Яковлев А.Н. Введение в вейвлет-преобразования (2003) (1245706)
Текст из файла
Министерство образования Российской ФедерацииНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТА.Н. ЯКОВЛЕВВВЕДЕНИЕВ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯУтверждено Редакционно-издательским советомв качестве учебного пособияНОВОСИБИРСК2003УДК 621.372(075.8)+004.92(075.8)Я 474Рецензенты:Кафедра радиотехнических системСибирского государственного ун-тателекоммуникаций и информатики (СибГУТИ)Д-р техн. наук, проф. В.Н. Васюков (НГТУ),канд. техн. наук, доц.
Г.Х. Гарсков (СибГУТИ)Работа выполнена на кафедре теоретических основрадиотехники (ТОР)Яковлев А.Н.Я 474 Введение в вейвлет-преобразования: Учеб. пособие. –Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. – 104 с.ISBN 5-7782-0405-1В сжатой и доступной форме рассмотрена новейшая технология обработки информации – непрерывное (глава 1), дискретное и быстроевейвлет-преобразования (глава 2) сигналов, а также двумерное вейвлетпреобразование и обработка изображений (глава 3) .
Приведены примеры применения ВП для анализа, фильтрации и сжатия сигналов и изображений. В приложениях дан «инструментарий» по ВП в системе компьютерной математики Wavelet Toolbox для MATLAB 6.Для студентов, магистрантов, аспирантов, преподавателей и лиц,занимающихся обработкой сигналов, изображений и временных рядов вразличных областях науки и техники.УДК 621.372(075.8)+004.92(075.8)ISBN 5-7782-0405-1© Новосибирский государственныйтехнический университет, 2003© Яковлев А. Н. , 2003250-летию НГТУ (НЭТИ) посвящаюАвторВведениеВ конце прошлого века возникло и успешно развивается новое и важное направление в теории и технике обработки сигналов, изображений и временных рядов, получившее названиевейвлет-преобразование (ВП), которое хорошо приспособленодля изучения структуры неоднородных процессов.Термин вейвлет (wavelet) ввели в своей статье Гроссманн(Grossmann) и Морле (Morlet) в середине 80-х годов XX века всвязи с анализом свойств сейсмических и акустических сигналов.
Их работа послужила началом интенсивного исследованиявейвлетов в последующее десятилетие рядом ученых таких, какДобеши (Dobechies), Мейер (Meyer), Малл (Mallat), Фарж(Farge), Чуи (Chui) и др.Вейвлеты представляют собой особые функции в виде коротких волн (всплесков) с нулевым интегральным значением и слокализацией по оси независимой переменной (t или x), способных к сдвигу по этой оси и масштабированию (растяжению/сжатию).
Любой из наиболее часто используемых типоввейвлетов порождает полную ортогональную систему функций.В случае вейвлет-анализа (декомпозиции) процесса (сигнала) всвязи с изменением масштаба вейвлеты способны выявить различие в характеристиках процесса на различных шкалах, а посредством сдвига можно проанализировать свойства процесса вразличных точках на всем исследуемом интервале. Именно благодаря свойству полноты этой системы, можно осуществитьвосстановление (реконструкцию или синтез) процесса посредством обратного ВП.Из анализа литературы, в частности, приводимой в концепособия, следует, что ВП широко применяется для исследования нестационарных сигналов, неоднородных полей и изображений различной природы и временных рядов, для распознава3ния образов и для решения многих задач в радиотехнике, связи,электронике, ядерной физике, сейсмоакустике, метеорологии,биологии, экономике и других областях науки и техники.За рубежом к настоящему времени по ВП опубликованысотни книг и тысячи статей.
В западных университетах читаются многочасовые курсы по теоретическим и практическим аспектам ВП, проводятся международные научные конференции исеминары.Подтверждением значимости ВП является и тот факт, чтоалгоритмы ВП представлены в широко распространенных системах компьютерной математики (СКМ), таких как Mathcad,MATLAB, Mathematica.
Международные стандарты JPEC-200,MPEG-4 и графические программные средства Corel DRAW9/10 широко используют ВП для обработки изображений и, вчастности, для сжатия изображений для каналов с ограниченнойпропускной способностью, например, для Интернет. Кроме того, фирмой Analog Devices разработаны и выпускаются однокристальные дешевые микропроцессоры ADV6xx (ADV601,ADV601LC, ADV611, ADV612), основанные на ВП и предназначенные для сжатия и восстановления видеоинформации вреальном масштабе времени.В России первые немногочисленные работы по применениюВП были опубликованы примерно с десятилетней задержкой. Восновном они носили обзорный характер по материалам зарубежных публикаций [15, 19, 20, 26].В последние несколько лет интерес к ВП у нас резко возрос.Появились учебные пособия [1–3], монография [4], переведенына русский фундаментальные теоретические книги И.
Добеши[5] и Т. Чуи [6], вейвлетам посвящены разделы и главы в учебниках [10–14]. Несмотря на приличную стоимость (от 100 до300 рублей), книги мгновенно исчезли с прилавков магазинов.Кроме малого тиража и высокой стоимости книги по вейвлетам имеют существенные недостатки – слабую практическуюреализацию ВП, отсутствие практических примеров и описаниясовременного компьютерного «инструментария» для практического использования ВП.В справочной книге [7], написанной В.П.
Дьяконовым иИ.В. Абраменковой и изданной в 2002 г. (тираж 5000 экз.,38 п.л., цена 160 руб.), авторами сделана попытка преодолетьпоследние из указанных выше недостатков. Справочник содержит сведения по современным средствам обработки и фильтрации сигналов и изображений, входящим в пакет MATLAB46.0/6.1. В последующей книге [8] (тираж 3000, 28 п.л., цена270 руб.) впервые, наряду с теоретическими сведениями о вейвлетах, детально описаны известные пакеты по вейвлетам –Wavelet Toolbox, Wavelet Extension Pack и Wavelet Explorer, используемые новейшими массовыми системами компьютернойматематики (СКМ) MATLAB 6.0/6.1, Mathcad 2001 и Mathematica 4.
Однако пользователь должен иметь сведения и навыкипо этим СКМ хотя бы в рамках книг, опубликованных В.П. Дьяконовым в 2001–2002 гг.В Санкт-Петербурге благодаря энтузиазму профессорскопреподавательского состава СПбГУ, СПбГТУ и других вузоврегулярно действует городской семинар «Wavelet Seminar –вейвлеты (всплески) и их приложение». На Интернет-сайте этого семинара можно получить сведения о русскоязычных публикациях по вейвлетам, о зарубежных вейвлет-ресурсах, о новыхкнигах и просто полезные советы.Защищен ряд диссертаций по теории и практике ВП и, в частности [22, 25].И тем не менее ВП еще мало известно широкому кругу отечественных студентов, инженеров и исследователей. С сожалением приходится констатировать тот факт, что лишь немногиеспециалисты в радиотехнике и других областях науки и техникизнают, что такое вейвлеты и как можно применять ВП.Все изложенное выше послужило причиной написания настоящего пособия и включения основ ВП в программу курса«Радиотехнические цепи и сигналы».
Автор попытался найтикомпромиссное решение между теоретическим и практическимописанием вейвлетов и ВП и доступностью, ясностью и объемом (и, следовательно, стоимостью) настоящего учебного пособия.Автор надеется, что именно такой характер пособия сделает его востребованным студентами, магистрантами, аспирантами, преподавателями и широким кругом специалистов, связанных с обработкой сигналов, изображений и временныхрядов как в радиотехнике, так и в других различных областяхнауки и техники.Автор выражает глубокую благодарность рецензентам д-рутехн. наук проф. В.Н. Васюкову и канд. техн. наук. доц.Г.Х. Гарскову за полезные советы и критические замечания, атакже специалисту по программированию Ю.В.
Морозову законсультации при запуске программ в системе MATLAB.5Глава 1Непрерывноевейвлет-преобразование1.1. Обобщенный ряд ФурьеИзвестно [13, 14], что произвольный сигнал S (t ) , для которого выполняется условиеt22∫ [ S (t )]dt < ∞ ,(1.1)t1может быть представлен ортогональной системой функций{ϕn (t )} , т.е.S (t ) = C0 ϕ0 (t ) + .... + Cn ϕn (t ) + ... =∞∑ Cnϕn (t ) ,(1.2)n=0коэффициенты которой определяются из соотношенияCn =гдеt21ϕn2∫ S (t )ϕn (t )dt ,(1.3)t1t2|| ϕn ||2 = ∫ ϕn2 (t )dt(1.4)t1– квадрат нормы, или энергия базисной функции ϕn (t ) .
Приэтом предполагается, что никакая из базисных функций не равна6тождественно нулю и на интервале ортогональности [t1 , t2 ] выполняется условиеt2⎪⎧|| ϕ ||2 , k = n,(1.5)∫ ϕk (t )ϕn (t )dt = ⎨⎪ 0n , k ≠ n.⎩t1Базисная функция ϕn (t ) , для которой квадрат нормы равенединице ( || ϕn ||2 = 1 ), называется нормированной (нормальной), ався система функций {ϕn (t )} – ортонормированной или ортонормальной. В этом случае говорят, что задан ортонормированный базис.Ряд (1.2), в котором коэффициенты Cn определяются поформуле (1.3), называется обобщенным рядом Фурье.Произведение вида Cn ϕn (t ) , входящее в ряд (1.2), представляет собой спектральную составляющую сигнала S (t ) , а совокупность коэффициентов {C0 ,.., Cn ,..} называется с п е к т р о мсигнала.
Графическое изображение {C0 ,.., Cn ,..} в виде вертикальных отрезков, называемое спектральной диаграммой, даетнаглядное представление о спектре сигнаCnла (рис. 1.1).Суть спектрального анализа сигналаS (t ) состоит в определении коэффициен- C C1 C2 Ci0тов Cn (экспериментально или аналитически) в соответствии с (1.3).0i1 2nНа основе ряда (1.2) возможен синтезРис. 1.1(аппроксимация) сигналов при фиксированном числе N рядаSІ(t ) = C0 ϕ0 (t ) + ... + C N ϕ N (t ) =N∑ Cn ϕn (t ) .(1.2’)n =0При этом обобщенный ряд Фурье обладает следующим важнымсвойством: при заданной системе базисных функций {ϕn (t )} ичисле слагаемых N он обеспечивает наилучший синтез (аппроксимацию), давая минимум среднеквадратической ошибкиε , под которой понимается величина2t2t2N2⎡⎤ε = ∫ ⎡⎣ S (t ) − SІ(t ) ⎤⎦ dt = ∫ ⎢ S (t ) − ∑ Cn ϕn (t ) ⎥ dt .n =0⎦t1t1 ⎣7(1.6)Ортогональная система называется полной, если увеличением N можно сделать ε сколь угодно малой.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
