Воронцов Теория штамповки выдавливанием (1245676), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В связи с зтнм все полученные выражения, приведенные на с. 86-87 работы 1105), являются принципиально неверными. Изложим корректное решение данной задачи. Рабочий ход, требующийся для полного внедрения конического торца в заготовку (рис. 6.12), определяется по фор- муле при ~р=О и м,= -оояпа при у=а: = - оа1пЧ. Рис.
б.12. Параметры выдавливания коническим пуансоном с малым углом конусностн В торовых координатах скорости деформаций определены следующими выражениями: 3р г я1пср+г совр (ч — го сонр) апир Я+р, а1п~р ОО А+р, а1пу Я+р, а1п~р зтз ные результаты в отношении возможных корректных упрощений. Для угла аь15' с учетом формул (6.42) и (6.44) видно, = РР СОЗф+ —. Х 0р) Р1 Р1 Тогда из системы (6.42) Л(р) Яр) Р1 2 ' 'Р 2 Р| Р1 а скорость угловой деформации с учетом чего по формуле (2.21) находим интенсивность скоростей деформации: — 62~ ((Р)+-~~2 (сР) . (6.46) 3Р2 2 1. Тогда Х (Р) г 1 27 3 ~; — Яср). (6.47) 375 то есть деформированное состояние можно считать плоским и от торовых координат и соответствующих им уравнений перейти к полярным координатам с центром О', для которых решение значительно упрощается.
Подставляя первое и третье выражения системы (6.42) в условие несжимаемости (6.43), находим, что Уравнения равновесия в данном случае имеют внд: д««я, 1 дтр,«р «гр, «гя + + О, др«Р«д«р Р« (6.48) до„ вЂ” Я+2т =О. д ФР« Из второго уравнения системы (6.48) с учетом выражения (6.47) находим: «г = -2~т д«р+ 7"(р«). (6.49) По условию пластичности (2.27): «гр, =«з +~3..
(6.50) Первое уравнение системы (6.48) с учетом равенства (6.50) преобразуется к виду: д«г„дт я „р '9Р« др, др ' (6.51) т«р С«р + С« о =(С вЂ” Р)1пр«+ Л(«р)+ Сз. (6.52) Произвольные постоянные С и С«находим из граничных условий: т„= — ~31«при «р=О и т =~1«з при «р=а, откуда: Так как левая часть этого уравнения в соответствии с выражением (6.49) зависит только от р«, а правая, в соответствии с формулой (6.47) — только от «р, то обе этн части должны быть равны постоянной величине С, откуда С;-(Р-С)Ь -Р-~ . Тогда окончательно: о„= (С вЂ” р) 1п — — р — д Р| (6.54) (6.55) Из очевидных геометрических соображений пределы изменении радиуса р1 равны: а=(Я вЂ” 1)с1ц а, Ь=(К вЂ” го)с1аа . (6.56) Можно показать, что на конической поверхности пуансона координата р~ выражается через радиус конической поверхности р следующим образом: Я вЂ” р Р~ = —. вша (6.57) Используя выражение (6.55).
с учетом соотношений (6.56) и (6.57), находим силу от действия напряжений о;, на конической поверхности: 1 Р, = 2я ~о„,~рЫР = я(ф+ д, )(1 — го ) + ч +(Р (Я2 "о)1 о +(~Ь вЂ” 1)(05+1псонх)+)1(го 1) (6.58) Сила от действия касательных напряжений т на ко- 377 Подставляя формулу (6.51) в выражение (6.49), находим, что Я<р)=(С~р — 2С1)~р. В силу малости этого члена (с учетом равенств (6.53) его максимально возможное значение, соответствУющее <Р=а, Равно Щ1з-Рз)а), в дальнейшем им пРенебрегаем. Постоянную С2 определяем из граничного условия ом= — д,р при р1=а, откуда с учетом выражений (6.50) и (6.52): нической поверхности пуансона с учетом выражений (6.51) и (6.53) будет равна: Р, = 2л Дт )с18аРИР = л!ЗР, с18а(! — го ).
(6.59) Рассмотрим область 1. В соответствии с выражениями (4.7) и (4.9), в которых радиус, равный 1„заменяется на го, в цилиндрической системе координат с центром 0 го+ 2р!! 1пр+ з + Сз Н -г о Произвольную постоянную Сз находим из граничного условия а=-ор~ при р=Л и ~0 (в полярной системе координат, соответственно, при р~=Ь и ср=О). Отсюда, с учетом выражений (6.50), (6.52) и (6.56) ГЯ вЂ” го '! Сз =-!)!пав — (!3 — С)1п~ ! — 9 .
(6.60) С учетом зтого, аналогично разделу 4.1 можно показать, что сила от действия напряжений а, на плоской поверхности торца пуансона в области 2 определена выражением: — з "!2 ! и го+2РА (0,5+Р,)го Рз '"о +" + "+ + (Р! 'о 2(Я~ — го~) 4Ь +ф — С)1п о +9 (6.61) Суммируя выражения (6,58), (6,59), (6.61), заменяя в С для удобства вычислений с учетом малости раднанное значение угла а на з!па, и относя результат к площади попереч- 378 ного сечения пуансона, находим удельную деформирующую силу: го+ 2ргг (0,5+ц)ге — 2+1п — + ~ л+ ~ ~ го +(1+)гзс1йа)(1 гоо)+ 9 . 2(йг г 4ь О + 1+ — Я 1 — +(г — 1)[0,5+1п(соах)) — А(1 — го) .(6.62) Р+Нз г '~ гО г з(па,~ 1, Я-1 г' При этом высота очага пластической деформации будет равна: (6.63) Максимальное давление на стенку матрицы определяется аналогичноразделу 4.1 при г= — л и р=Я с учетом равенства (6.60): р-111+ о й+ 1+" ~' 1п о +9 (664) ггг го 1.
я1па г' 1. Я 1! Экспериментальная проверка полученных соотношений будет представлена в разделе 9.1. 6.4. ВЫДАВЛИВАНИЕ КОНИЧЕСКИМ ПУАНСОНОМ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ УГЛОМ КОНУСНОСТИ Пуансон с торцом в форме усеченного конуса является наиболее часто применяющимся в промышленности и может иметь углы конусности. превышающие 15', принятые в разделе 6.3. Для решения более общей задачи определения напряженного состояния при выдавливании пуансоном с произвольным углом конусиости нами выбрана иная расчетная схе- 379 ма, представленная на рис.
6.13. В области 1 напряженное состояние определяется выражениями (6.4), произвольные постоянные в которых находим из следующих граничных условий: т,= — ~31г при р=1г и т .=0,5р11-0,5(1-го)соаа1 при р=1. С учетом этого: 1-05(1-г,)сова+ 2ий 2 й2 (6.65) 11 — 0,5(1 — ~;) сова)й+ 2р 2(Я' — 1) Рис. 614. Параметры выдавРис. 6.13.Параметры выдавливания ливания заостренным коническим пуансоном коническим пуансоном Использованное второе граничное условие при сс=90' или ге=1 переходит в граничное условие для пуансона с плоским торцом (раздел 4.1) н получено из тех же соображений, что и аналогичное в разделе 6.1. На границе между 1 и 3 областями прн плоском пуансоне с острой кромкой (то есть при а=90' нли ге=1), в силу разрыва между противоположно на- 380 правленными скоростями кн н ~,з, касательные напряжения будут предельными тр,=0,5'р.
В силу закона парности касательных напряжений зта величина (то есть тр,„=0,5~3) в нижней точке зтой границы сохраняется независимо от изменения характеристик конического торца пуансона, так как в данной точке будет также разрыв меж~~ ~ р~ и гр=О в жилой области, расположенной ниже области 3. В то же время в верхней точке границы между областями 1 и 3 уменьшение и или гц приводит к более плавному огибанию выдавливаемым металлом торца пуансона, то есть к уменьшению разрыва скоростей сдвига и соответствующему снижению касательных напряжений. В пределе при гс=О (заостренный конический пуансон, рис. 6.14) и а=О (предельно острый пуансон) разрыв скоростей сдвига в верхней точке границы устраняется, и можно считать т,=О. Такое изменение т, в верхней точке границы при переходе от пуансона с плоским торцом к коническому можно учесть зависимостью т „=0,5р[1 — (1 — гс)сова). Средняя величина касательных напряжений на границе между областями 1 и 3 будет равна т,„= — 0,5(т,„„+т .
)=0,5р[1 — 0,5(1-гс)сова), что и было использовано выше в качестве граничного условия. С учетом равенств (6.65) и второго выражения системы (6.4) среднее значение радиального напряжения на границе при р=1 будет равно: 1 — О 5(1 — го)соагг+ 2рЯ „Д Рассмотрим область 3. Кинематически возможные функции скоростей течения берем в виде (6.6)„с учетом чего напряженное состояние в области 3 определяется выражениями (6.14). На конической поверхности из системы (6.16) с учетом того, что в данном случае <р=90'-и, получаем: о„=о з(п а+а сов а — т з(п2а, 2 2 (6.67) т = 0,5(о — а )яп2а — т соя 2и.
381 При среднем значении а=45' из второго выражения системы (6.67) получаем 0,5(о,— ор)~ . Для упрощения примем, что это значение сохраняется и при других углах а (заметим, что можно решить задачу и без данного упрощения, как это сделано в работе [451, получив очень близкие результаты). Тогда из второго выражения системы (6.67): в1п2 — 1 в1па — сова т т= т. сов 2а в1па+ сова Из граничных условий тр,=0,5р при р=1, 2= -Ь и т= -~3141 при р=1, 2=0 с помощью первого выражения системы (6.14) и соотношения (6.68) находим: ~3( вша — сова Ь ~ япа+ сова (6.69) яп а — сова С, =-рп, вша+сова Из граничного условия орз=ззрз при р=1 и 2=0 с учетом второго выражения системы (6.14), находим: Св=-арз — 0,5С4.
(6.70) На конической поверхности: 2= -(1-р)с18а . (6.71) С учетом этого, используя первое выражение системы (6.67), а также выражения (6.14) и (6.70), находим силу от действия нормальных напряжений на этой поверхности: +2Сзс18а[г, — — г~ — — )+ — Сзв1п2а(1 — г~ )~. (6.72) (2 2 з 11 2 . з1 3 з) з ЗВ2 з Р,=2 1 „)Р4р= [фвп~ Р05С,— „)р — )Р— (, — 1)Р Р4 2 1 4 4 3 2 1 (1 4 4 з1 +С сг8 а[ — г~ — — г +г — -)+С4сов а~ — +г — — г )+ 'з2 3 6) ~з ' з') 1 Н =2 Щак~рир=~~С Щ 2 — — ~ — + 11 2, 1 4~ 1,6 3 2 -~ — Сзс1йасоя2а(1-г )+Я1 — го)соз и . (673) 2 3 Рассмотрим область 2.
Напряженное состояние в ней определено выражениями (6.34), в которых произвольные постоянные находятся из граничных условий к соотношениям (6.35) с заменой в ннх г~ на Ьо. 0,5+ 1з~ Ь-Ь, ' 0,5ЬО +р,Ь "о (6.74) С9 — — 0,5(С~ — С~)го + (2Сз — 2Сз + (С~ — С~)Ь(ДЬр + Ся. С учетом формул (6.34), (6.70) и третьего выражения системы (6.74) сила на плоской поверхности торца пуансона будет равна: л ~ ! К 1 з 1 )з =2куо' ~ -~„~рпр=юо~Р+ — С~го + — С (1 — г )— 4 0 о — С,его'а(1-го) -2С,с1яа(1 — го)-ор,]. (675) Суммируя выражения (6.72), (6.73), (6.75) с учетом того, Ьо=(1-го)его, (6.76) 383 Подставляя во второе выражение системы (6.67) первое и третье выражения системы (6.14), с учетом равенства (6.71) находим силу от действия касательных напряжений на конической поверхности: и относя результат к площади поперечного сечения пуансона, находим удельную силу выдавливания пуансоном с произвольным углом конуса: 1 — 0 5(1 — г,) сова+ 2рй (0,5+,и,)г,' 2(л-' -1) 4[Ь -(1 — го) с18а] < в1па+ сова! + +и, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
