Некоторые сведения из теории поля. Плоскопараллельные потоки (1244986), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Другие названия - однородный поток, поступательный поток.Линии тока в этом случае - параллельные прямые. Если система координат выбрана так, чтовекторскорости илиниитока составляютс осьюХугол,тоu  u x  ju y  u cos   j u sin   u e j . Комплексный потенциал можно определить какинтеграл от сопряженной скорости u*  u x  ju y  u e j, а также найти функцию тока ипотенциал:4w (z)   u e  j dz  u e  j z  C z  u (cos   j sin )z  C z  u ( x cos   y sin   j( x sin   y cos ))  C1  jC 2  u ( x cos   y sin )  C1  j( u ( x sin   y cos )  C 2 )  (z)  j(z),где Сz - комплексная константа, а С1 и С2 - действительные константы.

Эквипотенциальныелинии - прямые, перпендикулярные прямым линиям тока.Источником (стоком) называется особая точка поля, из которой радиальновыходят (в которую радиально входят) все линии тока в окрестности этой точки. Полемисточника (стока) называют поле в окрестности этой особой точки, при этом модуливекторов скорости на одинаковом расстоянии от источника (стока) принимаютсяодинаковыми. Определяющей характеристикой источника (стока) считается расход Q череззамкнутую линию в этом поле, окружающую источник, который называется такжеинтенсивностью источника. Так как положительным направлением нормали длязамкнутого контура считается наружное, то для источника Q>0, а для стока Q<0.

Еслиначало системы координат поместить в точку источника (стока), то модуль вектора скоростиyв точке с координатой z  x  jy  r  e j , где r  z  x 2  y 2 - модуль, а   arg z  arctg xQаргумент комплексной переменной z, будет, очевидно, равен u , а направление2rQ jarg u   . Т.е. при r0 скорость можно записать в виде u  u e j arg u e . Комплексный2rQ  jпотенциал можно определить как интеграл от сопряженной скорости u*  u e  j e ,а2 rтакже найти функцию тока и потенциал (для упрощения записи константы опущены):Q  jQQQw (z)   u e  jdz  e d(re j ) (ln r  j) (ln z  j arg z) ln z ,2r222QQQQln r ln z ,arg z .( z ) (z) 2222Комплексный потенциал определен везде за исключением точки z=0.

Как иQследовало ожидать, линиями тока  (z)   const оказались исходящие из точки2(входящие вточку)радиальные прямые, а эквипотенциальными линиямиQln r  const - концентрические окружности с центром в рассматриваемой точке.( z ) 2При этом сам источник (сток) является изолированной особой точкой, в которой u   , ааргумент не определен. Легко убедится в том, что если источник (сток) расположен не вначале координат, а в точке z = z0, то комплексный потенциал будет иметь видQw (z) ln(z  z0 ) .2Для определения диполя на отрицательной полуоси OX на расстоянии a от началакоординат помещают источник интенсивностью Q, а на положительной полуоси на таком жерасстоянии – сток той же интенсивности. Величина M = 2aQ, называется моментом диполя.Затем сдвигают источник и сток симметрично к началу координат и одновременно5увеличивают интенсивность Q так, чтобы момент оставался постоянным.

Предельнаяситуация, когда источник и сток оказываются в одной точке, а интенсивность Q   ,причемlim (2aQ)  M остается постоянным, называется диполем. Предельная точкаa  0, Q  называется точкой диполя. Линия от источника к стоку называется осью диполя, котораясчитается положительно направленной при рассмотренном взаимном расположенииисточника и стока и отрицательно – при противоположном. Аналогичным образомопределяется и знак момента диполя.Комплексный потенциал диполя можно определить как предел комплексногопотенциала суммы источника и стока (константы опущены)Qw (z)  lim ( (ln(z  a )  ln(z  a ))) a 0 ,Q 2 11M d (ln z)Mlim (2aQ) lim( (ln(z  a )  ln(z  a ))) ,a0,Qa022a2  dz2zтак как11ln(z  a )ln(z  a )  d (ln z) 1lim( (ln(z  a )  ln(z  a )))   lim lim .a  0 2a2  a 0aa dzza 0Выделив действительную и мнимую часть комплексного потенциала, получаютMxMy,, а приравняв ихпотенциал и функцию тока2222 x  y2 x  y 2константам – уравнения линий тока и эквипотенциальных поверхностей, которые после22C   C 2очевидных преобразований можно привести к видуx yи2   2 22C C MM x     y 2     соответственно, где константы C   , C .2 22 2 Из последних выражений видно, что линии тока диполя являются семействомокружностей с центрами на мнимой оси, для которых действительная ось является общейкасательной в точке начала координат, а линии равного потенциала – семействомокружностей с центрами на действительной оси, для которых общей касательной являетсямнимая ось в точке начала координат.Если ось диполя не совпадает с действительной осью, а, проходя через началокоординат, повернута относительно действительной оси на угол , т.е.

источник и стокjjнаходятся в точках  ae и ae соответственно, тоQw (z)  lim ( (ln(z  ae j )  ln(z  ae j ))) a 0 ,Q  2 je1Me j d(ln z)jjlim (2aQ) lim((ln(zae)ln(zae)))a 0 2ae j2 a 0,Q2dzMe jM.2z2 ze  jЕсли аналогичные действия провести относительно произвольной конечной точкиz0, т.е. поместить диполь в эту точку, то комплексный потенциал, очевидно, приобретет вид6MMили w (z ) .

В точке z0 модуль скорости стремится к2 ( z  z 0 )2  ( z  z 0 ) e  jбесконечности, т.е. диполь является особой точкой.Изолированным(элементарным)вихрем,иливихревойточкойвплоскопараллельном потоке называется точка пересечения изолированной вихревой нити(т.е. - изолированного вихря нулевой толщины и бесконечной угловой скорости) срассматриваемой плоскостью OXY. Определяющей характеристикой поля вихревой точки(для плоскопараллельных течений это поле обычно называют полем вихря, или простовихрем) является интенсивность вихря, которая в данном случае (вихрь точечный) равнациркуляции Г.

Если вихревая точка находится в начале координат, то вектор скорости вj  j j(   / 2)точке z  x  jy  r  e j при r0 задается выражением u  u e j arg u e ,e2r2rт.е. вектор скорости направлен по касательной к окружности радиуса r, центром которойявляется вихревая точка, а модуль обратно пропорционален расстоянию до вихревой точки.Сама вихревая точка, в которой величина скорости неограниченно возрастает, а направление- не определено, является особой точкой поля.Комплексный потенциал можно определить как интеграл от сопряженной скоростиj   ju* e , а также найти функцию тока и потенциал (для упрощения записи константы2rопущены):j  j j   j j j jln z ,w (z)  e dz  e d(re j ) (ln r  j) (ln z  j arg z) 2r2r222arg z ,( z )  (z)   ln r   ln z .2222Комплексный потенциал определен везде за исключением точки z=0.

Такимобразом, поле вихря везде, кроме точки z=0 является потенциальным, что и объясняет ещеодно название такого поля – потенциальное поле с циркуляцией. Как и следовало ожидать,линиями тока  (z)   ln r  const оказались концентрические окружности с центром в2вихревой точке, а эквипотенциальными линиями (z )   const - исходящие из этой2точки радиальные прямые. Для любого R > 0 поле вне окружности радиуса R, т.е. при r > R,можно рассматривать как модель движения, создаваемого в неподвижной жидкостивращением круглого цилиндрического твердого тела радиусом R с угловой скоростью.2R 2Легко убедится в том, что если вихрь расположен не в начале координат, а в точке z j= z0, то комплексный потенциал будет иметь вид w (z ) ln(z  z 0 ) .2w (z) 7Обтекание круглого цилиндра прямолинейным потоком.Используя элементарные поля можно определять более сложные.

Например,комплексный потенциал поля, являющегося суммой прямолинейного потока со скоростью V(т.е. u=V), направленным параллельно оси Х (т.е. =0), и диполя моментом М(расположенного в начале координат с осью вдоль оси X), имеет видMMxMy,w (z )  Vz  Vx  j Vy 2222 2z2 x  y2 x  y d M M, Vz Vdz 2z 2z 2M y  const .а уравнение линий тока  ( x, y)   V 2 x 2  y 2 При z uV , т.е. на достаточном удалении от начала координат поток остаетсяравномерным и прямолинейным.MПри  ( x , y)  0 уравнение распадается на y=0 и x 2  y 2 , т.е. на уравнение2VM.

Другими словами,оси X и окружности с центром в начале координат и радиусом R 2Vлиния тока при  ( x , y)  0 проходит вдоль действительной оси, раздваивается при z  R ,обходя начало комплексной плоскости по верхней и нижней полуокружностям радиусом R,сходится в точке z  R , и идет дальше вдоль действительной оси. Точки z  R и z  Rявляются особыми точками и называются точкой ветвления и точкой схода соответственно.R Уравнение остальных линий тока 1 y  const , т.е. часть линий тока находится x 2  y2 внутри, а часть вне указанной окружности.

Другими словами, рассматриваемое поле можноразделить на две «несмешивающиеся» части, одна из которых внутри, а другая внеокружности радиуса R. Если по этой окружности поставить бесконечно тонкую оболочку, тополе осталось бы неизменным, а если внутреннюю часть поля заменить на твердый круг(вставить круглый бесконечный цилиндр радиуса R, ось которого параллельна оси Z), то неизменилась бы наружная часть поля.

Характеристики

Список файлов лекций