МУ - Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии (1238755), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Иными словами, если в некотором ряде разность двух частичных сумм S n + p − S n , т.е. величина un+1 + un+2+ ... + un+p по модулю может быть сделана сколь угодно малой при достаточнобольшом n и ∀ p = 1, 2, ..., то ряд u1 + u2 + ... + un + ... сходится.На практике мы обычно пользуемся не критерием Коши, а четырьмя достаточными признаками сходимости знакоположительных рядов.1.1 Признаки сравнения, доказанные КошиТеорема 1.

Пусть даны два знакоположительных ряда:u1 + u 2 + ... + u n + ...(1)v1 + v2 + ... + vn + ...(2)Если члены ряда (1) не больше членов ряда (2), т.е.u n ≤ vn ( n = 1, 2 , 3 , ...)(3)и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).Теорема 2. Пусть даны ряды (1) и (2). Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), т.е.u n ≥ vn(4)и ряд (2) расходится, то и ряд (1) расходится.Теорема 3 (предельная форма признака сравнения). Пусть даны два ряда(1) и (2).

Еслиulim n = A > 0 ,(5)n →∞ v nто эти ряды одновременно сходятся или расходятся.1.2 Признак Д’АламбераВ 1768 г. французский математик и философ Ж. Л. Д’Аламбер исследовалотношение последующего члена к предыдущему в биномиальном ряде и показал, что если это отношение по модулю меньше единицы, то ряд сходится. Коши в 1821 г. доказал теорему, излагающую в общем виде признак сходимостизнакоположительных рядов, называемый теперь признаком Д’Аламбера.Теорема 4.

Если в ряде с положительными членамиu1 + u 2 + ... + u n + ...(6)отношение (n + 1)-го члена к n-му при n → ∞ имеет конечный предел l, т.е.ulim n + 1 = l ,(7)n →∞ unто:1) ряд сходится в случае l < 1,2) ряд расходится в случае l > 1.В случае l = 1 теорема не дает ответа на вопрос о сходимости ряда (1).uЗамечание. Ряд будет расходиться и в случае, когда lim n + 1 = ∞ . Это слеn → ∞ unuдует из того, что если lim n + 1 = ∞ , то, начиная с некоторого номера n = N, буn → ∞ unuдет иметь место неравенство n + 1 > 1 или un + 1 > un .unuЕсли предел lim n + 1 не существует или равен единице, то признакn → ∞ unД’Аламбера не дает возможности установить, сходится ряд или расходится. Та-кой ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся. Однако, еслиuulim n + 1 = 1 , но отношение n + 1 для всех номеров n, начиная с некоторого,n → ∞ ununuбольше единицы, то ряд расходится.

Это следует из того, что если n + 1 > 1 , тоunun + 1 > un и общий член не стремится к нулю при n → ∞ [5].1.3 Радикальный признак КошиТеорема 5. Если для ряда с положительными членамиu1 + u 2 + +u3 ... + u n + ...величинаnun имеет конечный предел l при n → ∞, т.е. limnn →∞1) в случае l < 1 ряд сходится;2) в случае l > 1 ряд расходится.Как и в признаке Д’Аламбера, случай limn →∞nu n = l , то:un = l = 1 требует дополни-тельного исследования, так как среди рядов, удовлетворяющих этому условию,могут встретиться как сходящиеся, так и расходящиеся.Во всех случаях, когда признак Д’Аламбера дает ответ на вопрос о сходимости ряда, этот ответ можно получить и с помощью признака Коши.

Обратноеутверждение неверно, т.е. признак Коши сильнее признака Д’Аламбера. Ясно,однако, что во многих случаях и этого признака недостаточно для характеристики поведения ряда.1.4 Признак РаабеСформулируем признак, полученный швейцарским математиком ЙозефомЛюдвигом Раабе (1801—1859). При использовании этого признака данный ряд∞∞11сравнивается со сходящимся рядом ∑ 1 + σ ( σ > 0 ) или расходящимся ∑ .n =1 nn =1 nВведем так называемую варианту Раабе: aR n = n n − 1  . an + 1Признак Раабе: если при достаточно больших n выполняется неравенство Rn≥ r, где r — постоянное число, большее единицы, то ряд сходится; если же, начиная с некоторого места, Rn ≤ 1, то ряд расходится.На практике применяется преимущественно предельная форма признакаРаабе.Допустим, что варианта Rn имеет предел (конечный или нет):lim R n = R .n →∞Тогда при R > 1 ряд сходится, а при R < 1 — расходится.Сравним признаки Д’Аламбера и Раабе.an + 1= Dn — варианта Д’Аламбера.

Если lim Dn = D существует иn →∞an 1− 1  существует предел, равный +∞ приотличен от единицы, то для R n = n DnD < 1 и равный –∞ при D > 1. Таким образом, если признак Д’Аламбера даетответ на вопрос о поведении данного ряда, то признак Раабе и подавно его дает.При этом все такие случаи охватываются двумя значениями R: R = ±∞.

Все остальные значения R, кроме R = 1, также дают ответ на вопрос о сходимости ряда, причем соответствуют случаям, когда D = 1 и признак Д’Аламбера ответа наэтот вопрос не дает.Если же R = 1, то и признак Раабе не подходит для исследования ряда. Вэтом случае можно обратиться к еще более сильным признакам.Пусть1.5 Признак КуммераПризнак, принадлежащий немецкому математику Эрнсту Эдуарду Куммеру (1810—1893), можно рассматривать как общую схему для построения признаков сходимости рядов.Признак КуммераПусть c1, c2, ..., cn, ... — произвольная последовательность положительных∞1расходится.чисел, такая, что ряд ∑cn =1 nРассмотрим знакоположительныйряд∞∑ an ; выражениеn =1an− cn + 1an + 1назовем вариантой Куммера для этого ряда.

Если для ∀n > N выполняется неравенство Kn ≥ δ, где δ = const, δ > 0, то ряд сходится. Если же ∀n > N Kn ≤ δ, торяд расходится.Предельная форма признака КуммераДопустим, что варианта Куммера имеет конечный или бесконечный предел:lim K n = K .K n = cnn →∞Тогда при K > 0 ряд сходится, а при K < 0 — расходится.Некоторые признаки сходимости можно рассматривать как частные случаипризнака Куммера:∞1расходится. Если Dn → D , то1. Пусть cn = 1. Тогда ряд ∑n →∞cn =1 n1K n → K = − 1 (K = +∞, если D = 0; K = –1, если D = +∞).n →∞DПри D > 1 очевидно, что K < 0 и, по признаку Куммера, ряд расходится;если же D < 1, то K > 0 и ряд сходится. Мы получили, таким образом, признакД’Аламбера.2. Теперь будем считать cn = n.∞1Ряд ∑ расходится. Выражение Kn получает вид:n =1 naK n = n n − ( n − 1) = R n − 1 .an + 1Если R n → R , то K n → K = R − 1 (К = ±∞, если R = ±∞).n →∞n →∞При R > 1 будет K > 0 и по признаку Куммера ряд сходится.

Если же R < 1,то K < 0 и ряд расходится. Мы получили признак Раабе.3. Теперь возьмем cn = n ln n (n ≥ 2). Такой выбор допустим, поскольку ряд∞1∑ n ln n расходится.n =1В этом случаеn +1n +1  an 11− 1  − 1 − ln 1 + = B n − ln 1 +  .K n = ln n nnna   n +1Bn — это новая варианта:  a B n = ln n n n − 1  − 1 = ln n ⋅ ( R n − 1) .   a n +1Отсюда получается новый признак сходимости, полученный французскимматематиком Жозефом Луи Франсуа Бертраном (1822—1900), который, как иКоши, окончил знаменитую Парижскую Политехническую школу и затем в нейработал.1.6 Признак БертранаДопустим, что варианта Bn имеет предел (конечный или нет):lim B n = B .n →∞Тогда при B > 1 ряд сходится, а при B < 1 — расходится.

В самом деле,n +11так как lim ln 1 + = ln e = 1 , то варианта Куммера Kn стремится к пределуn →∞ nK = B – 1 (K = +∞, если B = +∞). Теперь остается опять сослаться на признакКуммера.Таким образом, мы видим целую цепь все усиливающихся, но при этом усложняющихся признаков сходимости рядов, причем эта цепь может неограниченно продолжаться.Когда математиками XIX в. была выстроена эта цепь, из нее легко был получен признак, который, как и признак Д’Аламбера, был сформулирован значительно раньше.

Мы видим, таким образом, один из многих примеров того, какоткрытие, опередившее время, спустя многие десятилетия заняло должное место в сформировавшейся к этому времени теории.Этот признак получен величайшим немецким математиком рубежаXVIII—XIX вв. Карлом Фридрихом Гауссом (1777—1855).1.7 Признак ГауссаДопустим, что для знакоположительного ряда∞∑ anотношениеn =1anмоan + 1жет быть представлено в виде:anµ θ= λ + + n2 ,an + 1n nгде λ и µ — постоянные, а θn есть ограниченная величина: θn ≤ L ; тогда рядсходится, если λ > 1 или если λ = 1, µ > 1, и расходится, если λ > 1 или λ = 1, µ ≤1.Случаи, когда λ > 1 или λ < 1, приводятся к признаку Д’Аламбера, так какa1lim n + 1 = .n → ∞ anλПусть теперь λ = 1. Тогда 1θ− 1  = µ + n ; R = µ ,R n = nn Dnи случаи µ > 1, µ < 1 исчерпываются признаком Раабе.Наконец, если µ = 1, тоln nB n = ln n ⋅ ( R n − 1) =⋅ θn .nln nТак как lim= 0 , а θn ограничена, то B = lim B n = 0 , и по признакуn →∞ nn →∞Бертрана ряд расходится.Следующий признак сходимости знакоположительного ряда отличается поформе от всех предыдущих.

Он основан на идее сопоставления ряда с интегралом и доказан О. Л. Коши.1.8 Интегральный признак КошиТеорема 6. Пусть члены рядаu1 + u 2 + u3 + ... + u n + ...положительны и не возрастают, т.е.u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ ... ≥ un ≥ ... ,и пусть f(x) — такая непрерывная невозрастающая функция, чтоf ( 1) = u1 ; f ( 2 ) = u 2 ; ...; f ( n ) = u n .Тогда справедливы следующие утверждения:(8)(9)∞1) если несобственный интеграл∫ f ( x ) dxсходится, то сходится и ряд (1);12) если такой интеграл расходится, то расходится и ряд (1).2 Знакочередующиеся ряды и признак их сходимостиРассмотренные выше знакоположительные ряды, играющие важную роль висследовании функциональных рядов, не исчерпывают, однако, все случаи числовых рядов, которые могут встретиться при этом исследовании.

Как мы ужевидели на примере ряда∞∑( −1) n , важную роль играют и знакочередующиесяn =1ряды. Для исследования сходимости таких рядов используется признак Лейбница.Г. В. Лейбниц (1646—1716), великий немецкий математик и философ, наряду с И. Ньютоном является основоположником дифференциального и интегрального исчисления.Рассмотрим ряд:u1 − u 2 + u3 − u4 + ...(10)где u1 , u2 , u3 ,...

положительны.Теорема 7. Если в знакочередующемся ряде (10) абсолютные величины егочленов все время убывают и, кроме того, стремятся к нулю, то такой ряд сходится.Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютныхвеличин его членов. Абсолютно сходящиеся ряды обладают целым рядомсвойств, облегчающих решение многих задач. Для таких рядов справедлив переместительный закон; члены такого ряда можно группировать и объединять вскобки (раскрывать скобки не всегда можно); сумму абсолютно сходящегосяряда можно рассматривать как разность суммы ряда из положительных членови суммы ряда из модулей отрицательных членов. Поэтому решение многих задач, связанных как с числовыми, так и с функциональными рядами, удобносводить к исследованию абсолютно сходящихся рядов, а тогда приходится работать со знакоположительными рядами.

Характеристики

Список файлов книги