Решение задач на устойчивость (1238796), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

она знакопостоянна. Условия теоремы Ляпунова об асимптотическойустойчивости можно удовлетворить в случае k  0 , полагая a  c  1, b  0 .В случае k  0 положим a  c  1, b  2 , тогда V  ( x  y)2  0 ,V  2 ( x  y) x3  2 ( x  y) y 3  2V ( x 2  xy  y 2 ) , и выполнены условиятеоремы Четаева о неустойчивости.Пример 4.x   x3  y 3  xy 3y  x3  y 3  x 4Доказать асимптотическую устойчивость.В данной системе линейные члены в правой части отсутствуют. Будемстроить функцию Ляпунова в виде однородной V  V2  V3   Vk  , гдеVk - однородная форма соответствующего порядка.

Изучим поочереднопроизводные этих форм в силу уравнений движения.V2  ax 2  bxy  cy 2  V2  (2ax  by )   x 3  y 3  xy 3   (bx  2cy )  x 3  y 3  x 4  (b  2a) x 4  (2c  b) x3 y  (b  2a) xy 3  (b  2c) y 4 x 4  (b  2a)  (2c  b) z  (b  2a) z 3  (b  2c) z 4  ,z y/xАнализ знака полученного выражения далеко не прост.

Может помочькомпьютер: полагая a=1,b=0, строим график f(z) для различных с>0.Получаем, что при с=1.1 выполнены условия теоремы Ляпунова обасимптотической устойчивости, причем члены четвертого порядка вуравнениях движения не играют роли.С другой стороны, имеется более простое решение: полагаем V2  0 , тогда V3не может быть знакоопределенной, и надо считать V3  0 . Для следующейформы можно взять простейшее выражение V4  x 4  y 4  0 .

При этомV4  4 x3   x3  y3  xy3   4 y3  x3  y3  x4   4( x6  y 6 )  0Т.е. условия теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивостивыполнены. Заметим, что здесь члены седьмого порядка взаимноуничтожились благодаря специальному выбору членов четвертого порядка висходной системе. На самом деле, вывод об асимптотической устойчивостивовсе от них не зависит.В некоторых задачах вид функции Ляпунова подбирается исходя изособенностей данной задачи.Пример 5.

x  y, y   y 3  x( y 2  1)В линейном приближении имеем пару чисто мнимых корней (устойчивостьнеасимптотическая). Умножим первое уравнение на х, второе – на y / (1  y 2 )и сложим. В итоге получимd 22 y42xln(1y) 1  y2dtВыражение под знаком производной положительно; примем его за функциюЛяпунова. Правая часть отрицательна вне множества y  0 , на котором онаобращается в нуль. Если подставить это значение в исходную систему, тополучим x  0, 0   x , что означает x  0 . Асимптотическая устойчивостьследует из теоремы Барбашина – Красовского.5. Устойчивость в механических системах.

В отличие от задачпредыдущего радела, в которых правые части формировались искусственнодля иллюстрации основных теорем, уравнения механики имеютопределенную структуру: они имеют лагранжеву формуd  Ldt  q j L 0, L  T  , j  1, qj,n(11)где Т и П – кинетическая и потенциальная энергия. В консервативнойсистеме Т – положительно определенная квадратичная форма от обобщенныхскоростей (коэффициенты могут зависеть от координат, но не от времени),П=П(q). Положения равновесия q  q0 , q0  0 системы (11) определяютсякритическими точками потенциальной энергии, т.е. d (q0 )  0 .Классический результат – теорема Лагранжа:Если точка q  q 0 - строгий локальный минимум потенциальной энергии,то она определяет устойчивое положение равновесия.Заметим, что, по существу, здесь речь идет об устойчивости в смыслеЛяпунова, хотя во времена Лагранжа такого понятия еще не было. Крометого, здесь устойчивость не может быть асимптотической ввиду наличия вконсервативной системе интеграла энергии.

Один из вариантов обратногоутверждения – следующая теорема Ляпунова.Если в положении равновесия потенциальная энергия не имеет минимума,и это определяется из анализа d 2(q0 ) , то. имеет мести неустойчивость.Таким образом, задача об устойчивости консервативных систем сводится кзадаче на экстремум функции нескольких переменных.Примеры.Задача существенно усложняется при исследовании устойчивости внеинерциальной системе отсчета: при этом к имеющимся в системепотенциальным силам добавляются силы инерции – переносные икориолисовы.

Этим силам соответствуют обобщенные силы Q j в правыхчастях системы (5.1). Мощностью непотенциальных сил называют величинуnN  Qjq jj 1Силы называют гироскопическими, если N  0 , диссипативными, еслиN  0 и с полной диссипацией, если N  0 . для исследования можновоспользоваться теоремами Томсона-Тета-Четаева:1.

Если выполнено условие теоремы Лагранжа и на системудополнительно действуют произвольные гироскопические идиссипативные силы, то положение равновесия останется устойчивым.К тому же, если диссипация полная, то устойчивость будетасимптотической.2. Если квадратичная форма d 2(q0 ) невырождена и имеет нечетноечисло отрицательных собственных значений, то положение равновесиянеустойчиво при добавлении любых гироскопических идиссипативных сил.3. Если квадратичная форма d 2(q0 ) невырождена и имеет четное числоотрицательных собственных значений, то положение равновесияможет стать устойчивым при добавлении гироскопических сил(гиростабилизация).

Такая устойчивость разрушается при добавлениидиссипативных сил с полной диссипацией.Заметим, что гиростабилизация возможна не всегда. Кроме того, онаозначает лишь отсутствие экспоненциальной неустойчивости. Для получениястрогих выводов об устойчивости в случае 3 можно использовать теоремуАрнольда-Мозера (см. [4]). В применении к лагранжевой системе с двумястепенями свободы устойчивость в линейном приближении гарантируетустойчивость для почти всех значений параметров.Наиболее распространены задачи на относительной равновесие вовращающейся системе отсчета.

При этом кориолисовы силы будутгироскопическими, а переносные (центробежные) - потенциальными.Пример. Рассмотрим движение тяжелой частицы единичной массы нагладкой поверхности, вращающейся как твердое вокруг фиксированнойвертикали OZ с постоянной угловой скоростью  . Введем системыкоординат: связанную OXYZ и неподвижную OX ' Y ' Z с началом наповерхности. Положение частицы опишем ее относительными координатамиx, y . Пусть z  f ( x, y ) - уравнение поверхности, тогда для функцииЛагранжа имеем выражениеL  T  gf ( x, y ), T 122 x   y    y  x   u2 , u  f x x  f y y2Уравнения движения в отсутствие сил сопротивления таковы:d  uf x    y   x   u  f xx x  f xy y   gf x  0dtd  uf y y  x    x   y   u  f xy x  f yy y   gf y  0dtx y (12)В частном случае f ( x, y )  0 эти уравнения описывают относительноедвижение частицы на вращающейся плоскости, при этом траектория всистеме OX ' Y ' Z прямолинейна, а в системе OXYZ имеет форму спирали.Такое искривление вызвано силами инерции.

Последние описываютсяслагаемыми, пропорциональными  2 в системе (12) (переносные силыинерции), а также пропорциональными  (силы Кориолиса).Будем считать, что начало координат – критическая точка поверхности,т.е. df (0,0)  0 . В линейном приближении в системе (12) исчезают члены,содержащие величину u . Второй дифференциал d 2 f (0,0) представляетсобой квадратичную форму; без ограничения общности можно считать, что ввыбранных осях она имеет канонический вид d 2 f (0,0)   dx 2   dy 2 (т.е. и  – главные кривизны).

Линеаризованная система для (12) примет видx  2 y   2 x   gx  0,y  2 x   2 y   gy  0Характеристическое уравнение 2  2   g2det2 2  2   g  2    g   g  2 2    g   2   g   2   0,    2Данное квадратное уравнение имеет корни 1,2  0     g  2 2  0,  g   2   g   2   0,D      g  8 g (   )  022(13)2Введя безразмерные параметры  '   g /  2 ,  '   g /  2 , представим условия(13) в виде '  ' 2  0,  ' 1  ' 1  0, '  ' 2 8( '  ')  0(14)Область (14) на плоскости ( ',  ') ограничена тремя прямыми и параболой(Фиг.1): она состоит из квадранта  '  1,  '  1 и криволинейноготреугольника.

При этом граница области 1 соответствует наличию ухарактеристического уравнения нулевого корня, а параболический участокграницы областей 3 и 4 – кратным корням. Первое неравенство (14) следуетиз остальных.Заметим, что в случае     0 (параболоид вращения) равновесиеустойчиво для любой скорости вращения за исключением единственнойкритической точки    . Для эллиптического параболоида имеются областинеустойчивости, в которых (   )(   )  0 , на фигуре 1 им соответствуютнезаштрихованные бесконечные прямоугольники в первой четверти. Длязначений параметров в области 1 равновесие устойчиво по теоремеЛагранжа. В области 2 (эллиптический параболоид) линеаризованная системаустойчива, а для исследования полной (нелинейной) системы можно такжевоспользоваться теорией: если неустойчивость и имеет место, то лишь длямножества параметров нулевой меры.Области 3 и 4 соответствуют седловой поверхности. В этом случаенеустойчивое положение может быть стабилизировано в линейномприближении за счет вращения, а строгий вывод об устойчивости такжеможно на основе теоремы Арнольда-Мозера.

Заметим, что в отсутствиевращения форма d 2(q0 ) имеет одно отрицательное собственное значение,что свидетельствует о невозможности гиростабилизации. На самом деле, привращении добавляются не только гироскопические силы, но потенциальные(переносные силы инерции), что увеличивает степень неустойчивости додвух (т.е. четного числа).Фиг.1ЛИТЕРАТУРА1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. // Собр. Соч. Т.2.– М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 7-263.2. Сб.задач по аналитической механике //Пятницкий Е.С., Трухан Н.М.,Ханукаев Ю.И., Яковенко Г.Н. М.: Физматлит, 20023. Маркеев А.П.

Теоретическая механика. М.: ЧеРо, 1999.4. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.:Наука, 19785. https://mipt.ru/education/chair/theoretical_mechanics/f_booklets/.

Характеристики

Список файлов лекций