МУ - Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии (1238755), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Именно этим объясняется особая рользнакоположительных рядов во всей рассматриваемой теории.Рассмотренные два вида числовых рядов — знакоположительные и знакочередующиеся — используются нами для исследования функциональных рядов, среди которых наиболее применимы в механике и различных разделах физики степенные и тригонометрические ряды. Ряды Тейлора и Маклорена относятся к степенным рядам.

Обратимся теперь к истории возникновения тригонометрических рядов.3 Тригонометрические рядыВо второй половине XVIII в. началось активное развитие математики,близкой к современной, когда такие понятия, как функция, дифференциальноеуравнение, ряд стали приобретать тот смысл, который в них сейчас вкладываеммы. К этому времени ученые уже отдавали себе отчет в том, что существуютгеометрическая и аналитическая модели всего, что происходит в природе и технике. При этом аналитическая модель продуктивнее, поскольку, как правило,обобщает данные, которые можно получить средствами геометрии.

Именно вXVIII в., в 1715 г., исходя из соображений механики и геометрии, Брук Тейлорвывел уравнение, описывающее малые колебания струны с закрепленнымиконцами.В современном виде оно выглядит так:2∂2 y2 ∂ y.(11)=a∂t 2∂x 2Это дифференциальное уравнение с частными производными, с которогоначала свое развитие математическая физика.Рассматривается натянутая однородная струна, расположенная вдоль осиОХ, закрепленная на концах в точках х = 0 и х = l (l — длина струны). Еслиотклонить струну от положения равновесия (или придать ее точкам некоторыескорости), то струна начнет колебаться. Рассматривая только малые колебанияструны, длину ее можно считать неизменной.

Будем считать колебания происходящими в одной плоскости XOY таким образом, что каждая точка струныдвижется в направлении, перпендикулярном оси ОХ. Пусть y = y(x, t) — величина отклонения в момент t точки струны с абсциссой х. При каждом фиксированном значении t = t0 график функции y = y(x, t0) дает форму струны.Сформулируем задачу геометрически: зная форму струны и скорость ееточек в начальный момент времени t = 0, найти отклонение каждой точки струны в любой момент времени t.Соответствующая аналитическая формулировка: решить уравнение (11)при граничных условияху = у(0, t) = y(l, t) = 0и при начальных условиях∂y( x , 0 )y(x, 0) = f(x);= g( x ) ,∂tгде f(x) и g(x) — заданные непрерывные функции, обращающиеся в нуль при x= 0 и x = l.AT2Bϕ + ∆ϕϕT10xx+∆lXТейлор нашел частное решение уравнения (11), которое в его работе, конечно, было выведено в других обозначениях.Частное решение представляло собой периодическую функцию, близкую кфункции, которую в современных обозначениях можно записать так:y = A sin( ωx + ϕ) .(12)Такая функция называется гармоникой с амплитудой A , частотой ω и начальной фазой ϕ.

А, ω, ϕ — постоянные, ω связана со струной, а А и ϕ — произвольные. Понятие гармоники связано с задачей механики о простейшем колебательном движении — гармонических колебаниях.Пусть материальная точка М с массой m движется по прямой под действием силы F, пропорциональной расстоянию S точки М от фиксированной точкиО и направленной к точке О.FOMSF = –k S,где k > 0 — коэффициент пропорциональности.d 2Sm 2 = − kSdtилиd 2S+ ω2 S = 0 ,(13)2dtkk.где ω2 = , откуда ω =mmРешением полученного дифференциального уравнения (13) будет функцияS = A sin( ωt + ϕ) , где А и ϕ — постоянные, которые можно вычислить, знаяположение и скорость точки М в момент времени t = 0.

S есть периодическая2π. Значит, под действием описанной такимфункция времени t с периодом T =ωобразом силы F точка М будет совершать колебательное движение.2π. Действительно, при любом хФункция (12) имеет период T =ω 2π A sin ω x + + ϕ = A sin[(ωx + ϕ) + 2 π] = A sin( ωx + ϕ).ω Амплитуда A есть максимальное отклонение точки М от О. Величина1T2πесть числоTколебаний за отрезок времени 2π. Величина ϕ — начальная фаза — характеризует положение точки М в начальный момент, так как при t = 0 S0 = A sinϕ.Всякую гармонику можно представить в видеа cos ωt + b sin ωt,и обратно, всякая функция такого вида есть гармоника.2π2π π, ω== .

Тогда гармоника с периодом T =Пусть T = 2l; тогда T =ωTl2l может быть записана так:πxπx+ b sin.a cosllРассмотрим гармоники видаπkxπkx+ bk sin, k = 1, 2 , ...(14)ak cosll2 π 2lπkс частотами ωk =и периодами T k == ; так как T = 2l = kTk, число T =ωk kl2l является периодом для всех гармоник вида (14) сразу, поскольку период, умноженный на целое число, опять дает период.Теперь рассмотрим бесконечный тригонометрический ряд∞πkxπkx (15)A + ∑  ak cos+ bk sin.llk = 1Если он сходится, то сумма его также представляет собой функцию периода 2l. Трактуя каждую гармонику как простое гармоническое колебание, а сумму ряда (15) — как характеристику сложного колебательного движения, получим разложение этого движения в сумму отдельных гармонических колебаний.Это стало ясным уже в XVIII в.В 1748 г.

в одной из своих пятнадцати работ, посвященных задаче о колебаниях струны, Эйлер дает решение одного из частных случаев уравнения в виде тригонометрического ряда, а в 1753 г. Д. Бернулли (1700—1782) предлагаетуже общее решение уравнения в аналогичной форме, исходя из того, что звук,издаваемый колеблющейся струной, складывается из основного тона и бесконечного множества обертонов. Эйлер считал такую форму представленияфункции недостаточно общей. Встал вопрос: какой же класс функций можетбыть представлен тригонометрическими рядами? Ответить на него удалосьтолько в XIX в.В 1807 г. Ж.

Б. Фурье (1756—1830) в работах по аналитической теории тепла доказал, что функции, заданные на конечных участках отрезка [–l, l] различными уравнениями, представимы на любом таком отрезке рядом— это число колебаний в единицу времени. Следовательно, ω =∞a0πnxπnx f( x) →+ ∑  an cos+ bn sin,2 n = 1ll где коэффициентами являются выражения:1 la0 = ∫ f ( x ) dxl −l1 lπnxdx , n = 1, 2 , ...an = ∫ f ( x ) cosll −l1 lπnxbn = ∫ f ( x ) sindx , n = 1 , 2 , ...l −llТакой ряд называется рядом Фурье.Поясним с помощью чертежа, какие функции имеются в виду. Пусть, например, график функции на отрезке [–l, l] выглядит так:− l0lили так− l− а0аlСтановится ясно, что если речь идет о графике периодической функции, тона языке современной математики это должна быть функция, которая кусочномонотонна на заданном интервале — периоде (–l, l).Определение.

Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [а,b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек x 1 , x 2 , ... x n −1 наинтервалы ( a , x 1 ); ( x 1 , x 2 ); ... ( x n − 1 , b ) так, что на каждом из этих интерваловфункция монотонна, т.е. либо невозрастающая, либо неубывающая.Из определения следует, что если функция f(x) — кусочно-монотонная иограниченная на отрезке [а, b], то она может иметь только точки разрыва первого рода. Действительно, если х = с есть точка разрыва функции f(x), то в силумонотонности функции существуют пределыlim f ( x ) = f ( c − 0 );x → c −0lim f ( x ) = f ( c + 0 ) , т.е. точка с есть точка разрыва первого рода.x →c +0Теорема 8.

Если периодическая функция f(x) с периодом 2π кусочномонотонная и ограниченная на отрезке [–π, π], то ряд Фурье, построенный дляэтой функции, сходится во всех точках.Сумма полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в точках ее непрерывности. В точках разрыва функции f(x) сумма ряда равняется среднемуарифметическому пределов функции f(x) справа и слева:f ( c − 0) + f ( c + 0).2f( с - 0)S( x )x = c =−π− сf( с + 0)сπПусть дана функция f(x), удовлетворяющая условиям теоремы. Предположим, что она периодическая с периодом 2π. Тогда везде, где она непрерывна,справедливо равенство:∞a0f( x) =+ ∑ (an cos nx + bn sin nx ) .(16)2 n =1Пусть знакоположительный числовой рядa0+ a1 + b1 + a2 + b2 + ... + an + bn + ...(17)2сходится.

Каждый член этого ряда по модулю не меньше соответствующегочлена ряда, стоящего в правой части равенства (16).В таком случае говорят, что ряд (17) мажорирует ряд из равенства (16).Ряд, мажорируемый сходящимся рядом (17), а следовательно, и равенство (16),можно интегрировать почленно от –π до π, что мы и сделаем:πππ∞  πa0.f(x)dxdxacosnxdxbsinnxdx=++∑ ∫ n∫∫ 2∫ nn = 1 − π−π−π−πВычислим отдельно каждый интеграл из правой части этого равенства.πa0∫ 2 dx = πa0 ;−πππan sin nx==acosnxdxacosnxdxn ∫∫ nn−π−πππbn cos nx∫ bn sin nx dx = bn ∫ sin nx dx = − n−π−ππ= 0;−ππ= 0.−πСледовательно,π∫ f ( x )dx = πa0 ,−πоткуда1 πa0 = ∫ f ( x )dx .(18)π −πМы получили первый коэффициент для ряда Фурье функции f(x).Чтобы получить формулы для остальных коэффициентов этого ряда, рассмотрим предварительно некоторые определенные интегралы.Если n и k — целые числа, то имеют место следующие равенства:если n ≠ k, тоπcosnxcoskxdx0=∫−ππ(I)∫ cos nx sin kxdx = 0  ,−ππ∫ sin nx sin kxdx = 0 −πесли n = k, тоπ2coskxdx=π∫−ππ(II)∫ sin kx cos kx dx = 0  .−ππ2∫ sin kx dx = π−πВычислим, например, первый интеграл из группы (I).1Так как cos nx ⋅ cos kx = [cos( n + k ) x + cos( n − k ) x ], то2π1 π1 π∫ cos nx ⋅ cos kx dx = 2 ∫ cos( n + k ) x dx + 2 ∫ cos( n − k ) x dx = 0 .−π−π−πПодобным же образом, используя тригонометрические формулы для произведений синусов и синуса на косинус, мы получим и остальные формулы изгруппы (I).Интегралы группы (II) вычисляются непосредственно, и это предлагаетсясделать самостоятельно.Теперь можно вычислить коэффициенты ak и bk ряда из равенства (16).

Дляразыскания коэффициента ak при каком-либо определенном значении k ≠ 0 умножим обе части равенства (16) на cos kx:f ( x ) cos kx =∞a0= cos kx + ∑( an cos nx cos kx + bn sin nx cos kx ) .2n =1(19)Члены ряда, получившегося в правой части этого равенства, не превосходят по модулю членов сходящегося знакоположительного ряда (17). Поэтомуможно почленно интегрировать ряд из равенства (19) на любом отрезке:πa0 π∫ f ( x ) cos kx dx = 2 ∫ cos kxdx +−π−π+∞πn =1−π∑( an ∫ cos nx cos kxdxπ+ bn ∫ sin nx cos kxdx ) .−πПринимая во внимание формулы (I) и (II), видим, что все интегралы в правой части равны нулю, кроме интеграла с коэффициентом ak. Следовательно,ππ−π−π∫ f ( x ) cos kx dx = ak ∫ cos2kx dx = ak π ,откуда1 πak = ∫ f ( x ) cos kx dx .π −π(20)Умножая обе части равенства (16) на sin kx и снова интегрируя от –π до π,найдем:ππ−π−π∫ f ( x ) sin kx dx = bk ∫ sin2kx dx = bk π ,откуда1 πbk = ∫ f ( x ) sin kx dx .(21)π −πТаким образом, мы вывели коэффициенты ряда Фурье для функции с периодом 2π.

Рассуждая аналогично, можно было бы вывести формулы для коэффициентов ряда Фурье функции с периодом 2l.Рассмотрим примеры разложения функций в ряд Фурье.Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию:если − π ≤ x < 01 ,f( x) = − 1, если 0 ≤ x ≤ π1−πО−1πХПродолжив эту функцию периодически с периодом 2π на всю ось, получимфункцию, разложимую в ряд Фурье.

Характеристики

Список файлов книги