Кинематика. К описанию движения жидкостей (1244985)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

К ОПИСАНИЮ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙСкорость и ускорениеПоложение частицы жидкой среды в произвольный момент времени tописывается координатами x=x(t), y=y(t), z=z(t) в прямоугольной системекоординат или радиус-вектором r =(x, y, z)T ( r  r(t) ).Основой описания движения жидкой среды методом Эйлера являетсявекторное поле скоростей u = u (x,y,z,t), где u =(ux, uy, uz)T – скоростьчастицы, находящейся в момент времени t в точке с координатами x, y, z.Скорость связана с изменением положения частицы d r обычнымсоотношением u =d r /dt=(dx/dt, dy/dt, dz/dt)Т и, соответственно ux=dx/dt,uy=dy/dt, uz= dz/dt.Внимание! Это соотношение справедливо лишь в указанном случае,когда d r описывает перемещение частицы из рассматриваемой точки, т.е.

–является дифференциалом ее траектории. Из рассматриваемой точки (x, y, z),можно дать разные приращения d r =(dx, dy, dz)T, но лишь одно из них равноu dt=(uxdt, uydt, uzdt)T, а именно – то, которое удовлетворяет уравнениюкасательной u  dr =0, или dx/ux=dy/uy=dz/uz.Огибающая скоростей в каждой точке (для рассматриваемого моментавремени), или линия, касательная к которой в каждой точке совпадает смгновенным направлением скорости в этой точке, называется линией тока.Таким образом уравнение u  dr =0, или эквивалентные ему соотношенияdx/ux=dy/uy=dz/uz являются уравнениями линии тока.Ускорение частицы a =(ax, ay, az)T в произвольной точке в моментвремени t также является полем a = a (x,y,z,t).

Ускорение в каждой точкепредставляет собой полную производную скорости в этой точке, т.е.u u du x u du y u du za, где dx, dy, dz – не произвольныеt x dt y dt z dtприращения, а те, которые определяются движения частицы израссматриваемой точки. Следовательно,u uuuaux  uy  uz .t xyzПервое слагаемое называется локальным ускорением. Онохарактеризует изменение местной скорости в той же точке со временем.Остальные называются конвективными (конвекционными) и показываютизменение скорости в пространстве.

Проекции ускорения по осям имеют видuuuuax  x  x ux  x u y  x uz ;txyzuuuua y  y  y ux  y u y  y uz ;txyzuuuuaz  z  z ux  z uy  z uz .txyz1Входящие в эти выражения производные проекций скорости поизменениям координат принято делить на прямые (продольные)u y u x u x u z u z u yu x u y u z,,и косые (поперечные),,,,,. Такие жеx y zx y z x y zназвания используют для соответствующих составляющих проекцийuu xuконвективного ускорения по координатным осям:ux , y u y , z uz xyzu yuuuuuпрямые (продольные) иu x , x u y , x u z , z u x , z u y , y u z - косыеxyzxyz(поперечные) составляющие конвективного ускорения.Вобщемслучаеускорениеможнозаписатьввиде2u u uuuua ux  uy  uz  grad   u  rotu .t xyzt 2 Чтобы убедится в этом, достаточно рассмотреть одну из проекцийускорения и выполнить очевидные преобразования:uuuuax  x  x ux  x uy  x uz dtxyzu y u uu x u xuuuu y  y u y   x  z u z  z u z u x   x x xx dtxx z y2u x  u 2x    u y    u 2z    rotu z u y  rotu y u z dtx  2  x  2  x  2   222u z  u x uyu x  u x  u y  u z   u 2  det  u  rotu x .roturotudtx 2dtx2yz u yu y u xuuuЗдесь rotu x  z , rotu y  x  z , rotu z yzxyzxпроекции ротора.Проделав это с остальными проекциями, можно получить указанноевыше выражение ускорения.      Связь между параметрами и видом движения жидкостейНаличие или отсутствие тех или иных составляющих скорости, а такжеих производных, или особые соотношения между ними определяют вид илиособые случаи движения.Движение называется стационарным (установившимся), еслиu 0 , т.е.

отсутствует локальное ускорение. Если локальное ускорение неtравнонулю,тодвижениеназываютнестационарным,илинеустановившимся.2Далеедляупрощениядвижениебудетпредполагатьсяустановившимся.При выявления особых видов или составляющих движения удобнорассмотреть для произвольной системы координат элементарный объем ввиде прямоугольного тетраэдра, вершина О которого находится в началекоординат, а три ребра - вдоль осей этой системы (рис. 1а). Длины этих ребер- dx, dy, dz соответственно.yyxxzzРисунок 1аРисунок 1бyxzРисунок 1вЕсли отсутствуют конвективные ускорения, т.е. скорости во всехточках выделенного объема u одинаковы, то выделенный объем будетдвигаться как твердое тело, причем - поступательно, и через интервалвремени dt займет положение, показанное на рис.

1в пунктиром. Каждаяточка переместиться на udt .3Если нулю равны только косые составляющие ускорения, а прямые имеют ненулевые значения, то за dt точки выделенного объема переместятсяна различные расстояния, в частности, вершины тетраэдра переместятся наu yuudt ,udt   dx  x dxdt   e x ,udt   dy dydt   e y ,xyuudt   dz  z dzdt   ez соответственно, где e x , e y , ez - орты осей системыzкоординат. Это положение выделенного объема показано на рис.1бсплошными линиями и на рис.1в - пунктиром. Очевидно, что при этомперемещении выделенный объем деформировался.

Например, расстояниевдоль осей между вершинами тетраэдра изменится от dx, dy, dz доu yuudx  x dxdt , dy dydt , dz  z dzdt соответственно. Величинаyxzu yu xдеформации вдоль осей (линейной деформации) равнаdxdt ,dydt ,yxu yu zu xu zdzdt , относительной деформации dt ,dt ,dt , аyzxzотносительной деформации в единицу времени (скорости деформации) u x u y u z,,.yxzОчевидно, что для твердого тела такое движение невозможно. Тампроекции скорости на линию, соединяющую каждую пару точек, должнысовпадать.Если косые производные также не равны нулю, то положение вершинтетраэдрабудетопределятьсясоотношениямиudt ,u y u z u y u z  u udxdt  e x ,dydt  e yudt   x udt   x xx yy  x yu y u z  udzdt  ez , т.е.

ребра тетраэдра не только изменятudt   x zzzдлину, но и повернутся на величину, определяемую косыми производными.Для твердого тела косые производные должны быть связаныu yu yuu zu xuсоотношениями  x  z , x ,  z   y , такxyyzzxкак все точки недеформируемого тела должны иметь одинаковую угловуюскорость   ( x ,  y , z ) T .Таким образом, наличие ненулевых прямых (продольных)составляющих ускорения, а также нарушение соотношений для косых(поперечных) составляющих приводит к деформации рассматриваемогоэлементарного объема, величина которой может быть определена по этим4составляющим. Для простоты рассматривается случай плоского движения,u x u y u z 0 (заметим, что в этом случает.е.

когда uz=0,zzzэлементарный объем удобнее взять в виде призмы единичной высоты соснованием ОАВ (в этом случае очевиден переход от плоскости к объему), ане тетраэдра). Обобщение на пространственный случай, как увидим извывода - также очевидно.При нулевых косых производных грань (треугольник) ОАВ (см. рис. 2,где ОА=dx, ОВ=dy) преобразуется в треугольник О'А'В'.uy u yydyuxuyuyuxux u xdxxРисунок 2Величина объемной деформации dw, т.е. изменения объема, с учетомединичной длины вдоль оси z, равнаu yu dydt  dx  x dxdt    dy xyOA  OB OA  OB    dx  dy dw 2222uu u y1  u y dxdydt  x dxdydt  xdxdydt 2 ,2  yxx yили,оставляяслагаемыеодногопорядкамалости 1  u y u x u1  u ydxdydt .dw  dxdydt  x dxdydt   Относительная2  yx2yxобъемная деформация равна u y u x dwdt , а относительная dxdy 2  yx 5объемная деформация в единицу времени, или скорость объемнойu x u yдеформации равна.xyЕсли движение не плоское, то, проделав аналогичные выкладки дляэлементарногообъемав виде тетраэдраили прямоугольногопараллелепипеда, можно получить, что относительная объемнаядеформация в единицу времени (скорость объемной деформации) в общемслучае равнаu x u y u z divu .xyzПри ненулевых поперечных ускорениях ребра рассматриваемогообъема перестанут быть параллельными координатным осям.

Например, приплоском движении ребра ОА и ОВ (см. рис. 3) повернутся на углыu ydxdtu yu yAAxd  arctgdt  arctg arctgdtи0Adxxxu xdydtuuBByd  arctg arctg arctg x dt   x dt соответственно, т.е.0Bdyyyгрань (треугольник) ОАВ трансформируется в треугольник ОА''В''. Длянаглядности (но - без потери общности, так как это не меняет выражений дляуглов d и d) здесь не показаны рассмотренные выше поступательноедвижение и объемная деформация. Знак минус в выражении для dобъясняется тем, что положительному приращению в направлении оси хсоответствует отрицательное приращение угла .yD’’u xdyyB’’DBddyC’’CdA’’u yd0xdxxAdxРисунок 36Смещения точки А" по х и В" по у являются величинами большегопорядка малости, из-за чего на рисунке не показаны.Очевидно, что такая трансформация соответствует и повороту идеформации рассматриваемого объема (треугольника).

Если этоттреугольник представить множеством отрезков, начинающихся в вершине Ои заканчивающихся на противолежащей к этой вершине стороне, то приотсутствии деформации все эти отрезки повернулись бы на одинаковый угол(как в твердом теле), т.е. условие отсутствия деформации d  d , илиu yu yuudt   x dt , или  x  z . При одновременной с поворотомxyxyдеформации углы поворота этих отрезков становятся разными d  d . Вэтом случае в качестве угла поворота естественно принять средний уголd  dповорота этих отрезков, т.е. d . Очевидно, что это тот угол, на2который повернется биссектриса ОС треугольника ОАВ при еготрансформации в треугольник ОА''В'' (биссектриса примет при этомположение ОС'').Отсутствию вращения при наличии деформации соответствует нулевоезначение этого угла d  0 , или d  d (т.е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций