4.2. Интегралы уравнений движения (1245226)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

4.2. Интегралы уравнений движения.Движение КА относительно притягивающего центра описываетсясистемой дифференциальных уравнений 6-го порядка (4.4). Общий интегралэтой системы есть совокупность 6-ти независимых между собой первыхинтегралов. Вычислим первые интегралы системы (4.4).Интеграл энергии.Умножим скалярно векторное уравнение движения (4.5) на 2  r , где r  V– скорость движения, и учитывая, что r 0 d r 2 dt2 d r r3dt2rполучим: 2  r  r   3  r  r илиrr.Но r 2  V 2  V 2 и r 2  r 2 ; поэтому можно записать:d V 2 dt2 d r r3dt2   drd 1  2    2rdtdt  r А затем:d V 2 dtd  2  dt  r d  2 2  V 0dt r Отсюда следует интеграл энергии:V2 2hr(4.6)Где h – постоянная интеграла энергии, которая может быть найдена поначальным условиям: h  V02 2.r0Умножим обе части выражения (4.6) наm m V 2   m h  m:.22r2Первое слагаемое в полученном соотношении есть кинетическая энергияКА Eк , второе потенциальная энергия Eп .

Таким образом из интеграла энергииследует, что полная энергия КА в задаче двух тел (в центральномгравитационном поле) Е постоянна:E  Eк  Еп hm const2Если принять m  1, то 2  E  h , то есть постоянная интеграла энергииравна удвоенной величине полной энергии единицы массы КА.Из анализа выражения интеграла энергии (4.6) следует что:1. Расстояние КА от притягивающего центра ограничено, если h  0 , иможет увеличиваться неограниченно, если h  0Действительно, предположим, что КА может неограниченноудаляться от притягивающего центра, то есть r   , V  V . Тогдаиз интеграла энергии получим в пределе: V2  h (4.7)Это условие имеет смысл только при h  0 , так как слева стоитквадрат скорости на бесконечности.

В рассматриваемом случаеусловием (4.7) определяется физический смысл постояннойинтеграла энергии. Если же h  0 , то исходное предположение овозможности неограниченного удаления КА от притягивающегоцентра оказывается неверным.2. При удалении КА от притягивающего центра его скоростьуменьшается, а в случае приближения увеличивается. В этомпроявляется гравитационное действие притягивающего центра.Интеграл площадей.Интеграл площадей представляет собой соотношение, которое связываетмежду собой положение и скорость КА в каждый момент времени при егодвижении в центральном гравитационном поле .Полагаем сначала, что векторы r и V неколлинеарны (не параллельны),то есть r  V  0 .

Умножим уравнение движения (4.5) слева и справа векторнона r . Тогда:r r  r rr3(4.8)Правая часть полученного выражения равна нулю, так как векторноепроизведение вектора самого на себя равно нулю, то есть r  r  0 . Вычислимдалее:dr  r   r  r  r  r  r  rdt0С учетом этого соотношения можно представить (4.8) в виде:илиdr  r   0dtd r V   0dtОтсюда находим векторный интеграл площадей: r  V   (4.9), где  –векторная константа площадей, а ее модуль  – скалярная константаплощадей.Выражение (4.9) справедливо для каждого момента времени, что можнозаписать в явном виде: r  t  V  t    . Если начальные векторы r0 и V0колинеарны, то   0 и выражение (4.9) принимает вид: r  V  0 . Это значит,что в данном случае векторы r и V колинеарны в каждый момент времени, тоесть КА движется прямолинейно вдоль радиус-вектора к притягивающемуцентру или от него.

В этом случае понятие плоскости движения теряет смысл.Входящие в выражение (4.9) векторы можно выразить следующимобразом через свои координаты: r   x, y, z  , V  Vx ,Vy ,Vz    x, y, z  ,   x ,  y ,  z  .V  xi  y j  z k   x  i   y  j   z  k r  xi  y j  z k(4.10)Найдем координаты левой части выражения (4.9), то есть вектора r  V ,выразив их через координаты векторов r и V . Для этого используемвыражение векторного произведения в прямоугольных декартовыхкоординатах:ir V  xxj ky z   y  z  z  y i   z  x  x  z j  x  y  y  x ky z(4.11)Согласно выражению (4.9) векторы  r  V  и  равны.

Но из равенствавекторов следует равенство их координат. Поэтому из третьего выражения(4.10) и выражения (4.11) вытекают искомые скалярные скалярныесоотношения интеграла площадей:y z  z y x zx  xz y x y  yx z (4.12)Из анализа интеграла площадей следует (при   0 ), что движение КА вцентральном гравитационном поле тяготения происходит всегда в одной и тойже плоскости, то еть плоскость орбиты аппарата в пространстве неподвижна иназывается неизменяемой плоскостью Лапласа.Действительно, по определению векторного произведения r  V   ,  в –вектор, который перпендикулярен плоскости векторов  r и V  , образующихмгновенную плоскость орбиты.

Но  – вектор константа, то есть вектор,который постоянен по величине и направлению. Следовательно, мгновеннаяплоскость орбиты неподвижна. Установленный факт имеет большоепрактическое значение.Уравнение плоскости орбиты можно получить, если умножить левую иправую часть уравнения (4.9) скалярно на r , тогда:r  r V  r  V   r  r   0  r   0(4.13)КруговаяперестановкавектаровЧтобы получить уравнение плоскости движения КА в скалярной(координатной) форме, умножим уравнения (4.12) соответственно на x, y, z исложим.

Тогда получим:(4.14) x  x  y  y  z  z  0Вектор  можно также определить, задав его величину  и три угла ,  ,  , образуемые этим вектором с координатными осями. Поскольку:cos 2   cos 2   cos 2   1 , то лишь два угла являются линейно независимыми.Можно вообще задавать два любых независимых угла, связанных с вектором . Обычно в небесной механике рассматривают угол i между плоскостьюЛапласа и основной координатной плоскостью (например, плоскостьэкватора) и угол  – долготу восходящего узла, отсчитываемую от условногонулевого направления (например, на точку весеннего равноденствия) до линиипересечения плоскости движения КА с плоскостью экватора (Рис.

4.2).ZПлоскостьорбитыVrOYiПлоскостьэкватораВосходящийузелXРис. 4.2.Эта линия пересечения плоскостей является линией узлов. Восходящимузлом называют точку пересечения траектории КА с плоскостью экватора припереходе из южного полушария в северное. В нисходящем узле КА проходитиз северного полушария в южное. С помощью углов i и  запишемсоответствующие вектора  в экваториальной прямоугольной системекоординат, ось OX которой направлена в точку весеннего равноденствия, осьOY лежит в экваториальной (или основной координатной) плоскости, а ось OZдополняет систему координат до правой: x    sin i  sin   y    sin i  cos  (4.15) z    cos iДо сих пор движение КА рассматривалось в инерциальной системекоординат, направление осей которой выбирается произвольно.Z zYOXТраекториядвиженияVnrVVrРис.

4.3.Поскольку плоскость орбиты подвижна, то система координат OXYZможет быть ориентирована так, чтобы плоскость  XYZ  совпала с плоскостьюорбиты (Рис. 4.3.). В этом случае вектор  совпадает с осью OZ . Скалярнаяформа интеграла площадей (4.12) принимает вид:  x y  yx(4.16)Так как в данном случае  x   y  0 ,  z   , z  z  0 .От декартовых координат в (4.16) можно перейти к полярным (Рис 4.3.)путем замены переменных:x  r  cos  y  r  sin  x  r  cos   r  sin   y  r  sin   r  cos   Подставляя эти выражения в левую часть (4.16), получим:x  y  y  x  r  cos   r  sin   r 2  cos 2    r  cos   r  sin   r 2  sin 2    r 2    cos 2   sin 2    r 2 Получим полярную форму интеграла площадей:r2 ddt(4.17)Скорость КА может быть разложена на нормальную Vn и радиальнуюсоставляющие Vr (Рис. 4.3).

Поскольку Vn  r d, то пользуясь выражениемdt(4.17), интеграл площадей можно представить в виде:r Vn  (4.18)Если обозначить угол между векторами r и V через  , то имеем:Vn  V  sin  , поэтому из (4.18) получим следующее выражение интегралаплощадей:r  V  sin   (4.19)Которое также может быть найдено непосредственно из векторногоравенства (4.9) путем приравнивания модулей правой и левой частей.В заключении выведем еще одну форму интеграла площадей и установимего физический смысл.

Соотношение (4.17) допускает простое толкованиеинтеграла площадей.M 2  t1  t r  t1  t M 1  t1 r  t1 OРис. 4.4Пусть КА в момент t1 занимает положение M 1 , а в момент  t1  t  –положение M 2 (Рис. 4.4). За время t радиус-вектор КА “заметает”площадькоторую с точностью до малых 1-го порядка относительно  можно12вычислить по формуле: S   r 2   .Разделив обе части этого равенства на t и переходя к пределу при t  0, получим:dS 1 2 d r dt 2dt(4.20)ГдеdS– секториальная скорость КА относительно притягивающегоdtцентра.С учетом соотношения (4.17) можно записать:dS 1 dt 2(4.21)Отсюда следует что секториальная скорость КА постоянна, а величинаинтеграла площадей численно равна удвоенной секториальной скорости.  2dSdt(4.22)Если за время от t1 до t2  t1  t КА проходит путь от точки M 1 до точки M 2и “заметает” площадь S , то интегрируя уровнение (4.21) в пределахt2Sуказанного промежутка времени:  dS  1     dt , получим соотношение:0S  t2  t1    t222t1(4.23)Которое выражает второй закон Кеплера:Площадь, заметаемая радиус-вектором КА, пропорциональнавремени, в течении которого она заметена, или за равные промежуткивремени радиус-вектор КА заметает равные площади.Таким образом все формы интеграла площадей (4.9), (4.12), (4.15)-(4.19),(4.22) являются выражением второго закона Кеплера и могут использоватьсяпри расчете траекторий КА, как соотношения , связывающие определеннымобразом положение и скорость аппарата в каждый момент времени..Из интеграла площадей, записанного с помощью полярных координат(4.17), следует, что угловая скорость КА увеличивается по мере приближенияк притягивающему центру и уменьшается при удалении от него.

Тоже самоепроисходит с нормальной составляющей скорости Vn , как это следует из (4.18).Направление движения КА, то есть знакd, зависит от знака  .dtДанные закономерности были использованы в системе телевизионнойсвязи “Орбита”, включающей приемно-передающие станции на территориинашей странны и спутники свяи типа “Молгия”.Рис4.5Спутники выводятся на траекторию, у которой самая близкая кповерхности Земли точка находится в южном полушарии на высоте ≈ 500 км,а наиболее удаленная точка находится в северном полушарии на высоте≈40500 км, плоскость орбиты наклонена к экватору под углом ≈63°. Поэтомуспутники медленно перемещаются по небесной сфере в северном полушарии,что увеличивает располагаемое для связи время и одновременно улучшаетусловия работы поворотных антенн наземных станций, отслеживающихдвижение ИСЗ.Интеграл Лапласа.ДлявыводаинтегралаЛапласавоспользуемсявекторнымдифференциальным уравнением движения КА в центральном гравитационномdrd 2rполе (4.5): 2   3  r , и интегралом площадей (4.9):   r  .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций