2 = 0  C1dT1/T1 + C2dT2/T2 = 0.Заметим, что знаки перед Q1 и Q2 стоят те же самые, что и в выражении для работы, совершаемой в цикле.

Действительно, в обоих случаях фигурирует тепло, полученное рабочим телом. Интегрирование последнего равенства дает конечную температуру:C /( C1  C 2 )T  T10 1C2 /( C1  C 2 ) T20.Максимальная работа, которую можно получить, равнаC /( C 1  C 2 )A = C1T10 + C2T20 – (C1 + C2) T10 1C /( C 1  C 2 ) T202.Следует обратить внимание на то, что максимальная работа будет совершена в равновесномпроцессе.

В этом случае суммарная энтропия нагревателя и холодильника неизменна, т. е. выполняется условиеS 1  S 2  0.Это условие эквивалентно написанному выше равенству Клаузиуса.6. Так как система теплоизолирована, то согласно первому началу работа внешних сил приводитк изменению внутренней энергии системы:A' = U1 + U2.Предполагается, что поршень перемещается без трения.Для идеального газа бесконечно малое изменение внутренней энергии равно dU = CV dT. Если теплоемкость CV считать постоянной, то конечное изменение U равноU = CV (Т – Т0) = CV Т0 ( Т /T0 – 1) = P0V0 ( Т /T0 – 1) /( – 1),где Т0 – начальная температура газа.а) Так как поршень перемещается медленно и не проводит тепло, то изменение объема газов вкаждой из частей сосуда – адиабатические процессы.

Уравнение адиабаты для идеального газабыло получено в задаче 1.1: pV  = const. В переменных T, V оно имеет вид:ТV  – 1 = const.Пользуясь им, получаем конечные температуры газов:T1 = T0(V0/V1) – 1 = 2 – 1, T2 = T0(V0/V2) – 1 = (2/3) – 1.Работа внешних сил в этом случае равна34www.phys.nsu.ruA = U1 + U2 = p0 V0/( – 1)(2 – 1 + (2/3) – 1 – 2).б) В случае теплопроводящего поршня температуру газа в обеих частях сосуда можно считатьодинаковой в любой момент времени. Одинаково также число молей газа. Это следует из начальных данных. В результатеА' = U1 + U2 = 2CV (Т – Т0) = 2P0V0 ( T/T0 – 1)/(  – 1).Конечная температура системы может быть найдена из уравнения процесса. Для полученияуравнения процесса первое начало термодинамики записывается в дифференциальной форме длявсей системы:2dU + p1dV1 + p2dV2 = 0.Если подставить сюда выражение для dU через температуру и теплоемкость (dU = CV dT), выразить давление с помощью термического уравнения состояния идеального газа (p = RT/V) и затемподелить все слагаемые на 2CV Т, то дифференциальное уравнение примет видdT /Т + ( – 1)/2(dV1/V1 + dV2/V2) = 0.При преобразовании используются соотношение Майера Cp – CV = R и показатель адиабаты  =Cp/CV.

Характеристики

Список файлов курсовой работы