Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (3-е изд., 2015) (1246992), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Интегрирование уравнений движенияТаблица 2.2Параметры движения и составляющие потерьскорости для баллистической ракеты типа«Титан-2» (азимут пуска A = 0◦ )Суммарныепотери скорости,% от VchСтупениПараметрыВ конце работы ступени— время, с— скорость, м/с— угол наклонатраектории, градΔVch , м/сΔVgrav , м/сΔVeng , м/сΔVaer , м/сΔVctr , м/сСуммарные потерискорости, м/с121512530182723720382010898112001652604090014416.50.91.31.6129055320.3Таблица 2.3Параметры движения и составляющие потерь скоростиракеты-носителя типа «Сатурн-5» при выведениина круговую орбиту высотой 200 км (наклонение i = 90◦ )СтупениПараметрыВ конце работы ступени— время, с— скорость, м/с— угол наклонатраектории, градΔVch , м/сΔVgrav , м/сΔVeng , м/сΔVaer , м/сΔVctr , м/сСуммарные потерискорости, м/сСуммарныепотери скорости,% от Vch1231582162390532147977903036251280126570341206110035002674−3610024117.81.20.55.7146396120525.21 В конце работы второй ступени высота оказывается больше 200 км,в результате чего при полете третьей ступени происходит дополнительныйгравитационный разгон.107108Глава 2.
Активный участок2.4.3. Интегрирование уравнений движения с помощью ЭВМ. Если в начальный период развития ракетно-космической техники интегрирование уравненийдвижений, в основном, проводилось ручным способом с использованием различных электромеханических клавишных машин, то сейчас эта задача решается, какправило, с помощью ЭВМ. Применение мощных ЭВМ позволило снять практически все ограничения на порядок систем интегрируемых уравнений, вычислятьправые части дифференциальных уравнений любой сложности и осуществлятьинтегрирование с заданной высокой точностью. Тем не менее, как показывает накопленный опыт, целесообразно каждую рассматриваемую задачу по возможностиупрощать с учетом ее особенностей и требуемой точности получаемого результата.В связи с этим условно выделим три основных класса баллистических задач, длярешения которых необходимо интегрировать уравнения движения ЛА посредствомЭВМ:• проектно-баллистические расчеты по выбору основных характеристик ЛАи оценке его энергетических возможностей,• расчет таблиц стрельбы и формирование полетных заданий при известныхпараметрах ЛА и системы управления,• автономное решение задач навигации, управления и стабилизации на бортуЛА с применением БЦВМ.Проектно-баллистические расчеты обычно имеют массовый характер, так какони связаны с рассмотрением большого числа возможных характеристик ЛА.
Задача поиска оптимального варианта ЛА может решаться при полной автоматизациирасчетов на ЭВМ с применением вариационных методов. Другой путь состоитв сочетании интегрирования с помощью ЭВМ уравнений движения исследуемыхвариантов ЛА и последующего анализа для принятия решения о направлениидальнейшего поиска оптимальных характеристик. При этом рассматриваютсяразличные графики в плоскости варьируемых параметров. Именно такой способполучил в настоящее время наибольшее распространение из-за своей простоты.Первый способ поиска оптимального решения предъявляет повышенные требования к быстродействию и памяти ЭВМ.Расчеты по выбору основных характеристик ЛА не требуют высокой точности. Поэтому допустимо упрощение уравнений движения. Например, можно неучитывать вращение Земли и отличие гравитационного поля от центрального, нерассматривать уравнения, описывающие работу системы управления, пренебрегатьпереходными режимами работы двигателей, участками разделения ступеней и т.
п.Отмеченные второстепенные факторы практически не влияют на получаемоеоптимальное решение.Для расчета таблиц стрельбы и формирования полетных заданий (установочных данных) используются наиболее точные уравнения движения в рамкахпринятой модели описания полета ЛА, работы его двигательных установок, функционирования системы управления, учета всех переходных процессов, участковразделения и т.
д. Установочные данные необходимы для предстартовой настройки системы управления, обеспечивающей выведение на требуемую орбиту илидостижение заданной цели на поверхности Земли.2.4. Интегрирование уравнений движения109Основные установочные данные (основные установки) включают величинуфункционала управления скоростью при выходе на орбиту или управления дальностью при баллистической стрельбе, а также азимут выведения или стрельбы.Кроме основных установок, могут определяться и вспомогательные, например,для предварительной команды на выключение двигателя (при выключении в двеступени), для моментов разделения ступеней, дросселирования двигателей с цельюограничения величины перегрузки и др.
Если в системе управления применяется БЦВМ с адаптивными многошаговыми алгоритмами на основе прогнозирования параметров движения, то установочные данные вводятся для настройки параметров алгоритма, обеспечивающей выполнение заданных терминальныхусловий.Для получения основных установок используются два метода [2.7], построенные на вычислении «попадающей» траектории для заданных краевых условий(т. е. начальных и терминальных) и на расчете по конечным формулам с помощьютаблиц стрельбы.Первый метод применяется обычно при заблаговременной подготовке исходныхданных и проведении расчетов с использованием универсальной ЭВМ.
Второйметод не требует применения ЭВМ и позволяет получать основные установки не только заблаговременно, но и непосредственно в процессе подготовкик запуску.Первый метод может быть использован также для оперативного расчета основных установок, если система подготовки запуска включает специализированнуюЭВМ с соответствующими алгоритмами, которые позволяют быстро определитьпопадающую траекторию и настроить систему управления.Некоторые возможные методы расчета попадающих траекторий и подготовкитаблиц стрельбы рассматриваются в работе [2.7].При машинном счете весьма удобен метод интегрирования Рунге—Кутта высокого порядка (обычно четвертого порядка). Выбор шага должен осуществлятьсяавтоматически, исходя из заданной точности вычислений и необходимости выполнения требуемых по условию задачи операций в определенные моменты времениили при достижении фиксированных значений некоторых вычисляемых функций.Это обеспечивает экономию машинного времени и требуемую точность расчетапараметров активного участка.Рассмотрим основы метода Рунге—Кутта [2.13].
Пусть дана система дифференциальных уравненийdy = f (x, y)dxи начальные условияy(x0 ) = y0 .Выберем шаг интегрирования δ и для краткости введем обозначенияxi = x0 + iδ,yi = y(xi ),Δyi = yi+1 − yi ,(i = 0, 1, . . .).110Глава 2. Активный участокЗатем положимk (0) = δ · f (x0 , y0 ),1k (0)δ(0)k = δ · f x0 + , y0 + 1,222 (0)k (0) = δ · f x0 + δ , y0 + k2,322k (0) = δ · f x0 + δ, y0 + k (0) ,43(0)(0)(0)(0)где k1 , k2 , k3 , k4 — векторы.Согласно методу Рунге—Кутта, приращения функций приближенно определяются по формуле1 (0)(0)(0)(0)Δy0 =k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ,(2.4.8)6отсюдаy1 = y0 + Δy0 .Далее, приняв (x1 ,y1 ) за исходные данные и повторяя тот же процесс, находим y2 .
Аналогично вычисляются последующие значения yi (i = 3, 4, . . .).Формула (2.4.8) имеет четвертый порядок точности, т. е. коэффициенты этойформулы с точностью до членов порядка δ 4 включительно совпадают с коэффициентами приращения Δy0 , вычисленного по формуле Тейлора. Для автоматическоговыбора шага интегрирования δ в процессе счета существуют различные способы.Один из них, разработанный В. А. Егоровым в Институте прикладной математикиим.
М. В. Келдыша АН СССР, заключается в следующем. Для составляющихвектора yi , по которым регулируется величина шага (это могут быть, в частности,все интегрируемые функции), вычисляются контролируемые величины1 (i)(i)(i)(i)(i)lj =k1j − k2j − k3j + k4j .δ(i)Здесь индекс j соответствует номерам контролируемых функций. Величины ljс точностью до множителя представляют собой третьи члены разложения рассмат(i)риваемых составляющих вектора Δyi в ряд Тейлора, т. е. lj ∼ δ 3 . Именно этивеличины используются для контроля точности интегрирования на каждом шаге.Предварительно на основании имеющегося опыта выбираются малые числа εj ,которые определяют точность контролируемых функций. Далее, на каждом шаге% (i) &вычисляетсяljl̃ = max.jεjЕсли 0.1 ≤ l̃ < 1, то шаг выбран правильно и точность достаточная. Приl̃ > 1 шаг считается слишком большим.
Делается дробление шага: вместо δ беретсяδ/2, и счет точки повторяется заново. В случае l̃ < 0.1 шаг считается слишкоммелким. Происходит увеличение шага: вместо δ берется 2δ, а в качестве результата2.5. Производные конечной скорости, выводимой полезной нагрузки . . .111выдается уже сосчитанная точка. Таким способом реализуется один из возможныхалгоритмов автоматического выбора шага интегрирования.2.5. ПРОИЗВОДНЫЕ КОНЕЧНОЙ СКОРОСТИ, ВЫВОДИМОЙ ПОЛЕЗНОЙНАГРУЗКИ И ДАЛЬНОСТИ СТРЕЛЬБЫ ПО ОСНОВНЫМ ПАРАМЕТРАМ ЛАВ процессе баллистического проектирования ЛА, а также при рассмотрениивозможных путей модификации существующих изделий часто возникает необходимость сравнения близких по своим характеристикам вариантов. Такое сравнениеудобно проводить с привлечением частных производных параметров ЛА и траектории движения (конечной скорости, выводимой полезной нагрузки или дальностистрельбы) по варьируемым параметрам ЛА.
В некоторых случаях использованиепроизводных обеспечивает более полную и наглядную информацию, чем прямойрасчет траекторий с помощью ЭВМ. Например, производные позволяют выявитьвеличину вклада каждого варьируемого параметра ЛА в суммарное изменениерассматриваемой характеристики ЛА или траектории движения.2.5.1. Способы получения производных.
Производные могут быть полученыразличными способами, например, численным интегрированием уравнений движения, с помощью конечных формул и др.В первом случае с использованием ЭВМ интегрируются уравнения движенияпри номинальных и варьированных параметрах ЛА, а затем методом конечныхразностей вычисляются производные. Число вычисленных траекторий должно,по крайней мере на единицу, превышать число варьируемых параметров. Однаков действительности приходится вычислять траектории полета при нескольких значениях одного и того же варьируемого параметра, чтобы выявить зону линейности,в которой допустимо использование производных.