Яковлев А.Н. Введение в вейвлет-преобразования (2003) (1245706), страница 14
Текст из файла (страница 14)
При параметреSCAL = ' one ' предполагается, что s (n) = f (n) + e(n) , где e( n) – белыйшум [0,1] . SCAL – определяет мультипликативное пороговое перемасштабирование: ' one ' – отсутствие перемасштабирования, ' s ln' –перемасштабирование (если шум вне пределов [0,1] или не белый) сединственной оценкой шума по коэффициентам первого уровня,' m ln' – перемасштабирование с оценкой шума в зависимости от' wname ' ;96[ XD, CXD, LXD] = wden(C , L, TPTR, SORN , SCAL, N ,' wname ') – то же, но с получением указанных параметров из структуры [C , L] на уровне N .wdencmp (⋅) – удаление шума и сжатие сигнала;[ XC , CXC , LXC , PERFO, PERFL 2] = wdencmp(' gbl ', X ,' wname ', lev, THR,SORH , KEEPAPP) –возврат очищенного и сжатого вектора XC , полученного из исходного сигнала X (как одномерного, так и двумерного)с использованием глобального порога THR .
Выходные аргументы[CXD, LXD] – структура вейвлет-разложения вектора XC . PERFO иPERFL 2 – L2 – нормы восстановления и сжатия в процентах.PERFL 2 = 100 * ( norm(C × C ) / norm(C ))2 , где norm – норма вектора;2для одномерного сигнала PERFL 2 = 100 ⋅ XC / X2. N – уровеньвейвлет-разложения. SORH ( ' s ' или ' h ' ) – установка гибкого или жесткого порога.
STDC = wnoisest (C , L, S ) – оценка шума одномерныхвейвлет-коэффициентов, возврат оценки стандартного отклонения детализирующих коэффициентов для заданного на входном векторе Sуровня; [C , L] – входная структура вейвлет-разложения;THR = wpbmpen(T , SIGMA, ALPHA) – возврат глобального (штрафного) порогадля удаления шума, T – дерево пакетного вейвлета, SIGMA – стандартное отклонение в модели удаления шума по Гауссу, ALPHA – параметр настройки для штрафного компонента;wpdencmp (⋅) – функция удаления шума и сжатия с использованием пакетноговейвлета, она аналогична функциям wden(⋅) и wdencmp (⋅) ;[ XD, TREED, PERFO, PERFL2] = wpdencmp(TREE , SORH , CRIT , PAR, KEEPAPP)– эта функция аналогична wdencmp (⋅) , но для преобразования использует напрямую разложение дерева пакетного вейвлета – TREE .wpthcoef (⋅) – порог коэффициентов пакетного вейвлета;NT = wpthcoef (T , KEEPAPP, SORH , THR ) – возврат нового дерева NT пакетного вейвлета с пороговыми коэффициентами, полученными из дереваT , THR – значение задаваемого порога;wthcoef (⋅) – функция одномерного порога вейвлет-разложения;NC = wthcoef (' d ', C , L, N , P ) – возврат коэффициентов структуры [C , L] с помощью N -уровневой компрессии, определенной на векторах N и P ,N – детализирующие уровни компрессии, 1 ≤ N ≤ length( L) − 2 , P –нижние коэффициенты в процентном соотношении, которые должныбыть установлены как нулевые;NC = wthcoef (' d ', C , L, N ) – то же, но устанавливает детализирующие коэффициенты вектора N как нулевые;97NC = wthcoef (' t ', C , L, N , T , SORH ) – возврат коэффициентов установкой гибкого ( SORH = ' s ' ) или жесткого ( SORH = ' h ' ) порога, определенноговекторами N и T ;wthcoef 2(⋅) – двумерный порог вейвлет-коэффициентов;NC = wthcoef 2(' type ', C , S , N , T , SORH ) – возврат горизонтальных, вертикальных и диагональных коэффициентов из структуры разложения [C , S ] сиспользованием гибкого ( SORH = ' s ' ) или жесткого ( SORH = ' h ' ) порога, определенного векторами N и T , N (i ) ≤ size( S ,1) − 2 ;wthresh(⋅) – установка гибкого или жесткого порога;Y = wthresh( X , SORH , T ) – задание вида порога или подавления шума путемограничения вейвлет-коэффициентов.
Эта функция возвращает гибкийytsoft ( SORH = ' h ' ) или жесткий ythard ( SORH = ' h ' ) порог T длявходного вектора или матрицы X ;wthrmngr (⋅) – функция управления параметрами порога;THR = wthrmngr (OPTION , METHOD,VARARGIN ) – возврат глобального порога или зависимого от уровня OPTION порога. VARARGIN – зависитот параметров OPTION и METHOD .П.2.8. Тестовые сигналыX = wnoise( FUN , N ) – возврат тестового сигнала, заданного как функциявходного аргумента FUN , на 2 N сетке [0,1]; возможны шесть тестовых сигналов: 1) FUN = 1 или ' blocks ' , 2) FUN = 2 или ' bumps ' ,3) FUN = 3 или ' heavy sin e ' , 4) FUN = 4 или ' doppler ' , 5) FUN = 5или ' quadchirp ' , 6) FUN = 6 или ' mishmash ' .[ X , XN ] = wnoise( FUN , N , SORT _ SNR ) – возврат вектора X , перемасштабированного следующим образом; std ( X ) = SORT _ SNR , и вектора XN ,содержащего тот же тестовый вектор, но вместе с белым гауссовымшумом N (0,1) .Следующий пример демонстрирует все эти тестовые сигналы (рис.
П.12):ind = linspace(0,1,2^8);for i = 1:6x = wnoise(i, 8);subplot(6,1,i), plot(ind,x)end98Рис. П.1299Приложение 3Кратномасштабный анализПредставление сигнала в виде (2.7) и создание соответствующих ортогональных вейвлетов могут быть пояснены на основе теории функциональныхпространств.Пусть исходная функция f (t ) принадлежит пространству L2 ( R ) интегрируемых в квадрате функций. Обозначим подпространство функций, аппроксимирующих L2 ( R ) на масштабе a = 2m как Vm , а сами функции какf (t ) = Am (t ) (см.
ф-лу (2.7)).Кратномасштабный анализ (КМА), называемый также многомасштабным, базируется на следующих предпосылках теории функциональных пространств.1.Пространство сигналов V описывается через иерархическивложенные подпространства Vm , объединение которых дает в пределе L2 ( R ) ,т.е.... ⊂ V2 ⊂ V1 ⊂ V0 ⊂ V−1 ⊂ V−2 ...I Vm = {0} ,U Vm = L2 ( R) .(П.1)m∈Zm=Z2.Для функции Am (t ) ∈ Vm ее сжатая версия Am −1 (t ) принадлежитподпространству Vm −1 .Существует такая функция ϕ(t ) ∈ V0 , что ее сдвиги3.ϕok (t ) = ϕ(t − k ), k ∈ Z .(П.2)образуют ортонормированный базис пространства V0 . Функция ϕ(t ) удовлетворяет условию∞∫ϕ(t )dt = 1(П.3)−∞и называется масштабирующей (масштабной) или отцовским вейвлетом.Рис.
П.13 схематично поясняет вложенные пространства.Так как функции ϕok (t ) образуют ортонормированный базисподпространства V0 , то функции{0}VmVm–1L2(R)ϕmk (t ) = 2− m / 2 ϕ(2− m t − k )(П.4)образуют ортонормированный базисподпространства Vm . Эти функциисоздают свои масштабированныеРис. П.13100версии в пространстве сигнала. Аппроксимация Am (t ) является ортогональной проекцией f (t ) на Vm :Am (t ) = ∑ (ϕmk (t ), f (t ))ϕmk (t )(П.5)kЕсли масштабный коэффициент m велик, то компонент Am (t ) есть грубая аппроксимация сигнала f (t ) и детали отсутствуют. Чем меньше значениеm , тем аппроксимация будет точнее.Итак, сигнал S (t ) = f (t ) в пространстве L2 ( R) может быть представленмножеством последовательных его приближений Am (t ) в Vm :S (t ) = lim Am (t ) .(П.6)m →−∞Из вложенности пространств Vo ⊂ V−1 и того, что ϕ−1k (t ) – ортонормированный базис подпространства V−1 , вытекает следующее масштабирующеевыражение:ϕ(t ) = ϕoo (t ) = 2 ∑ h(l )ϕ−1,l (t ) = 2∑ h(l )ϕ(2t − l ) ,(П.7)llгдеhl = h(l ) = (ϕ(t ), ϕ(2t − l ))(П.8)– коэффициенты масштабирующей функции (масштабный вектор или масштабный фильтр).
Коэффициенты hl полностью характеризуют саму функцию ϕ(t ) , т.е. она может быть получена с любой точностью.Из рассмотрения рис. П.13 очевидно, что пространство L2 ( R) построеноиз множества «кольцевых» полос, представляющих разность двух соседнихподпространств. Эти «кольцевые» подпространства обозначаются через Wm иопределяются как ортогональные дополнения подпространств Vm и Vm −1 :Vm −1 = Vm ⊕ Wm ,I Wm = {0} , U Wm = L2 ( R) .m=Z(П.9)m∈ZРис.
П.14 поясняет графическое представление КМА с разложением пространства Vm −1 на его подпространство Vm и ортогональное дополнениеWm , и то же самое повторяется на более низких уровнях.Пусть ψ (t ) = ψ oo (t ) есть базисная функция (материнский вейвлет) пространства W0 .Тогда учитывая, что W0 ⊂ V−1 ,Vm +1Vm −1Vmдля функции ψ oo (t ) = ψ (t ) получимсоотношение, аналогичное (П.7):Wm +1Wmψ oo (t ) = ψ (t ) = 2 ∑ g (l )ϕ−1,l (t ) =Рис.
П.14l101= 2∑ g (l )ϕ(2t − l ) ,(П.10)lgl = g (l ) = (ψ (t ),гдеϕ(2t − l ))(П.11)– некоторая последовательность, т.е. коэффициенты материнского вейвлета.Базисные функции для подпространств Wm образуются смещением имасштабированием функции ψ (t ) :ψ mk (t ) = 2− m ψ (2− m t − k ) .(П.12)Функции ψ mk (t ) идентичны полученным в разделе 2.1 [формула (2.1)].Получим выражения, связывающие последовательности hl и gl .
Так какWm есть ортогональное дополнение Vm , то функции ψ (t ) и ϕ(t ) должныбыть ортогональными, и из (П.7) и (П.10) следует, что0 = (ϕ(t ), ψ (t )) = 2∑∑ hl g p (ϕ−1l (t ),lpψ −1 p (t )) = 2∑ hl gl(П.13)lиgl = (−1)l h2 n −1−l .(П.14)где l = 0,1,..., lo = 2n − 1 , n – порядок вейвлета.Из (П.10) следует, что вейвлеты ψ (t ) полностью определяются масштабирующей функцией ϕ(t ) , а последняя согласно (П.7) – своими коэффициентами hl .Любой сигнал S (t ) ∈ L2 ( R) можно записать в виде суммы проекций наWj , j ∈ R :S (t ) =∞∞∑ ∑ (S (t ), ψ jk (t ))ψ jk (t ) = ∑ ∑ d jk ψ jk (t ) .j =−∞ k(П.15)j =−∞ kПостроение пространства начинается практически с масштаба m = 0 (т.е.a = 2m = 1 ). Поскольку ϕ(t ) хорошо сосредоточена во временной области(быстро убывающая функция), это позволяет интерпретировать коэффициенты разложения aokaok = ak = ( f o (t ), ϕok (t − k ))как дискретную выборку функции f o (t ) .Если осуществить анализ сигнала S (t ) вплоть до некоторого масштаба m ,т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
