МУ - Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии (1238755), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Найдем коэффициенты Фурье:1 π1 01π1a0 = ∫ f ( x )dx = ∫ 1 dx + ∫ ( −1) dx = xπ −ππ −ππ0π1− xππ=00−−π11[ 0 − ( −π)] = ( π − 0 ) = 1 − 1 = 0.ππ1 π1 01πan = ∫ f ( x ) cos nx dx = ∫ cos nx dx − ∫ cos nx dx =π −ππ −ππ01 sin nx=π n0−π1 sin nx−π nπ= 0.01 π1 01πbn = ∫ f ( x ) sin nx dx = ∫ sin nx dx − ∫ sin nx dx =π −ππ −ππ01 cos nx=−π n0−π1 cos nx+π nπ=−01(cos 0 − cos nπ) +πn122(cos πn − cos 0 ) = (cos πn − cos 0 ) =[( −1) n − 1].πnπnπn4.Таким образом: a0 = 0, an = 0, b2n = 0, b2 n +1 = −π( 2 n − 1)Значит,4 ∞ sin( 2 n − 1) x4  sin x sin 3 x sin 5 xf( x) = − ∑=− +++ ...  .35π n =1 2 n − 1π 1Точкой разрыва является точка х = 0. В ней сумма ряда равна:f ( −0 ) + f ( 0 ) 1 + ( −1 )==0.22На концах отрезка сумма ряда равна:f ( −π) + f ( π) 1 + ( −1)==0.22Нарисуем график суммы ряда S(x).+−ππ2π3π4πИтак, полученный ряд сходится к функции f(x) во всех точках х ∈ (–π, π),где функция f(x) непрерывна.

В точке х = 0 S(x) = 0.Отметим, что функция нечетная, а потому можно было не вычислять коэффициенты an. Ряд Фурье для нечетной функции есть ряд синусов, а для четной — ряд косинусов.Пример 2. Разложить функцию f(x) = x2 (0 < x < 2π) в ряд Фурье.Продолжим функцию на всю числовую ось с периодом Т = 2π.Y−4π−2π02π4π ХПродолженная функция не является ни четной, ни нечетной. Вычислим еекоэффициенты Фурье:1a0 =π1π2π1bn =π2πan =∫x20∫x2cos nx dx =4n2sin nx dx = −02π1 x32∫ x dx = π 302π08π2=.3.4πn2.∞∞ π2cos nxsin nx f ( x ) = 4+∑−π∑ n .23n==1n1nОтметим следующий весьма важный факт: разложение функции в ряд Фурье не единственно.Пример 3. Пусть f(x) = x, 0 ≤ x ≤ π.Y0πXПродолжив эту функцию нечетным образом на отрезок [–π, 0], а затем навсю ось с периодом Т = 2π, получим нечетную функцию, график которой изображен ниже.f(x) = x, –π <x ≤ π.Y3ππ−π02π4πХРазложив такую функцию в ряд Фурье, получим:π11 x2a0 = ∫ x dx =π −ππ 2π= 0.−ππππ11  sin kx1a k = ∫ x cos kx dx =  x− ∫ sin kxdx  = 0.k −π k −ππ −ππ πππ11cos kx1bk = ∫ x sin kx dx = − xcos kxdx  =+k − π k −∫ππ −ππ 2= ( −1) k +1 .kПолучим ряд синусов:sin kx sin x sin 2 x sin 3 x−+− ...

+ ( −1) k + 1+ ....f ( x ) = 223k 1Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждойточке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справаи слева, т.е. нулю.Однако эту же функцию f(x) = х можно продолжить на отрезок [–π, 0]четным образом. Тогда на отрезке [–π, π] функция будет определена так:−π≤ x ≤0− xf( x) = , или f ( x ) = x , − π ≤ x ≤ π .<≤πx0xЭта функция, как и первая, будет кусочно монотонной и ограниченной наотрезке − π ≤ x ≤ π .Продолжим ее на всю ось с периодом Т = 2π.Y−π0π2πОпределим коэффициенты Фурье:π1 π10a0 = ∫ f ( x )dx =  ∫( − x )dx + ∫ x dx  = π ,π −ππ − π03π4πХ0π1a k =  ∫ ( − x ) cos kx dx + ∫ x cos kx dx  =π − π01  − x sin kx= π k0−π01x sin kx+ ∫ sin kx dx +k −πkπ0π1− ∫ sin kx dx  =k0π − cos kx 0cos kx 2+(cos k π − 1) ==2kk0−π πk0 при k четном= 4при k нечетном ;−2 πkπ10bk =  ∫ ( − x ) sin kx dx + ∫ x sin kx dx  = 0.π − π0Таким образом, получаем ряд:cos( 2 p + 1) xπ 4  cos x cos 3 x cos 5 x.f ( x ) = −  2 +......++++2222 π 135( 2 p + 1)1=πkЭтот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна функции f ( x ) = x ,заданной на отрезке [–π, π].Список использованных источников1.

Белл Э. Т. Творцы математики. — М.: Просвещение, 1979.2. Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник.— Киев: Наукова Думка, 1983.3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1984.4. Маркушевич А. И. Ряды. — М.: Гостехиздат, 1957.5. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление.

— М.:Физматгиз, 1961.6. Рахимова И. К. Исторический обзор первого этапа развития теории колебаний. — Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1984.7. Толстов Г. П. Ряды Фурье. — М.: Физматгиз, 1960.8. Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д. Элементы математической физики. —М.: Наука, 1973.9. Данко П.

Е., Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях и задачах.Ч. II. — М.: Высшая школа, 1974.10. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. — М.: Наука, 1970.11. Щипачев В. С. Сборник задач по высшей математике. — М.: Высшаяшкола, 1994..

Характеристики

Список файлов книги