Некоторые сведения из теории поля. Плоскопараллельные потоки (1244986), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

при   re , где r  R и r  0 :RrRRrr R  e j  e  j   R  cos   j sin   cos   j sin   rRrrRRрассматриваемой функцией z   z  re j R2re j r R r R R    cos   jR    sin   x  jy,R r R r x2y222откуда cos   sin   1 . Другими словами, эти окружности22RR2 r2 rR   R   R r R r преобразуются в эллипсы с фокусами на действительной оси в точках +2R и –2R. Надо1rзаметить, что эти эллипсы будут одинаковыми для   r и   , и отличаются лишьнаправлениями обхода при одинаковом обходе соответствующих окружностей на .

Итак,внешняя для окружности   Re j часть комплексной плоскости  отображаются во всюплоскость z за исключением отрезка действительной оси от -2R и +2R. Во всю плоскость затаким же исключением отображается и «внутренность» окружности, отличаясь лишьнаправлением обхода.13dzR2Производная этой функциив бесконечно удаленной точке равна единице,1d2следовательно, на достаточном удалении от начала координат равномерный прямолинейныйпоток на плоскости  преобразуется в такой же на плоскости z, причем скоростиневозмущенного потока на обеих плоскостях одинаковы u=uz= u.Линии тока, проходящие по окружности радиуса R на плоскости  , преобразуются влинии тока, проходящие по верхней и нижней частям отрезка действительной оси наплоскости z от -2R и +2R, т.е.

- будут обтекать этот отрезок.R2, которая называется функциейЖуковского для построения модели обтекания плоской бесконечно тонкой пластины (далее –просто пластины), применив ее к модели обтекания круглого цилиндра.Скорость обтекания отрезка равномерным прямолинейным потоком с невозмущенной1прискоростьюможно найти из соотношенияu   Ve ju *z (z)  u * ( )f ( )Все это позволяет использовать функцию z   12  f̂ (z)   z  z 2  2R   ,2подставиввнегоu *  u *  u R2j22R2j(так как скорости невозмущенного потока на плоскостях z и 22R2совпадают) и f ( )  1  2 .Если интерес представляет не вся картина обтекания, а лишь изменение скорости вдольлинии тока, проходящей по контуру С, то найти эту скорость можно из тех же соотношенийпри изменении  по окружности радиусом R, т.е. – при   Re j , изменяя  от 0 до 2:R2jVe jju *  Ve  j  Ve j 2  Ve  j  2 j 2e2 Re j Ve  j  Ve jV    je  j  2V sin      je  j  e j   e  j  ;2R 2R  jR2f ( )  1  2  1  e 2 j  e  j e j  e  j  2 je  j sin  ;je  j  1  u * (z)  2V sin      2V sin     , j2R  2 sin  2R 2 je sin  R2 R e j  e  j   2R cos  .При   0 и    , т.е.

– на концах отрезка скорость становится бесконечной, точнее претерпевает бесконечный разрыв при смене знака. Исключение составляют случаи, когда2V sin     0 и 2V sin      0 , что эквивалентно   4RV sin  , и2 R2Rскорость имеет бесконечный разрыв лишь на одном конце – на противоположном тому, гдегде z   14на плоскости  критическая точка оказалась на действительной оси. При   4RV sin  ,т.е., при   0 на действительной оси в точке R (преобразуемой в конец отрезка) оказаласьточка схода потока, при противоположном значении циркуляции в противоположной точке R (преобразуемой в начало отрезка) оказалась точка ветвления.

В первом случае сход потокас отрезка происходит в его конечной точке, а в начальной точке смена направления скоростипроисходит с разрывом через бесконечность. Точка ветвления потока с начальной точкой несовпадает. Во втором - в начальной точке отрезка происходит ветвление потока, а сменанаправления скорости с разрывом через бесконечность происходит в конечной точке, несовпадающей с точкой схода потока.И лишь при   0 скорость везде окажется конечной, если   0 , т.е. - прибесциркуляционном обтекании.

Но в этом случае1 0 u * (z)  2V sin   0  V.2 sin  2R Итак, если критические точки (точки ветвления и схода) обтекания окружности нележат на действительной оси плоскости  (т.е. обтекание окружности - циркуляционное), тона плоскости z точки ветвления и схода в общем случае не совпадут с концами отрезка.Поэтому модель безотрывного обтекания такого отрезка с конечной скоростью можнополучить лишь для потока, параллельного действительной оси, а «прототипом» этой моделиможет быть лишь бесциркуляционное обтекание окружности.Само по себе обтекание бесконечно тонкой пластины равномерным потоком идеальнойжидкостью представляет лишь теоретический, а не практический интерес – в случае, когдаскорость течения параллельна пластине (отрезку), такая пластина не изменяет течения, акогда скорость направлена под углом, то безотрывное обтекание одного или обоих концовотрезка («острых кромок») происходит с бесконечными скоростями.Но функция Жуковского позволяет получить модель обтекания и для практическизначимых случаев.Например, если центр окружности сместить относительно начала координат влево навеличину  (   R ), а радиус увеличить на такую же величину, то функция Жуковскогопреобразует эту окружность в симметричнуюотносительно действительной оси фигуру, передняя(по отношению к потоку) часть которой по формеприближается к дуге эллипса, а задняя образуетсядвумя линиями, сходящимися в точку (-2R, j0) поднулевыми углами.Действительно,передняяповерхностьявляется преобразованием дуги окружности приr=2R+2>R,т.е.вточкепересечениясотрицательной частью действительной осиявляется дугой эллипса.

Задняя же часть являетсяпреобразованием дуги окружности, проходящейчерез точку R, т.е. в точке (-2R, j0) стремится котрезку действительной оси.Такая фигура (иногда ее называют «руль Жуковского») по форме вполне соответствуетреальным симметричным профилям крыла и других элементов ЛА.15yЕсли функцию Жуковского применить кокружности, смещенной на величину h (h<R) вдольмнимой оси, то окружность преобразуется в «дужку»,опирающуюся на действительную ось.

Для этого надоRR2hx применить функцию z    1 , где R1 – координатаR1Oточек пересечения этой окружности с действительнойhhосью R 1  R cos   R cos arcsin  (т.е.   arcsin ).RRЭтафункцияпреобразуетточкипересеченияокружности на плоскости  с действительной осью (т.е.точки при   R 1 и   R 1 ) в точки z  2R 1 и z  2R 1 на действительной оси плоскости z,а саму окружность – в дугу.Точки пересечения окружности с мнимой осью с координатами   j(R  h ) и   j(R  h ) преобразуются в точку на мнимой оси плоскости z с координатой z  j2h .Действительно, при   j(R  h )z  j(R  h ) R 12R 2  2Rh  h 2  R 2  h 22h ( R  h )jj j2h ,j(R  h )RhRhапри   j(R  h )R 12 R 2  2Rh  h 2  R 2  h 22h ( R  h )jj j2h . j(R  h )R hRhНаконец, если эту же функцию Жуковского применить к окружности, смещенной навеличину h (h<R) вдоль мнимой оси и на  (<R) на продолжении радиуса, проведенного източки пересечения этой окружности сдействительной полуосью, то окружностьрадиусом R   с центром в точкеz   j(R  h )   jh  e j(  )  jh  e  jR 12внесимметричныйконтур,представляющий собой сочетание двухпредыдущихслучаев:«рульЖуковского», средней линией которогоявляется «дужка».

Фигура, ограниченнаятаким контуром, может рассматриватьсякакпрофилькрыла,называемыйпрофилем Жуковского.преобразуется функциейz1610,80,60,40,2-2,5-2-1,5-1-0,50-0,2 00,511,522,5-0,4В ряде задач, связанных с обтеканием профилей Жуковского, удобно рассматривать необтекание смещенной окружности радиусом R   на  , а перейти к новой плоскости 1 сначалом координат в центре этой окружности, но так, чтобы точки пересечения окружностис положительной частью действительных осей плоскостей  и 1 совпали. Для этого надосместить начало координат в точку jh  e  j, а затем - сделать поворот вокруг нового jjначала координат на угол  , т.е. 1    jh  ee .Смысл этого перехода в том, чтобы сохранить в наиболее простом виде выражениякомплексного потенциала и скорости. Но при этом для плоскости 1 соответственноизменится вид преобразующей функции - для ее получения в выражение z   R 12надоjjподставить   1e   jh  e  .

Поэтому для плоскости 1 функция ЖуковскогоR 2 cos 2 R 2 cos 2 . Очевидно, что 1e  j  jh  e  j 1e  j  jh  e  jсоответствующим выбором  и  (или h  R sin  ) из этого выражения можно получитьфункции Жуковского для отрезка, «дужки» и руля Жуковского.получитвидzГлавным геометрическим параметром профиля крыла считается длина хорды b, ахордой называется прямая, соединяющая две наиболее удаленные точки передней и заднейкромок профиля.

Два других основных параметра профиля - это вогнутость f, т.е.максимальное расстояние от хорды до средней линии профиля, и толщина c, т.е.наибольшее расстояние между верхней и нижней поверхностью, измеряемоеперпендикулярно хорде. Обычно используют относительные (или приведенные) значенияэтих параметров f  f b и c  c b .Для построения модели обтекания профиля необходима связь между этимипараметрами профиля и параметрами R, h,  той окружности, которая является прототипомэтого профиля на плоскости  . Для профилей Жуковского обычно пользуютсяприближенными соотношениями, считая хордой часть действительной оси на z междуточками ее пересечения с профилем, вогнутость определяют как полусумму ординатпрофиля в точках его пересечения с мнимой осью, а относительную толщину принимают1    2 , где    , априблизительно равной  .

При этих условиях длина хорды b  4R cos R1  22h tgотносительная вогнутость f .b217При получении этих соотношений учтено, что функция Жуковского преобразует точки пересеченияотображаемой окружности на плоскости  с осями координат этой плоскости в соответствующие точкипересечения профиля (контура С) с осями координат плоскости z. Действительно, еслиz  x  j0 , тоR2R2 R 12R2 x  1 , а если   0  jy , то z  jy  1  j y  1  .jyy xПри этом для любых двух точекz B  z H  jy B zBиzH(«верхняя» и «нижняя») на мнимой осиR 12R2R2R2 R2  jy H  1  j y B  1  y H  1   jy B  y H 1  1 .jy Bjy HyByH  yB yH Поэтому из геометрических построений находятся координаты точек пересечения окружности, jимеющей радиус R   и центр в   jh  e , с действительной и мнимой осями плоскости  ,производится преобразование этих точек функцией Жуковского в точки пересечения профиля сдействительной и мнимой осями плоскости z , по которым определяются b и f .

Вогнутость f можнонайти и без преобразования точек пересечения с мнимой осью. Если в вышеприведенной формуле y B и y Hявляютсяfточкамипересеченияобтекаемойокружностисмнимойосьюплоскости,то11R2 z B  z H  y B  y H 1  1 .22 yB yH Точка  R 1 пересечения окружности на плоскости  с действительной осью преобразуется в точку21R 2R 1 , а вторая точка пересечения этой окружности с действительной осьюR1z  R1   R   cos    cos   (R  2) cos  - в точку cos z  (R  2) cos  R 2 cos 2  (R  2) cos  ( R  2 ) 2  R 2на действительной оси плоскости z.( R  2)Длина хорды профиляb  cos  cos ( R  2 ) 2  R 2( R  2) 2  R 2  2R ( R  2) 2R cos   cos ( R  2 )( R  2)4 R 2  4 R  4  2  4 R4(R  ) 2(1   ) 2(1   ) 2 cos  4R cos  4R 1.( R  2 )( R  2)(1  2  )(1  2  )Точками пересечения обтекаемой окружности с мнимой осью плоскости  являются точки  j((R  ) cos   h   sin  )  j(R  )(sin   cos ) ,игде  j((R  ) cos   h   sin  )  j(R  )(sin   cos ) , 2 cos 2   cos  2.  arcsin , или cos   1 ( R  ) 2 R 18Полусуммаординатэтихточек,очевидно,равнаR   sin  ,cos    R (R  2) cos 2  ,2 ( R  ) R   2 sin 2   cos 2    R   2  sin 2   1  2апроизведение2откуда2R 2 cos 2 R  2R     R   sin  1  f  R   sin  1 sin  .2 (R  2)  R  2  R (R  2) cos  f tg.Относительная вогнутость профиля f  b219.

Характеристики

Список файлов лекций