Учебное пособие - Определенный интеграл. Практикум (1238758), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если функции f непрерывна на всей числовой прямой, а F –первообразная этой функции, то+∞ +∞∫f (x) dx = F (x)= lim F (x) − lim F (x).−∞−∞x→+∞x→−∞Если подынтегральная функция f на промежутке интегрирования [a; b] не определена в одной или нескольких точках, товыбирают такое разбиение T = {x0 , x1 , . . . , xn } отрезка [a; b],чтобы на каждом из отрезков разбиения функция f не былаопределена только в одной точке и полагают∫bf (x) dx =an−1∑x∫i+1i=0 xi223f (x) dx.(5.7)Интеграл называют сходящимся, если сходятся все несобственные интегралы, входящие в правую часть равенства (5.7). Сходимость интеграла и его величина не зависят от выбора разбиения T .При определении интеграла по промежутку [a; +∞), содержащему конечное число точек, в которых подынтегральная функция не определена, поступают следующим образом.
Выбираютточку b настолько большой, чтобы функция f была определенаво всех точках промежутка [b; +∞) и полагают+∞+∞∫∫b∫f (x) dx = f (x) dx +f (x) dxaa(5.8)b(несобственный интеграл по промежутку [a; b] был определн выше формулой (5.7). Сходимость и значение несобственного интеграла (5.8) не зависят от выбора точки b.Так же определяется интеграл и по промежутку (−∞; b], содержащему конечное число точек, в которых функция f не определена. Выбирают точку a так, чтобы на промежутке (−∞; a]функция f была определена во всех точках и полагают∫a∫bf (x) dx =−∞∫bf (x) dx +−∞f (x) dx.(5.9)aСходимость и значение несобственного интеграла (5.9) не зависят от выбора точки a.Наконец, при определении интеграла по всей числовой прямой от функции, которая не определена в конечном числе точек,выбирают числа a и b так, чтобы все эти точки содержались наотрезке [a; b] и полагают+∞+∞∫∫a∫b∫f (x) dx =f (x) dx + f (x) dx +f (x) dx.−∞−∞a224b(5.10)Сходимость и значение несобственного интеграла (5.10) не зависят от выбора чисел a и b.Использование формулы Ньютона – Лейбница для вычисления несобственных интегралов не вносит новых принципиальныхмоментов по сравнению с вычислением собственных интегралов.Дополнительно имеется лишь технический аспект, связанный сумением вычислять пределы функций.
С помощью этой формулы вычисляются интегралы в задачах 2334 – 2347, 2349, 2350.Для вычисления несобственных интегралов тоже можно применять технику, разработанную для неопределенных и собственных интегралов. К ней прежде всего относятся формулы интегрирования по частям и замены переменной.Проще всего переносится на несобственные интегралы формула интегрирования по частям. Так как произвольный несобственный интеграл представим в виде суммы простейших, то достаточно рассмотреть этот вопрос для простейших интегралов.Для несобственного интеграла вида (5.1)+∞+∞ +∞ ∫∫′f (x)g (x) dx = f (x)g(x)−f ′ (x)g(x) dx.aa(5.11)aЗадача 21.
Пусть функции f и g непрерывно дифференцируемы на промежутке [a; +∞) и в формуле (5.11) существуютдве из трех величин: два несобственных интеграла и подстановка на бесконечности. Тогда существует третья из этих величини справедливо равенство (5.11).Для остальных несобственнных интегралов формулы интегрирования по частям выглядят аналогично. Например, для несобственного интеграла (5.4)∫ba b ∫bf (x)g (x) dx = f (x)g(x) − f ′ (x)g(x) dx.′a(5.12)aВ этой главе интегрирование по частям в несобственном интеграле применяется только в задачах 2348 и 2352 для интеграла225вида (5.1).
При решении остальных задач, в случае необходимости, мы применяем интегрировние по частям в неопределенноминтеграле.Принципиальных трудностей в переносе формулы замены переменной на несобственный интеграл нет. Каждая из формул замены получается с помощью предельного перехода из формулызамены переменной для определенного интеграла. При этом длялюбого из четырех простейших несобственных интегралов может получиться также любой из них. Таким образом, мы имеем16 вариантов этой формулы и проблема заключается в том, чтобы постараться записать их, по возможности, одной формулой.Мы можем это сделать, используя символическую запись. Пусть<α;β> обозначает любой из четырех промежутков [0; +∞), [a; b),(−∞; b], (a; b] так, что буквы α и β могут обозначать соответствующую бесконечность, а символы <, > используются для обозначения одной из двух скобок – либо квадратной, либо круглой.Формула замены имеет вид∫βφ(β)∫′f (φ(x))φ (x) dx =αf (t) dt.(5.13)φ(α)В этой формуле значения φ(α) и φ(β) также следует пониматьсимволически: если функция φ не определена при x = α илипри x = β (в частности, если один из этих символов обозначаетбесконечность), то под значением функции φ в этой точке понимается соответствующий предел.
Для справедливости формулы(5.13) достаточно, чтобы функция φ ∈ C 1 < α; β >, а функцияf была непрерывна на области значений функции φ. В качествепримера приведем формулу замены переменной, преобразующейинтеграл типа (5.1) в интеграл типа (5.2):+∞∫f (φ(x))φ′ (x) dx =φ(+∞)∫aφ(a)226f (t) dt,(5.14)гдеφ(+∞) = lim φ(x).x→+∞(5.15)Задача 22.
Пусть функция φ ∈ C 1 [a; +∞) и существует предел (5.15), а функция f непрерывна на области значений функции φ. Тогда справедлива формула (5.15).Так же, как и для определеного интеграла, формула (5.13)обобщается для прозвольной интегрируемой функции f : еслифункция f интегрируема на любом отрезке, содержащемся впромежутке <φ(α); φ(β)>, несобственный интеграл в правой части равенства (5.13) сходится и функция φ строго монотонна, тосправедлива формула (5.13).Отдельную тему составляет исследование несобственных интегралов на сходимость.
Из определения сходимости следует, чтоэто исследование достаточно уметь проводить для четырех простейших несобственных интегралов по промежуткам [a; +∞),[a; b), (−∞; b], (a; b].Наиболее разработана техника исследования интегралов отзнакопостоянных функций. Для них имеется обширная система различных признаков сравнения. Все они основаны на следующем свойстве несобственных интегралов: если на промежуткеинтегрирования выполнено неравенство0 6 f (x) 6 g(x),то из сходимости интеграла от g следует сходимость интегралаот f , а из расходимости интеграла от f следует расходимостьинтеграла от g.Для компактности формулировок обозначим символом ω особую точку для каждого из этих четырех интегралов.
В порядкеих перечисления, это, соответственно, ω = +∞, ω = b, ω = a иω = −∞. В этих признаках фигурируют такие обозначения, какo, O и ∼. Напомним их определение.Функция f = o(g) при x → ω, если в некоторой окрестноститочки ω (кроме, быть может, самой точки ω) f = gh, где h –227некоторая бесконечно малая функция при x → ω (т. е. имеющаянулевой предел при x → ω).Функция f = O(g) при x → ω, если в некоторой окрестноститочки ω (кроме, быть может, самой точки ω) f = gh, где h –некоторая локально ограниченная при x → ω функция.Функция f ∼ g при x → ω (эквивалентность), если в некоторой окрестности точки ω (кроме, быть может, самой точки ω)f = gh, где h – имеющая при x → ω предел, равный 1.Достаточные условия выполнимости этих соотношений можно дать в терминах пределов.
Если существуетC = limx→ωf (x),g(x)то при C = 0 функция f = o(g) (отсюда следует, что также иодновременно f = O(g)). При C ̸= 0 выполнены оба соотношенияf = O(g) и g = O(f ). При C = 1 справедлива эквивалентностьf ∼ g.Важным свойством для исследования сходимости интеграловявляется наличие у подынтегральной функции степенной асимптотики при x → ω. Для исследования простейших интеграловудобно использовать асимптотическую формулу со степеннымпоказателем в знаменателе. При x → +∞, x → b − 0, x → +∞и x → a + 0 мы будем использовать, соответственно, следующиеформы асимптотики:f (x) ∼f (x) ∼(C ̸= 0),C(b − x)pf (x) ∼f (x) ∼CxpC|x|pC(x − a)p228(C ̸= 0),(C ̸= 0),(C ̸= 0).(5.16)(5.17)(5.18)(5.19)Если функция имеет степенную асимптотику, то параметрыC и p определяются однозначно.
Значение p, входящее в формулы (5.16)–(5.19), мы будем называть порядком асимптотики.Перейдем к формулировке признаков сравнения.1. Пусть f (x) = o(g(x)) при x → ω. Если интеграл от функцииg сходится, то интеграл от f также сходится. Если интеграл отфункции f расходится, то интеграл от g также расходится.2. Пусть f (x) = O(g(x)) при x → ω. Если интеграл от функции g сходится, то интеграл от f также сходится. Если интегралот функции f расходится, то интеграл от g также расходится.3.
Пусть существуетC = limx→ωf (x).g(x)Если интеграл от функции g сходится, то интеграл от f такжесходится. Если интеграл от функции f расходится, то интегралот g также расходится. Если величина C ̸= 0, то интегралы отфункций f и g сходятся или расходятся одновременно.4. Если f ∼ g при x → ω, то интегралы от функций f и gсходятся или расходятся одновременно.5. Пусть подынтегральная функция f в несобственном интеграле по одному из промежутков [a; +∞), [a; b), (−∞; b] или (a; b]имеет соответствующую степенную асимптотику (5.16), (5.17),(5.18) или (5.19).
Тогда для интегралов по промежуткам [a; +∞)и (−∞; b] интеграл сходится при p > 1 и расходится при p 6 1, адля интегралов по промежуткам [a; b) и (a; b] интеграл сходитсяпри p < 1 и расходится при p > 1.Если подынтегральная функция меняет знак на промежуткеинтегрирования, то признаки сравнения, вообще говоря, не применимы. Однако может оказаться полезным вместо самой функции рассматривать ее модуль. Если сходится интеграл от модуляфункции, то такой несобственный интеграл называют абсолютно сходящимся.
Можно показать, что если интеграл абсолютно сходится, то он сходится. К интегралу от модуля функции229признаки сравнения применимы. Это дает возможность исследования интегралов от знакопеременных функция с помощьюпризнаков сравнения. Однако такой подход имеет существенноеограничение, его можно использовать только для доказательствасходимости. Интеграл от модуля функции может расходится, ноинтеграл от самой функции может сходиться. Такие интегралыназывают условно сходящимися.Из критериев сходимости, пригодных для произвольных функций, наиболее важным является критерий Коши. Для любогоиз четырех основных промежутков [a; +∞), [a; b), (−∞; b], (a; b]сходимость интеграла равносильна существованию пределаlim F (x)x→ωлюбой одной из первообразных F подынтегральной функции fв особой точке ω.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
