4.2. Интегралы уравнений движения (1245226), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Перемножимdtdtrвекторно правые и левые части этих выражений:d 2r  dr  3  r 2dtr dt rИлиd 2r   dr  2  3  r   r dtr  dtИспользуя выражения для двойного векторного произведения:a  b  c   b   a  c   c  a  b  ,Преобразуем правую часть последнего выражения:d 2 r    dr  dr  2  3  r   r      r  r dtr   dt  dtdr drdrdrИли, учитывая, что: r  r  r 2 , r    r , так как r   r V  cos   r  , тоdt dtdtdtdrVr dtполучим:d 2r  drdr   2   3  r 2   r   r    dtr dtdt rdr dr rd r dt dt   2rdt  r ddr d 2rПринимая теперь во внимание равенство:        2 , так какdt dt dtdr V , перепишим последнее выражение  const , и используя обозначении:dtв следующем виде:d r V       0 ,dt rОткуда после интегрирования следует векторный интеграл Лапласа:r  V     rrИли: V       rГде  – вектор Лапласа.(4.24)Выражение (4.24) справедливо в каждый момент времени.

ВекторЛапласа может быть найден по начальным условиям движения:   0 V0   r0r0Если спроектировать равенство (4.24) на оси некоторой системыкоординат, то дополнительно к четырем первым интегралам движения (4.6) и(4.12) получим еще 3 (всего будет 7).Покажем, что вектор Лапласа  лежит в плоскости орбиты. Для этогоумножим скалярно выражение (4.24) на константу площадей:   V    r       rПроведя круговую перестановку векторов в первом слагаемом в левойчасти последнего выражения, найдем:   V   V       0 . Второе слагаемоетакже равно нулю: r   0 , так как векторы r и  перпендикулярны.

Такимобразом имеем:   0(4.25)Это означает, что    , то есть векторная константа Лапласа лежит вплоскости орбиты, поскольку вектор  ортогонален плоскости орбиты.Установим связь между некоторыми интегралами движения. Запишемвыражение (4.25) в скалярном виде:(4.26)x   x  y   y  z   z  0Где    x , y , z Условие (4.26) является первым соотношением связи между интегралами.Для установления второго условия связи рассмотрим скалярноепроизведение:22rrr2      V        V     2    V       2  2rrr2Здесь:V  2 V    V     V 2   2 , так как: V   22  90,sin   1 ,иV    r     r V   2 2,r2 1.r2Тогда:  2  V 2   2 2    22    2 , или  2   2   2  V 2 , откуда с учетомrr (4.6) получим окончательно второе условие связи:2  2  2  h(4.27)Таким образом, из 7-и первых интегралов уравнений движениянезависимыми являются только 5, а следовательно, полученные 7 интеграловне образуют общего интеграла уравнений движения.Рассмотрим один из возможных способов вычисления последнего, 6-гоинтеграла системы (4.4).

Из 7-ми найденных интегралов (4.6), (4.12), (4.24), атакже условий связи (4.26), (4.27) можно выразить любые 5-ть параметровчерез 6-ой и постоянные интегрирования h, x , y , z , x , y , z . Предположим,что в качестве такого параметра движения взята координата x , тогда:y  Ф1  x, h,  x ,  y ,  z , x ,  y , z  z  Ф2  x, h,  x ,  y ,  z , x ,  y , z  (4.28)x  Ф3  x, h,  x ,  y ,  z , x ,  y , z  y  Ф4  x, h,  x ,  y ,  z , x ,  y , z  z  Ф5  x, h,  x ,  y ,  z , x ,  y , z  dxПоскольку x  , то третье уравнение системы (4.28) интегрируется вdtквадратурах методом разделения переменных x и t :dx(4.29) Ф3  x, h, x , y , z , x , y , z   t  CГдеС – 6-ая произвольная постоянная.Отсюда в принципе можно определить координату x как функциювремени t . После подстановки найденного выражения для x в систему (4.28)получим 6-ть соотношений для параметров движения, определяющих ихзависимость от времени и 6-ти произвольных постоянных:x   1  t , h,  x ,  y ,  z ,  x ,  y ,  z , C  y   2  t , h,  x ,  y ,  z ,  x ,  y ,  z , C  z   3  t , h,  x ,  y ,  z , x ,  y , z , C  x   4  t , h,  x ,  y ,  z ,  x ,  y ,  z , C  y   5  t , h,  x ,  y ,  z ,  x ,  y ,  z , C  z   6  t , h,  x ,  y ,  z , x ,  y , z , C  (4.30)Уравнения (4.30) составляют общий интеграл уравнений движения (4.4).Напомним что из 8-ми постоянных интегрирования t, h, x , y , z , x , y , z , C ,лишь 6-ть являются независимыми в силу соотношений (4.26) и (4.27).Таким образом, показано существование общего решения в задаче 2-хтел.

Произвольные постоянные определяются из начальных условий, что,вообще говоря, является довольно сложной процедурой, которая в буквенномвиде не разрешается. Поэтому обычно общее решение ищется в другой форме,где в качестве независимой переменной используется не время движения, аполярный угол  .4.3. Уравнение орбиты КА в центральном гравитационном поле.Для вывода уравнения орбиты КА воспользуемся интегралом площадей иинтегралом Лапласа.

Перепишем эти интегралы:r V  r  V     r1. Рассмотрим случай, когда   0 .При этом из интеграла Лапласа непосредственно вытекает:r r(4.31)Следовательно, радиус-вектор КА имеет неизменное во временинаправление, что соответствует движению аппарата по прямой линии кпритягивающему центру или от него.2. Рассмотрим случай, когда   0 .Тогда согласно условию (4.14)  x  x   y  y   z  z  0 движение КАпроисходит в неизменяемой плоскости, то есть траектория представляет собойплоскую кривую, которую называюторбита КА.Для вывода уравнения орбиты в этом более общем случае умножимскалярно интеграл Лапласа на r :r    V   r  r    rrили, используя круговую перестановку векторов в первом слагаемом влевой части:  V  r   r  r    rrНа основе интеграла площадей V  r   , поэтому имеем: 2  2 r    rrИли учитывая, что:  2   2 , r 2  r 2 ,   r    r  cos  , где  – угол междувекторами  и r , получим: 2    r    r  cosОткуда:r2    cos То есть:2r1   cos Положим:p2, (4.32)Тогда окончательно уравнение орбиты (в полярных координатах)запишется в виед:rp1    cos (4.33)Выражение (4.33) представляет собой уравнение конического сечения вполярных координатах, в одном из фокусов которого расположенпритягивающий центр.Рис.

4.6.Таким образом, формулы (4.31), (4.33) отражают 1-ый закон Кеплера:движение КА относительно притягивающего центра всегда совершаетсяпо коническому сечению (по эллипсу, кругу, гиперболе, параболе илипрямой), в одном из фокусов которого находится притягивающий центр.Вид конических сечений показан на рис. 4.6. В формуле (4.33): р –параметр орбиты, определяющий ее линейные размеры, а  – эксцентриситеторбиты, характеризующий ее форму.Если   0 , то орбита является окружностью (рис.

4.7а), если 0    1 –эллипсом (рис. 4.7б), при   1 – параболой (рис.4.7в) и при   1 –гиперболой(рис.4.7г).rOРис 4.7аyAprEabF OcРис 4.7бxAprFРис 4.7вAyp rFH xРис 4.7гКоническое сечение симметрично относительно вектора Лапласа  , аполярный угол  , который называют истинной аномалиейКА определяетмгновенное положениеаппарата на орбите и отсчитывается в плоскостиорбиты от вектора Лапласа.Главная, или фокальная, ось орбиты, совпадает с направлением вектораЛапласа, называется линией апсид.

Точки пересечения этой линии с орбитойназываются апсидальными, или просто апсидами. Апсиды совпадают свершинами конического сечения и имеют специальные названия. В общемслучае ближайшую к притягивающему центру апсиду называютперицентром, а наиболее удаленную – апоцентром. Заметим, что перицентрсуществует для любых орбит, а апоцентр – только для замкнутых. Взависимости от притягивающего центра апсиды имеют свои собственныеназвания. Например, для Земли это перигей и апогей, для Луны – периселенийи апоселений, для Солнца перигелий и афелий и так далее.Истинная аномалия перицентра   0 , апоцентра   180 и, согласноуравнению орбиты (4.33), расстояния перицентра и апоцентра от центрапритяжения определяются лишь фокальным параметром и эксцентриситетом:r pp, r 1 1 (4.33)Преобразуем теперь формулу (4.32) эксцентриситета орбиты с учетомуравнения связи (4.27):2   2  h21h, 2  2  2  h   22(4.35)2Из соотношений p и (4.35) следует.

Что по заданным величинамгравитационного параметра    , постоянной интеграла энергии  h  ипостоянной интеграла площадей   можно вычислить параметр орбиты  p и ее эксцентриситет    . То есть задать форму и размеры орбиты в ееплоскости, а направление вектора Лапласа    задает ориентацию орбиты в ееплоскости.4.4. Орбитальная скорость КА.В зависимости от формы и размеров орбиты, а также положения КА наорбите его скорость может меняться достаточно в широком диапазоне.

Нарядус расстоянием до притягивающего центра скорость КА является одним изосновных параметров движения. Разложим вектор скорости на двесоставляющие. Будем считать, что одна составляющая Vr  направлена порадиус-вектору, а вторая Vn  – по нормали к радиус-вектору в сторонудвижения (рис 4.8).VrMVVnrFРис. 4.8.Тогда:V  Vr  r 0  Vn  n 0(4.36)Где r 0 , n 0 – соответственно единичные векторы.Составляющую Vr называют радиальной, а составляющую Vn–трансверсальной (нормальной).Составляющие вектора скорости.Установим зависимость составляющих скорости Vr и Vn от параметра р иэксцентриситета  орбиты, а также истинной аномалии  .Радиальная составляющая скорости Vr находится дифференцированиемпо времени уравнения орбиты (4.33):Vr dr dr ddt d dt(4.37)Дифференцируя уравнение орбиты (4.33) по истинной аномалии  ,получим:drp    sin p r 2    sin d 1    cos  2 ppДалее,pучитываясоотношения(4.17)и2    p ;Найдем: pd  2 dt rr2И окончательноVr r 2    sin    ppr2p   sin (4.38)(4.32):r2 ddtиДля трансверсальной составляющей скорости имеем непосредственно изинтеграла площадей: VnVn  r ,rddtПодставляя сюда производную pVn  r r2pd, получим:dt 1    cos  (4.39)Поскольку соответствующие скорости Vr и Vn ортогональны, то полнаяскорость КА (модуль скорости):Vppp  2  sin 2  p 1    cos   2  2  sin 2   1  2    cos    2  cos 2   1  2    cos    2(4.40)Из этой формулы следует, что полная орбитальная скорость КА назаданной орбитепеременна, т.е.

Характеристики

Список файлов лекций