Учебное пособие - Определенный интеграл. Практикум (1238758), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Если функции f и g интегрируемы на [a; b], а g монотонно неубывает и неотрицательна на [a; b], то существует такая точка ξ ∈ [a; b],что∫b∫ξf (x)g(x) dx = g(a) f (x) dx.(4.2)aaВ том случае, когда f и g интегрируемы на [a; b], а g монотонноневозрастает и неотрицательна на [a; b], то применима другаяформула:∫b∫bf (x)g(x) dx = g(b) f (x) dx.(4.3)aξОт условия неотрицательности функции g можно отказаться,тогда формулы (4.2) и (4.3) нужно видоизменить. Если функцииf и g интегрируемы на [a; b], а функция g монотонна на [a; b], тосуществует такая точка ξ ∈ [a; b], что∫b∫ξf (x)g(x) dx = g(a)a∫bf (x) dx + g(b)af (x) dx.ξ196(4.4)Формула (4.4) носит название второй теоремы о среднем.
Относительно этой формулы можно сделать следующее замечание.Если изменить значения функции g в точках x = a и x = b,взяв вместо них произвольные числа A и B, удовлетворяющиеусловиямA > g(a + 0),A 6 g(a + 0),B 6 g(b − 0),B > g(b − 0),если g убывает,если g возрастает,то значение интеграла не изменится, а функция g останется монотонной. Поэтому справедлива несколько более общая формула∫b∫ξf (x)g(x) dx = Aa∫bf (x) dx + Baf (x) dxξ(значение ξ зависит, разумеется, от выбора чисел A и B). Этуформулу часто записывают только для предельного случая∫b∫ξf (x) dx + g(b − 0)f (x)g(x) dx = g(a + 0)a∫baf (x) dx.(4.5)ξТак как в формулу (4.5) входят только предельные значенияg(a + 0) и g(b − 0), то достаточно чтобы функция g была монотонна только в интервале (a; b).В некоторых примерах можно пользоваться более простымисвойствами интеграла.
Приведем их в виде задач.Задача 15. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b],неотрицательна и не тождественно равна нулю. Тогда∫bf (x) dx > 0.a197Задача 16. Пусть функции f, g ∈ C[a; b], при всех x ∈ [a; b]выполнено неравенство f (x) > g(x) и функции f не совпадает сg хотя бы в одной точке.
Тогда∫b∫bf (x) dx >g(x) dx.aaПереходим к задачам.2316. Определить знаки следующих интегралов:∫2πа)∫2πб)x sin x dx;0sin xdx;x0∫2∫13 xв)x2 ln x dx.г)x 2 dx;−21/2а). Определить знак интеграла проще всего вычислив его значение. Интегрируя по частям, получаем∫2π∫2πx sin x dx = −x d(cos x) =002π ∫= − x cos x +002πcos x dx = −2π + sin x = −2π < 0.2π0б). Разобьем интеграл на два∫2πI=sin xdx =x0∫πsin xdx +x∫2πsin xdxxπ0и во втором интеграле сделаем замену y = x − π:∫πI=sin xdx −x0∫π0198sin ydy =π+y∫π=sin xdx −x0∫πsin xdx = ππ+x0∫πsin xdx.x(π + x)0В полученном интеграле подынтегральная функция непрерывна,неотрицательна и не равна тождественно нулю, следовательно,этот интеграл положителен. Таким образом,∫2πsin xdx > 0.x0в).
Разобьем интеграл на два∫2∫03 xI=x 2 dx =−2∫23 xx3 2x dxx 2 dx +−20и в первом интеграле сделаем замену y = −x:∫2y 3 2−y dy +I=−0∫2=−0∫2x3 2x dx =0x3 2−x dx +∫2∫2x3 2x dx =0()x3 2x − 2−x dx.0В полученном интеграле подынтегральная функция непрерывна,неотрицательна и не равна тождественно нулю, следовательно,этот интеграл положителен. Таким образом,∫2x3 2x dx > 0.−2г). В интеграле стоит непрерывная, неположительная и неравная тождественно нулю функция, следовательно, этот инте199грал отрицателен:∫1x2 ln x dx < 0.1/22317. Какой интеграл больше:∫π/2∫π/2a)sin10 x dx илиsin2 x dx?0∫1б)e−x dx или∫10e−x dx?20∫πв)0e−x2∫2π2cos x dx илиe−x cos2 x dx?2π0а).
Функции f (x) = sin10 x и g(x) = sin2 x непрерывны наотрезке [0; π/2], всюду на этом отрезке f (x) 6 g(x) и f (x) ̸≡ g(x),следовательно, интеграл от f (x) меньше, чем интеграл от g(x),т. е.∫π/2∫π/2sin2 x dx.sin10 x dx <00e−xб). Функции f (x) =и g(x) = e−x непрерывны на отрезке [0; 1], всюду на этом отрезке f (x) 6 g(x) и f (x) ̸≡ g(x),следовательно, интеграл от f (x) меньше, чем интеграл от g(x),т. е.∫1∫12e−x dx < e−x dx.200в).
Пусть∫πeI1 =−x2∫2π2cos x dx ,I2 =π0200e−x cos2 x dx.2Сделаем в интеграле I2 замену y = x − π, получим∫πI2 =e−(π+y)2∫π2cos y dy =0e−(π+x) cos2 x dx.20Отсюда следует, что∫π∫π2−x22I1 − I2 = ecos x dx − e−(π+x) cos2 x dx =00∫π [=e−x − e−(π+x)22]cos2 x dx.0В последнем интеграле подынтегральная функция непрерывна,неотрицательна и не равна тождественно нулю, поэтому этот интеграл положителен. Следовательно, I1 > I2 , т. е.∫π−x2e∫2π2cos x dx >e−x cos2 x dx.2π02318. Определить средние значения данных функций в указанных промежутках:а) f (x) = x2√б) f (x) = xв) f (x) = 10 + 2 sin x + 3 cos xг) f (x) = sin x sin(x + φ)∫111x3 x dx == .3 0 3нананана[0; 1];[0; 100];[0; 2π];[0; 2π].2а) M [f ] =01б) M [f ] =100∫100√0100x3/2 220x dx ==6 .
=150 3302011в) M [f ] =2π∫2π(10 + 2 sin x + 3 cos x) dx =02π1=[10x − 2 cos x + 3 sin x] = 10.2π0∫2π∫2π11г) M [f ] =sin x sin(x + φ) dx =[cos φ − cos(2x+2π4π00[]2π111+φ)]dx =x cos φ − sin(2x + φ) = cos φ.4π2202319. Найти среднее значение длины фокального радиусавектора эллипсаp(0 < ε < 1).r=1 − ε cos φПо определению среднего значения1M [r] =2π∫2π0pdφ.1 − ε cos φПолученный интеграл можно свести к интегралу, вычисленномуранее. Для этого сделаем замену φ = π − t, получим∫πpdt.M [r] =2π1 + ε cos φ−πСогласно решению задачи 2265∫π−πdt=1 + ε cos φ∫2πdt,1 + ε cos φ0а в соответствии с решением задачи 2213∫2π0dt2π=√.1 + ε cos φ1 − ε2202Следовательно,p.1 − ε2Замечание.
Из курса аналитической геометрии известно,что величинаp√1 − ε2совпадает с длиной меньшей полуоси эллипса. Таким образом,среднее значение длины фокального радиуса-вектора эллипсаравно длине малой полуоси этого эллипса.2320. Найти среднее значение скорости свободно падающеготела, начальная скорость которого равна v0 .Обозначим через v1 конечную скорость тела. Если t1 – времяпадения, то ускорение свободного паденияM [r] = √g=v1 − v0t1и закон изменения скорости тела имеет следующий вид:v(t) = v0 + gt = v0 +v1 − v0t.t1Среднее значение скорости1M [v] =t1∫t101v(t) dt =t1∫t1 (v0 +)v1 − v0t dt =t10[]1v1 − v0 2 t1v0 + v1v1 − v0=v0 t +t = v0 +=.t12t12202321.
Сила переменного тока меняется по закону()2πti = i0 sin+φ ,Tгде i0 – амплитуда, t – время, T – период и φ – начальная фаза.Найти среднее значение квадрата силы тока.203По определению среднего значения1M [i ] =T∫T2i2i (t) dt = 0Tsin0i2= 02T=i202T[(∫T22)2πt+ φ dt =T0∫T [(1 − cos0t−Tsin4π()]4πt+ 2φ dt =T4πt+ 2φT)]T2 = i0 .202321.1. Пусть f (x) ∈ C[0; +∞) и lim f (x) = A.
Найтиx→+∞1limx→+∞ x∫xf (x) dx.0Рассмотреть пример f (x) = arctg x.Применяя правило Лопиталя и учитывая, что′ x∫ f (x) dx = f (x),0находим1limx→+∞ x∫x∫xf (x) dx = limf (x) dx0x→+∞xf (x)= A.x→+∞ 1= lim0Проверим полученную формулу на примере функцииf (x) = arctg x. Первообразную этой функции находим, интегрируя по частям∫∫1x dx= x arctg x − ln(1 + x2 ) + C.arctg x dx = x arctg x −21+x2204Отсюда следует, что∫xf (x) dx = x arctg x −1ln(1 + x2 )20и1limx→+∞ x[∫xf (x) dx = limx→+∞]πln(1 + x2 )= .arctg x −2x20Этой же величине равен и lim f (x).x→+∞2322. Пусть∫xf (t) dt = xf (θx).0Найти θ, если:(n > −1);а) f (t) = tnб) f (t) = ln t;в) f (t) = et .Чему равны lim θ и lim θ?x→+0∫xа)∫xtn dt =f (t) dt =0x→+∞xn+1.n+10Уравнение для θ имеет видxn+1= x(θx)n ,n+1решая это уравнение, находим√1θ= n.n+1В данном случае величина θ не зависит от x и поэтому√1lim θ = lim θ = θ = n.x→+∞x→+0n+1205б).
Интегрируя по частям, находим:∫x∫xf (t) dt =0x ∫xxln t dt = t ln t − dt = x ln x − x = x ln .e000Уравнение для θ имеет видx= x ln(θx),eрешая это уравнение, находим:x ln1θ= .eВ данном случае величина θ также не зависит от x и поэтому1lim θ = lim θ = θ = .x→+∞x→+0e∫xв)∫xet dt = ex − 1.f (t) dt =00Уравнение для θ имеет видex − 1 = xeθx ,решая это уравнение, находимθ=1 ex − 1ln.xxПредел θ при x → +0 находим, применяя трижды правилоЛопиталя,lnlim θ = limx→+0x→+0= limx→+0ex1ex − 1−xxex − ex + 1x= lim e − 1 x = lim=x→+0x→+0 (ex − 1)xx11xexex + xex=lim= .xxxxx→+0 2e + xexe + e − 12206Аналогично вычисляется и предел на +∞:lnlim θ = limx→+∞x→+∞ex1ex − 1−xxex − ex + 1x= lim e − 1 x = lim=x→+∞x→+∞ (ex − 1)xx11+xxexex + xex= lim=lim= 1.xxxxx→+∞x→+∞xe + e − 12e + xe2+x= limx→+∞Пользуясь первой теоремой о среднем, оценить интегралы:∫2πdx2323..1 + 0,5 cos x0По первой теореме о среднем∫2π2πdx=.1 + 0,5 cos x1 + 0,5 cos ξ0Так как −1 6 cos ξ 6 1, то 1/2 6 1 + 0,5 cos ξ 6 3/2 и4π2π66 4π,31 + 0,5 cos ξследовательно,4π63∫2πdx6 4π.1 + 0,5 cos x0∫1√2324.x9dx.1+x0По первой теореме о среднем∫10x91√dx = √1+ξ1+x∫1x9 dx =02071√,10 1 + ξгде ξ ∈ [0; 1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
