Некоторые сведения из теории поля. Плоскопараллельные потоки (1244986), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Поэтому внешнюю часть рассматриваемого поля(диполь плюс прямолинейное течение) можно использовать в качестве модели обтеканиятвердого круглого радиусом R цилиндрического тела прямолинейным потоком, имеющимскорость V в той части, которая не участвует во взаимодействии с этим твердым телом (невозмущена этим взаимодействием). Такую скорость называют скоростью невозмущенногопотока, а рассмотренный вид движения - обтеканием круглого цилиндра, или обтеканиемокружности.

Жидкость при этом рассматривается как идеальная и несжимаемая. Так какuV при z, то для скорости невозмущенного потока часто используют обозначение uили V.MR2  можно найти V z По комплексному потенциалу w (z )  Vz 2zz распределение скоростей в интересующих областях течения. Например, на поверхностицилиндра, т.е., при z  Re j сопряженная скоростьсопряженная скоростьu*  w (z ) 8u*  w (z )  R2 d R2   V1  2   V (1  e  j2  )  2 jV sin e  j ,V z dz z z откуда модуль скорости на поверхности цилиндра u  2V sin  , а направление вектораскорости – по касательной к поверхности цилиндра. Как и следовало ожидать, при   0 ,т.е. в точках ветвления и схода скорость равна нулю, а максимального значения достигаетпри   90 , т.е.

в местах наибольшего «сжатия» потока.Если скорость невозмущенного потока направлена не вдоль оси х, а под углом  кней, т.е. u   Ve j , то для получения поля обтекания цилиндра ось диполя надо развернутьподтемжеуглом.В2этомслучаеu *  Ve  jи2MRR,или Ve  j z  u * z  u  j j2 zeVzezR2 R2  , т.е. соответствует рассмотренному обтеканию вw (z )  V ze  j   j   V  ze  w (z)  Ve  j z комплексной плоскости   ze  j , повернутой относительно плоскости z на угол  (вположительном направлении).Если ось цилиндра проходит не через начало координат плоскости потока, а в точкеz0, то центр диполя надо поместить в эту точку. В этом случае, вспомнив, что комплексныйпотенциал определен с точностью до константы, и выбрав соответствующую константу,MR2 ,получимw (z )  Vz  const  V z  z 0  т.е.соответствует2 ( z  z 0 )z  z 0 рассмотренному обтеканию в комплексной плоскости   z  z 0 , сдвинутой относительноплоскости z на величину z0 (т.е.

z    z 0 ).R2 , что соответствуетЕсли и то и другое, то w (z )  V z  z 0 e  j  j ( z  z 0 )e R2 , аобтеканию в плоскости   ( z  z 0 )e  j с комплексным потенциалом w ( )  V   для перехода к исходной плоскости необходима замена переменной z  z 0  e j .Если к рассмотренному полю (при z0=0 и =0) добавить поле вихря с циркуляцией , совместив вихревую точку с центром диполя, то комплексный потенциал суммарногополя получит видMjR 2  j  ln z .w (z )  Vz  ln z  V z 2z 2z  29Как и в предыдущем случае, окружность радиусом R является частью линии тока, вчем можно непосредственно убедиться подстановкой уравнения этой окружности z  Re j ввыражение для w(z)  jR 2  jj  ln Re j  V Re j  Re  j  ln Re j  2VR cos   ln Rw (z )  V Re j j 22 2 Re  2ln R , которая2при этом оказывается константой.

Еще проще в этом убедиться, если обратить внимание, чтоэта окружность является частью линии тока выше рассмотренного поля, а также – линиейтока поля вихря. Поэтому она окажется частью линии тока и для рассматриваемого поля,являющегося суммой этих полей.Исходя из этого, часть рассматриваемого поля вне окружности радиусом R можноиспользовать в качестве модели обтекания твердого круглого цилиндрического тела,вращающегося с угловой скоростью  , прямолинейным потоком, имеющим2R 2скорость невозмущенного движения V.

Такой вид движения называют обтеканиемвращающегося цилиндра (окружности), или обтеканием цилиндра (окружности) сциркуляцией, или циркуляционным обтеканием цилиндра (окружности). Рассмотренноевыше обтекание при Г=0 называют также бесциркуляционным.Как и в предыдущем случае, такое поле имеет критические точки, в которыхскорость становится нулевой, и которые являются точками ветвления и схода линий тока,однако, их положение зависит от соотношения скорости V, радиуса R и циркуляции  (илиугловой скорости  ). Найти такие точки можно, приравняв нулю сопряженную скорость R 2  jd  R 2  ju*  w (z )   V z ln z   V1  2  0,dz  z  2z  2zс последующим выделением мнимой части, т.е.

функции тока  ( x , y)  откудаz2 jz  R2  0 и2Vz кр j2. При R выражение под R2 224V16 V4V22 R , т.е. критические точки16 2 V 2 16 2 V 2находятся на окружности, сместившись на величинувыше или ниже действительной4Vоси в зависимости от знака циркуляции (направления вращения). При положительнойциркуляции – смещение вверх. Чем больше циркуляция (скорость вращения  ), тем сильнеесмещение и при R критические точки совпадают, оказываясь в верхней или нижней4Vточке окружности.

При более высоких (по модулю) значениях циркуляции, т.е., когда, обе критические точки расходятся вдоль мнимой оси, причем, одна оказываетсяR4Vвне окружности радиуса R, а другая – внутри этой окружности (так как произведение двухкорней равно -R2). Таким образом, часть линий тока вокруг окружности оказываютсязамкнутыми.корнем неотрицательно, поэтому z кр  R 2 10Сопряженная скорость на поверхности цилиндра, т.е., при z  Re jR 2 jj  j  V 1  e  j2  u*  w (z)  V1 e  je  j  2V sin  ,jj 2 2 R2R Re 2  Reоткуда модуль скорости на поверхности цилиндра u  2V sin  .2RЕсли окружность не в начале координат, а в точке z=z0 , а скорость невозмущенногопотока - под углом  к оси х, то для получения модели обтекания нужно поместить диполь ивихрь в центр окружности, причем ось диполя надо развернуть по направлению скорости.Комплексныйпотенциалнаплоскостиzприэтом2VRjw (z)  Ve  j z  z 0  ln(z  z 0 )  j( z  z 0 )e2 u * z  z 0   u R2jln(z  z 0 ),(z  z 0 ) 2или w (z)  Ve  j z  z 0  VR 2jln(z  z 0 )  const  j( z  z 0 )e2 jR2j j V z  z 0 e ln(z  z 0 ) j  j ( z  z 0 )e  2 2 jR2 V z  z 0 e  j ln (z  z 0 )e  j , j (zz)e20или на плоскости   (z  z 0 )e  jR 2  jw ( )  V  ln  .  2В этом случае сопряженная скорость u *  w (z)  u *  u R2j, или на2z  z 0  2z  z 0  R 2  jjплоскости  u*  w ( )  V1  2  , а на поверхности цилиндра, т.е., при   Re   2 j(    ) j (илипри z  z 0  Re  ) равна u * ( )  w ( )  je   2V sin    , где   2R обозначение аргумента комплексных чисел на плоскости  .Обтекание прямолинейным потоком цилиндрического тела произвольногосечения.Результаты, полученные для круглого цилиндра (окружности), можно использоватьдля определения комплексного потенциала, а следовательно – и скорости обтекания наповерхности цилиндрического тела почти любой произвольной формы (произвольногоконтура С), если найти конформное отображение (преобразование), производимоефункцией z = f(), преобразующее окружность радиуса R на комплексной плоскости , взамкнутый контур С на комплексной плоскости z, причем при  f() также должно11неограниченно возрастать.

Говоря более точно, конформное преобразование должноотображать всю внешнюю по отношению к окружности часть комплексной плоскости ,включая бесконечно удаленные точки, на всю внешнюю же, но по отношению к контуру Счасть комплексной плоскости z.При таком преобразовании линии тока, проходящие по окружности, перейдут влинии тока, проходящие по контуру С, а линии тока, проходящие вне круга - в линии токавне контура. Т.е., поток, обтекавший окружность на плоскости , будет обтекать контур C наплоскости z, не отрываясь от этого контура и не пересекая его.При этом поток, получившийся в результате конформного преобразования z = f()будет везде вне контура C потенциальным, т.е.

будет существовать потенциал  z ( z ) ифункция тока  z ( z ) , причем на самом контуре  z ( z )  const , а функцияw z ( z )  w z (f (  ))  w  (  ) будет являться комплексным потенциалом этого потока, гдеw  (  ) - комплексный потенциал обтекания окружности на плоскости . Это следует изтого, что функция w z ( z ) , являясь результатом конформного (т.е. - осуществляемогоаналитической функцией) преобразования над комплексным потенциалом (по определениюявляющимся аналитической функцией), сама будет аналитической функцией.Поэтому, учитывая свойств комплексного потенциала, для любой кривой Lz наплоскости z вне контура С, являющейся результатом преобразования кривой L наплоскости , сохраняются расход и циркуляция, т.е. QLz= QL, ГLz= ГL.Сопряженные скорости потоков на плоскостях z и  связаны соотношениемdw z ( z ) dw z (f (  )) d dw  (  ) d1u*z ( z ) при   f̂ (z ) , где f̂ ( z)  u * (  )dzddzd dzf (  )функция, обратная к f ( z) .Поток в бесконечно удаленных от контура C точках останется прямолинейным (таккак конформное преобразование сохраняет углы), но сама скорость u  невозмущенногопотока на плоскости  в общем случае отличается от аналогичной скорости u z на** 1 **.

Соответственно, u   u z f ()    . f ( )    плоскости z: u z  u  Таким образом, если функция осуществляет конформное отображение наружностикруга на наружность контура, то поле, получившееся из поля обтекания окружности врезультате такого отображения, может служить моделью обтекания этого контурапрямолинейным потоком: линии тока безотрывно обтекают контур и при удалении отконтура поток стремится к прямолинейному.Если преобразующая функция f() известна, то можно найти комплексныйпотенциал искомого обтеканияR 2 jR2jw z (z)  w  ( ) z   u *   u ln   u * f̂ (z)  u ln f̂ (z), 2f̂ (z) 2  z12где f̂ ( z) - функция, обратная к f ( z) , т.е.   f̂ ( z) , а по нему – распределение скорости приобтекании контура.Скорость обтекания можно определить и по другому, а именно – по известной скоростиобтекания окружности на , воспользовавшись соотношением между скоростями при1конформном преобразовании u *z (z)  u * ( )при   f̂ ( z) .f ( )О преобразующей функции z = f().

Алгоритма поиска такой функции для профиляR2отображаетокружность радиуса R с центром в начале координат на плоскости  в отрезокдействительной оси на плоскости z от -2R до 2R.произвольной формы не существует. Но известно, что функция z   Действительно,z  Re j R2jнаокружности,т.е.,при  Re j , Re j  Re  j  2R cos  , т.е. при обходе по окружности мнимая частьReостается равной нулю, а действительная - меняется от 2R при   0 до -2R при    иобратно до 2R при   2 .Точки пересечения окружности с действительной осью преобразуются в концы отрезка.Внешняя по отношению к окружности часть плоскости  преобразуется во всюплоскость z за исключением указанного отрезка.В этом легко убедиться, если найти преобразование произвольной окружности на R2j, т.е.

Характеристики

Список файлов лекций