МУ - Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии (1238755)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИГосударственное образовательное учреждениевысшего профессионального образования"Оренбургский государственный университет"Кафедра математического анализаИ. К. ЗУБОВАТЕОРИЯ РЯДОВ. ОСНОВНЫЕПОНЯТИЯ В ИХ ИСТОРИЧЕСКОМРАЗВИТИИМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯРекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования"Оренбургский государственный университет"Оренбург 2003ББК 22.16З 91УДК 517.5Рецензенткандидат физико-математических наук, доцент Л.М. НевоструевЗубова И.
К.З 91Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии:Методические указания. — Оренбург: ГОУ ОГУ, 2003. — 28 с.:ил.Методическое пособие посвящено основным понятиям теориирядов. Предлагается краткий обзор истории формирования этих понятий, выявляющий связь теории рядов с теорией дифференциальныхуравнений, математической физикой, теорией функций.
Рассматриваются примеры разложения функций в ряд Фурье.Пособие рекомендуется преподавателям и студентам всех специальностей ГОУ ОГУ.ББК 22.16©©Зубова И. К., 2003ГОУ ОГУ, 2003ВведениеИзучение теории рядов, как, впрочем, и изучение любой математическойтеории, начинается со знакомства с ее основными понятиями, с установлениясвязей между ними и их свойств, а затем указывается, для решения каких практических задач используется построенная теория.Однако естественный (исторической) ход формирования научной теориипочти никогда не совпадает с ходом ее изучения.
Чаще всего в процессе развития науки практические задачи ставили ученых перед необходимостью использования того или иного научного аппарата, а уже потом сам аппарат усовершенствовался, обобщался, обретал математическую строгость. Нам приходитсяизучать уже сформировавшуюся теорию по порядку, начиная с основных ее понятий. Однако знание истории решения той или иной задачи часто объясняетнеобходимость этого решения и его применения, помогает выработать болееобщий взгляд на изучаемый вопрос.В данном пособии дается исторический обзор вопросов, связанных с числовыми и функциональными рядами.
Этот обзор может помочь изучающемутеорию рядов увидеть ее связь с различными разделами математики, и поэтомупособие рекомендуется студентам всех специальностей.1 Числовые и функциональные ряды. Признаки сходимости знакоположительных рядовРяды, рассматриваемые в курсе, расположим в виде следующей блоксхемы:РЯДЫЧисловыеЗнакоположительныеЗнакопеременныеЗнакочередующиеся∞ФункциональныеСтепенныеТригонометрическиеПрочиеПрочие знакопеременныеПусть задана числовая последовательность х1, х2, ..., хn, .... Символ∑ x n = x 1 + x 2 + ... + x n + ...
называется числовым рядом.n =1Числа х1, х2, ..., хn, .... называются членами ряда.Теперь зададим функциональную последовательность:f 1( x ), f 2( x ), ... f n( x ), ...Символ∞∑ f n( x ) = f 1( x ) +n =1f 2( x ) + ... + f n( x ) + ... называется функцио-нальным рядом.Сумма конечного числа членов числового ряда называется частичной суммой ряда:S1 = x1S 2 = x1 + x 2.......... ........S n = x 1 + x 2 + ... + x nАналогично определяется понятие частичных сумм и для функционального ряда:S 1( x ) = f 1( x )S 2( x ) = f 2( x ) + f 2( x )..........
.......... .......... .....S n = f 1( x ) + f 2( x ) + ... + f n( x )Если у последовательности частичных сумм числового или функционального ряда существует конечный предел при n → ∞, то этот предел называетсясуммой ряда, а сам ряд называется сходящимся.Сумма сходящегося числового ряда представляет собой число.
Суммойсходящегося функционального ряда является некоторая функция.Если в функциональный ряд∞∑ f n( x )подставить конкретное значение х =n =1∞∑ f n( x 0 ) . Если он сходится, то точка х0 называет-х0, то получится числовой рядn =1ся точкой сходимости функционального ряда. Множество D всех точек сходимости функционального ряда∞∑ f n( x )называется областью сходимости этого ря-n =1да. В области сходимости ряда его остаток после n-го членаf n + 1( x ) + f n + 2( x ) + ...
стремится к нулю при n → ∞.Часто бывает удобно разложить ту или иную функцию в функциональныйряд, который сходится к ней на некотором множестве. Другими словами, нередко ставится такая задача: пусть дана функция f(x). Найти такой функциональный ряд, который на множестве D сходится и сумма его есть функция f(x).Однако не следует думать, что по такой же схеме действовали математики,с именами которых мы связываем сегодня формирование теории рядов.
Этатеория создавалась в тесной связи с теорией приближенного представленияфункций в виде многочленов. Впервые это сделал И. Ньютон (1642—1727). В1676 г. в его письме к секретарю Лондонского Королевского Общества появилась формула:mm( m − 1) 2 m( m − 1)( m − 2 ) 3( 1 + x )m = 1 + x +x +x + ...11⋅21⋅2⋅3m( m − 1)( m − 2 ) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 mx ,+m!которую мы знаем как формулу бинома Ньютона.
Здесь мы видим функцию (1+ х)m, представленную в виде многочлена. Но если число m не является натуральным, в правой части равенства получается не полином, а бесконечная сумма слагаемых, то есть ряд.Развивая идею Ньютона, английский математик Брук Тейлор (1685—1731)в 1715 г. доказал, что любой функции, имеющей в точке х0 производные всехпорядков, можно сопоставить ряд:f ( x ) → f ( x0 ) +f ′( x 0 )f ′′( x 0 )( x − x0 ) +( x − x 0 ) 2 + ...1!2!f ( n )( x 0 )+( x − x 0 ) n + ...n!Мы не можем пока поставить знак равенства между функцией f(x), принимающей конечное значение для любого значения х0, и стоящим справа функциональным рядом.
Для того чтобы вместо знака «→» можно было поставитьзнак равенства, необходимо провести некоторые дополнительные рассуждения,связанные именно с бесконечностью числа слагаемых в правой части равенстваи касающиеся области сходимости ряда.При х0 = 0 формула Тейлора принимает вид, в котором называется формулой Маклорена:f ′( 0 )f ′′( 0 ) 2f ( n )( 0 ) nf ( x ) → f ( 0) +x+x + ... +x + ...1!2!n!Колин Маклорен (1698—1746), ученик Ньютона, в работе «Трактат офлюксиях» (1742) установил, что степенной ряд, выражающий аналитическуюфункцию, — единственный, и это будет ряд Тейлора, порожденный такойфункцией. В формуле бинома Ньютона коэффициенты при степенях х предf ( n )( 0 )ставляют собой значения, где f(x) = (1 + x)m.n!Итак, ряды возникли в XVIII в.
как способ представления функций, допускающих бесконечное дифференцирование. Однако функция, представляемаярядом, не называлась его суммой, и вообще в то время не было еще определено,что такое сумма числового или функционального ряда, были только попыткиввести это понятие.Например, Л. Эйлер (1707—1783), выписав для функции соответствующийей степенной ряд, придавал переменной х конкретное значение х0. Получалсячисловой ряд. Суммой этого ряда Эйлер считал значение исходной функции вточке х0. Но это не всегда верно.1.
Это сумма геометричеРассмотрим пример. Пусть дана функция1+xской прогрессии, поэтому соответствующий ей степенной ряд будет иметь вид:1 – х + х2 – х3 + х4 – ...Пусть х = 1. Подставив это значение в степенной ряд, получим числовой1ряд: 1 – 1 + 1 – 1 + .... Эйлер, полагая и в исходной функции х = 1, получал и2считал, что это и есть сумма ряда∞∑( −1) n . Он обосновал это следующим обра-n =0зом: если ввести обозначение 1 – 1 + 1 – 1 + ... = S и затем перенести первое слагаемое в правую часть, получим: – 1 + 1 – 1 + 1 – ...
= S – 1. Но тогда все, чтоостанется в левой части равенства, можно считать равным –S. Значит, получа1ется: –S = S – 1, откуда 1 = 2S; S = .2Однако последовательность частичных сумм числового ряда 1 –1 + 1 – 1 +... не имеет предела, т.е. этот ряд расходится. Степенной ряд 1 – х + х2 – х3 + ...1сходится только в интервале (–1, 1), и именно в этом интервале функция1+x234разлагается в ряд 1 – х + х – х + х – ...
.О том, что расходящийся ряд не имеет суммы, ученые стали догадыватьсятолько в XIX в., хотя в XVIII в. многие, и прежде всего Л. Эйлер, много работали над понятиями сходимости и расходимости. Эйлер называл ряд∞∑ unn =1схо-дящимся, если его общий член un стремится к нулю при возрастании n. Однакоэто условие лишь необходимо для сходимости ряда. Возможны случаи, когдаобщий член ряда стремится к нулю, а ряд расходится, например, расходящийся∞1гармонический ряд ∑ , общий член которого, очевидно, стремится к нулю.n =1 nВ теории расходящихся рядов Эйлер получил немало существенных результатов, однако результаты эти долго не находили применения. Еще в 1826 г.Н.
Г. Абель (1802—1829) называл расходящиеся ряды «дьявольским измышлением». Результаты Эйлера нашли обоснование лишь в конце XIX в. В современной математике расходящиеся ряды составляют важный раздел.Вернемся к вопросу о сумме сходящегося ряда. В формировании этого понятия большую роль сыграл французский ученый О. Л. Коши (1789—1857). Онсделал чрезвычайно много не только в теории рядов, но и в теории пределов, вразработке самого понятия предела. В любом курсе математического анализавстречается много теорем Коши, связанных с этим понятием. Именно Кошизаявил в 1826 г., что расходящийся ряд не имеет суммы. Он же сформулировалкритерий сходимости рядов.В сходящемся ряде∞∑ un , где un > 0, величинаn =1S n + p − S n , ∀p ∈ N стре-мится к нулю, когда n стремится к бесконечности.
Более и более точные приближения одной и той же величины должны сами между собой меньше именьше различаться. Из этого критерия следует и необходимый признак сходимости, который был известен еще в XVIII в.: если ряд сходится, его общий членстремится к нулю.В самом деле, из сходимости ряда имеем:S n + p − S n → 0 , ∀p ∈ 1 , 2 , ... .Можно представить, что р = 1. ТогдаS n + 1 − S n = un + 1 , un + 1 → 0 .n →∞Особое значение критерия Коши заключается в том, что он не только необходимое, но и достаточное условие сходимости ряда.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
