4.2. Интегралы уравнений движения (1245226), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

изменяется в фиксированных пределах, если   0 (орбита неявляется окружностью).Максимальная скорость КА достигается в перицентре орбиты   0 Vmax  V  1    ,pа минимальная скорость – в апоцентре орбиты (   , если апоцентр даннойорбиты существует).Vmin  V p 1   Причем согласно формулам (4.38) и (4.39) радиальные составляющиескорости КА в апцентре и перицентре равны 0  sin 0  sin   0  , т.е. в этихточках орбиты вектор скорости перпендикулярен вектору положения: V  r .Если орбита является окружностью    0  , то скорость КА согласноформуле (4.40) постояннаVpr,pr(4.41)причем в каждый момент времени Vr  0 , т.е. V  r .Как следует из формулы (4.34)p- расстояние в перицентре1 prmax  r - расстояние в апоцентре1 С помощью формул для V ,V , r , r можно установить связь междуrmin  r величинами скоростей и радиусами апсидальных точек.rrFVVРис.V rV rилиV  r  V  r(4.42)Это соотношение называется “правило рычага” и напоминает задачуравновесия моментов сил, где вместо сил здесь фигурируют скорости V и V .По существу (4.42) отражает равенство секториальной скорости в перицентреи апоцентре.Связь скорости с типом орбитыС помощью формулы (4.35)  1 h 2,2определяющий эксцентриситет орбиты через постоянную интеграла энергии,установим зависимость типа орбиты от скорости движения.Исполдьзуя эту формулу и интеграл энергии (4.6)V2 2 h,rпроведем следующий анализ:1.

Пусть константа энергии h  0 , что как было показано при анализеинтеграла энергии, справедливо для замкнутых орбит.Из формулы (4.27)  2   2   2  h , записанной в форме221h,22следует, что h 1  h 2не может быть меньше -1. Поэтому при h  0 имеем22 0.2Если 1  h 2201h,тосогласноформулеполучаем 0    1. Такие22орбиты называют эллиптическими.Из интеграла энергии видно V 2 2 h  0 , что в любой точке эллиптическойrорбиты выполняется неравенство:V2 2 2 V ,rr(4.43)где r– расстояние до КА от центра притяжения, который находится в одном изфокусов эллипса.2Если h  2  1 , то   0 и движение КА происходит по круговой орбите.Согласно уравнению орбиты r стороны p pпри   0 имеем r  p .

Но сдругой1    cos 2 r22, тогда 2  и h   2   . Таким образом, в этом случае изrинтеграла энергии имеемV2 V 22 hrrrV (4.44)rОбозначив r  rкр - радиус круговой орбиты, окончательно запишемV  Vкр  rкр  rкр,(4.45)т.е. скорость движения равна круговой скорости, соответствующей данномурадиусу орбиты. Эта скорость называется местной круговой скоростью. Онаперпендикулярна направлению на притягивающий центр.2. Космическийаппаратможет неограниченноудалятьсяотпритягивающего центра, если h  0 . При выполнении строгого равенства h  0скорость на бесконечность V  0 , т.к. h  V2 .

В этом случае   1 , а такую орбитуназывают параболической. Для нее скорость определяется формулой:2 h0r2 2 V 2 V  Vпар  r rrV2 (4.46)и называется местной параболической скоростью.Из сравнения круговой скорости движения (4.44), (4.45) с параболической(4.46) видно, чтоVпар  2  Vкр(4.47)3. Если h  0 , то   1 , и орбита является гиперболической.Из интеграла энергииV2 то V 2 2h0r2 r V2 r(4.48)Запишем этот же интеграл иначеVГ2 2  h  V2r2или VГ2  Vпар r   V2(4.49)следовательно,квадратместной(наданномрасстоянииr)гиперболической скорости равен сумме квадратов местной параболическойскорости и скорости на бесконечность.

Второе слагаемое V2 с учетом (4.49)иногда называют гиперболическим избытком скорости.Из проведенного выше анализа можно сделать следующие выводы:1. Чтобы определить форму орбиты, нужно известную скорость КА назаданном расстоянии от притягивающего центра сравнить с местнойпараболической или круговой.2- гиперболическая орбита;r- параболическая орбита;V  Vпар V  VпарV  Vпар - эллиптическая орбита;V  Vкр r- круговая орбита.2. Форму орбиты можно определить и по знаку константы энергии.Еслиh  0 - орбита гиперболическая ;h  0 - орбита параболическая ;h  0 - орбита эллиптическая или круговая.Приведенные выводы справедливы в том случае, когда вектор скоростиКА V неколинеарен вектору положения r .

В противном случае, т.е. когдаV r , КА движется по прямой линии.В связи с понятием местных круговой и параболической скоростей можнодать определение первой и второй космических скоростей относительнонебесного тела.Первой космической скоростью VI относительно данного небесного теланазывают круговую скорость у поверхности этого небесного тела.Второй космической скоростью VII относительно данного небесноготела называют параболическую скорость у поверхности этого небесного тела.Ясно, чтоVI r0, VII 2 , VII  2  VI .r0(4.50)где r0 - радиус небесного тела, принимаемого за идеальный шар сосферическим распределением плотности.Зная первую космическую скорость, можно легко подсчитать период T0обращения так называемого нулевого спутника планеты, т.е.

гипотетическогоспутника, который двигался бы по окружности в несредственности близостиот поверхности небесного тела при допущении, что это тело – идеальный шар.Период обращения спутникаТ – время между двумя последовательнымипрохождениями через одну и ту же точку орбиты.Пример 1. Вычислить Iи IIкосмические скорости относительно Земли ипериод T0 обращения ее нулевого спутника. Пусть M з - масса Земли, среднийрадиус Земли r0  6371 км,  з  f  M з .Решение:Сила, с которой Земля притягивает массу m , равнаFf  Mз mr02и в то же время равнаF  m  g0 ,где g 0 - ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Отсюдаf Mз  m m  g0r02 з  f  M з  g 0  r02зVI  g 0  r0  9,820  6371103  7910r0VII  2 VI  7,910 1, 414  11, 2мкм 7,91сскмсТак как длину большой окружности на поверхности Земли можнопринять равной (в среднем) 2    r0  40030 км , тоT0 2    r0 400301 5060 c  84 минVI7,9103Разумеется, на практике невозможно запустить нулевой спутник. Однакоданные о таком воображаемом спутнике (его период обращения T0 , радиус егоорбиты r0 , первая космическая скорость VI ) м.б. использованы в качествеэталона при вычислении данных о других, реальных спутниках.Проиллюстрируем это на следующем примере.Пример 2.Какова круговая скорость Vкр и период обращенияТ спутника,вращающегося на расстоянии r от центра Земли?Решение:Vкр rr0r0r VI  0 ,rr3 r 22    r 2    r r r 2    r0 rrT   T0  VкрVIr0 r0VIr0 r0 r0 ПериодТ можно определить и через угловую орбитальную скоростьспутника на круговой орбитекр 1   3 ,rr rrVкртогда период обращенияT2 кр2 3r2Из полученных формул видно, что с удалением от центра Земли круговаяскорость спутника убывает (а значит, убывает и пропорциональная ейпараболическая скорость), а его период обращения возрастает..

Характеристики

Список файлов лекций