Решение задач на устойчивость (1238796)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА УСТОЙЧИВОСТЬВ своем знаменитом труде «Общая задача об устойчивости движения» [1]А.М.Ляпунов получил ряд основополагающих результатов и разработалэффективные методы исследования устойчивости решенийдифференциальных уравнений. Один из них сейчас называют первымметодом Ляпунова, его суть – получение вывода об устойчивости положенияравновесия по первым (линейным) членам разложения правой части встепенной ряд. Для доказательства своих теорем Ляпунов использовал методпоследовательных приближений, представляя решения системы в виде рядов.Позднее были предложены и другие способы доказательства.

Второй, илипрямой метод Ляпунова используется в тех особых случаях, когда первоеприближение не позволяет сделать вывод об устойчивости полной системы..1. Устойчивость линейных систем. Рассмотрим линейную системуобыкновенных дифференциальных уравнений первого порядкаx  Ax, x n(1)Как известно, частные решения системы (1) можно получить алгебраически,решая характеристическое уравнениеdet A   En  0(2)( En - единичная матрица соответствующего порядка) и полагаяxk (t )  exp(k t )(3)причем мнимая экспонента раскладывается по формуле Эйлераexp(a  bi )  exp(a)(cos b  i sin b)Общее решение системы (1) – это сумма квазимногочленов, т.е.произведений частных решений (3) на многочлен, степень которого наединицу меньше кратности соответствующего корня:x(t )   Pk (t ) exp(k t )(4)Определение.

Положение равновесия x  0 системыx  f ( x ), x n,f (0)  0(5)называется устойчивым (по Ляпунову), если всякое решение, стартующее издостаточно малой его окрестности U  , не покидает произвольно заданнойокрестности U  , т.е.  0,   0 : x0  x(t0 ) U , t  t0 , x(t ) UПонятие асимптотической устойчивости объединяет свойства устойчивости ипритяжения. Последнее означает, чтоx0  x(t0 ) U : lim x(t )  0t В случае линейной системы (1) притяжение достаточно дляасимптотической устойчивости.

Справедливо следующее утверждение.Предложение 1. 1) Если все корни уравнения (2) лежат в левойполуплоскости комплексной плоскости C (т.е. это – отрицательныедействительные числа или мнимые числа с отрицательной действительнойчастью), то положение равновесия системы (1) асимптотически устойчиво. 2)Если хотя бы один из этих корней лежит в правой полуплоскости, то ононеустойчиво.Доказательство.

Для функции (3) утверждение следует из предельныхсвойств экспоненты. Для квазимногочлена (4) аналогичный вывод можнополучить, применив правило Лопиталя-Бернулли.Замечание. Для выяснения расположения корней алгебраическогоуравнения с действительными коэффициентами обычно используюткритерий Рауса-Гурвица. При решении прикладных задач высокойразмерности можно также решать характеристическое уравнение припомощи математических компьютерных пакетов.Необходимое условие устойчивости. Если все корни алгебраическогоуравнения с действительными коэффициентами лежат в левойполуплоскости, то его коэффициенты имеют одинаковые знаки.Критерий Рауса-Гурвица.

Для того, чтобы все корни характеристическогоуравнения n  an1 n1  a1  a0  0, ai  , a0  0имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно,чтобы все главные диагональные миноры матрицы (составлена для случаяn  4 с ясным обобщением) a1aG 300a0a2a400a1a300a0 a2 1были положительны.Примеры.1. Исследовать устойчивость системыx  6 x  26 x  46x  65x  0Составим характеристическое уравнение сопоставляя производнымсоответствующие степени переменной  : 4  6 3  26 2  46  65  0 a4  1, a3  6, a2  26, a1  46, a0  65Составляем матрицу Гурвица и вычисляем ее угловые миноры: a1aG 3000   46 65 0 0 a0   6 26 46 65 a2   0 1 6 26  a4   0 0 0 1 1  46  0,  2  46* 26  65*6  806  0,  3   4  6 2  2116  0a0a2a400a1a30Все миноры положительны, поэтому положение равновесия асимптотическиустойчиво.x  3x  2 x  4 x  2 x  02.

 4  3 3  2 2  4  2  0 a4  1, a3  3, a2  2, a1  4, a0  2Далее,4 2 3 2G0 10 00 04 23 2 0 11  4  0,  2  14  0Второй минор оказался отрицательным, и можно сделать вывод онеустойчивости без дальнейших вычислений.3. x  x  x   y  0,y  y  y x 0В принципе, данную систему несложно свести к уравнению четвертогопорядка для одной из переменных, а затем строить матрицу Гурвица поаналогии с предыдущими примерами. Однако в этом нет необходимости:проще вычислить определитель второго порядка, строки которогосоответствуют уравнениям, а столбцы – переменным (по-прежнему каждойпроизводной отвечает умножение на  ):2   102   1Раскрывая этот определитель, получаем2   1     4  2 3  3 2  2  (1   )  02Необходимое условие устойчивости дает   1 .Для матрицы Гурвица имеем выражение22G000 ,   1  311  2  0,  2  6  2 ,  3   4  8  403 21 20 0В итоге получаем область асимптотической устойчивости   (0,2) |  | 1 .Интересно проверить ситуацию на границе этой области.

В случае   1имеем 1  0 , а если   1 , то 1,2  i . Оба этих случая относятся к числукритических (см. ниже).2. Теоремы первого методаЛяпунова. Здесь речь идет о двух системах:нелинейной (5) и линейной (1), причем матрица A - это матрица Якоби дляфункции f ( x ) :fA ix jn(6)i , j 1Устанавливается связь между устойчивостью двух систем. Важно различатьразницу между двумя понятиями. Термин «устойчивость в первомприближении» означает лишь устойчивость линейной системы (1). Болеесильное свойство «устойчивость по первому приближению» означает, чтообе системы устойчивы либо обе неустойчивы.Теорема 1.

Если уравнение (2) имеет только корни с отрицательнымивещественными частями, то положение равновесия системы (5)асимптотически устойчиво.Теорема 2. Если уравнение (2) имеет хотя бы один корень сположительной вещественной частью, то положение равновесия системы (5)неустойчиво.Пример.x  sin  x  y 2   4  arcsin 2 y  2e xy  arctg( x 3   y )  ln(1  3x ),,  Исследовать устойчивость нулевого положения равновесия.Разложим правые части по формуле Тейлора и отбросим в полученныхвыражениях нелинейные члены. В итоге получим линейную системуx  (  2) x  y,y  3x   yДля матрицы (6) получаем   2 1A  3(7)Критерий асимптотической устойчивости: след матрицы (7) отрицателен, а еедетерминант положителен, т.е.    2, (  2)  33.

Особые случаи. Сформулированные в предыдущем разделе теоремы неохватывают всех возможностей: к особым случаям отнесем наличие корнейхарактеристического уравнения с нулевой вещественной частью (нули иличисто мнимые пары). При этом линейная система (1) будет устойчивой (неасимптотически) либо неустойчива в зависимости от отсутствия или наличияв нормальной форме (9) жордановых клеток вида (12) или (13). Такие случаиназывают особыми, или критическими, так как для них полная система (5)может быть и асимптотически устойчивой, и неустойчивой.

Для решенияиспользуют следующие теоремы второго метода Ляпунова.Теорема Ляпунова об устойчивости. Пусть существует функцияV ( x)  0, V (0)  0 , непрерывно дифференцируемая в окрестности нуля, длякоторойdV  grad V , f   0dt(8)то положение равновесия системы (5) устойчиво.Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Пусть существуетфункция V ( x)  0, V (0)  0 , непрерывно дифференцируемая в окрестностинуля, для которойdV  grad V , f   0dt(9)то положение равновесия системы (5) асимптотически устойчиво.Теорема Четаева о неустойчивости. Пусть существует функция V (0)  0для которой область V ( x)  0 примыкает к началу координат и во всех точкахэтой областиdV  grad V , f   0dt(10)то положение равновесия системы (5) неустойчиво.Теорема Барбашина – Красовского. Если в условиях теоремы Ляпуноваоб асимптотической устойчивости неравенство (9) – нестрогое, причеммножество точек фазового пространства, для которых dV / dt  0 , несодержит целых траекторий системы, за исключением изолированногоположения равновесия, то последнее асимптотически устойчиво.Примеры.1.

x  ax 2 , тогда   0 , причем линейная система x  0 устойчива.Несложно убедиться, что в случае a  0 эта система первого порядканеустойчива, а в случае a  0 - асимптотически устойчива.2. Линейная система x1  x2 , x2  0 неустойчива ( 1  2  0 с жордановойклеткой), т.к.

общее решение x1  С2t  C1 , x2  С2возрастает в случаеС2  0 до бесконечности. Для стабилизации добавим нелинейные слагаемые:x1  x2  x13 , x2   x13  x23Функцияx14  2 x22V 0, V  x13  x2  x13   x2   x23  x13    x16  x24  04удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об асимптотическойустойчивости.3.

В следующей системеx1  x2  ax13 , x2   x1  ax23корни характеристического уравнения для линейной части чисто мнимые:1,2  i . Функцияx12  x22V 0, V  a  x24  x14 2удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об асимптотическойустойчивости в случае a  0 и условиям теоремы Четаева о неустойчивости вслучае a  0 .Важно отметить, что критические случаи не следует рассматривать какнекое исключение: в реальных системах, включающих некоторыеконструкционные параметры, они часто возникают при изменении этихпараметров, что кроме того, в консервативных и обобщенно-консервативныхмеханических системах асимптотическая устойчивость невозможна, аустойчивость по Ляпунову возможна лишь в критических случаях.4. Построение функций Ляпунова. В отличие от общего случая, когда длявывода об устойчивости достаточно рассмотреть линейное приближение,универсального алгоритма построения функции Ляпунова V в критическихслучаях не существует, и можно дать лишь некоторые рекомендации.Для системы (5) в критическом случае прежде всего можно попытатьсяпостроить подобрать V в виде квадратичной формы.

Как правило, этогодостаточно для решения учебных задач.Примеры.x  ay  x  x 2020  y 2020  ,1.y  ax  y  x 2020  y 2020 Здесь линеаризованная система описывает гармонические колебания, корнихарактеристического уравнения чисто мнимые. Положим V  x 2  y 2  0 ,тогдаV  2 x ay  x  x 2020  y 2020   2 y ax  y  x 2020  y 2020   2( x 2  y 2 )  x 2020  y 2020   0Таким образом, выполнены условия теоремы Ляпунова об асимптотическойустойчивости.2.x  2 xy, y  x 2  2 y 2В данной задаче линейных членов нет, т.е. 1  2  0 . ПустьV  ax 2  bxy  cy 2 , тогдаV  (2ax  by )2 xy  (bx  2cy )( x 2  2 y 2 )  bx3  2(c  2a) x 2 y  4bxy 2  4cy 3Данная форма третьего порядка знакопеременна, что служит предпосылкойдля применения теоремы Четаева. Положим b  0 , тогдаV  2(c  2a) x 2 y  4cy 3  2 y  2cy 2  (c  2a) x 2 Если взять a  1, c  3 , то второй сомножитель в этом выражении будетположительным.

Сама функция V   x 2  3 y 2 положительна в областиy | x | / 3 , что позволяет сделать вывод о неустойчивости. К такому жезаключению приводит рассмотрение функции V  xy , положительной впервом квадранте, так как при этом V  x( x 2  4 y 2 )  0 .3.x   x  y   x3y  x  y   y3 ,  Здесь один из корней характеристического уравнения линеаризованнойсистемы равен нулю, второй отрицателен. Следовательно, в зависимости отнелинейных членов может иметь место как неустойчивость, так иасимптотическая устойчивость. ПоложимV  ax 2  bxy  cy 2  V  (2ax  by )   x  y   x3   (bx  2cy )  x  y   y 3  ( x  y )  (2a  b) x  (2c  b) y    (2ax  by ) x 3   (bx  2cy ) y 3Квадратичная часть V в общем случае знакопеременна, но если a  c , тоV  (2a  b)( x  y)2   (2ax  by) x3   (bx  2ay) y 3т.е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций