ПЗ (1230771), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Дискретизация –это процесс замера амплитуды сигнала через определенные равные промежуткивремени, эти промежутки называются периодом дискретизации.На входе цифрового фильтра стоит АЦП, который и производит дискретизацию сигнала. Далее цифровые данные поступают на процессор, который согласно программе, производит необходимые вычисления, а после данные подаютсяна ЦАП, для того, чтобы преобразовать сигнал снова в аналоговый вид.При выборе частоты дискретизации сигнала, необходимо учитывать теоремуКотельникова. Теорема Котельникова: если сигнал таков, что его спектр ограничен частотой F, то после дискретизации сигнала с частотой не менее 2F можновосстановить исходный непрерывный сигнал по полученному цифровому сигналу абсолютно точно.При разложении в интеграл Фурье, функция раскладывается в сумму синусоид, коэффициенты этих синусоид называются спектрами.

Если после какой-тосинусоиды с определенной частотой спектры становятся равны нулю, то говорят, что функция ограничена данной частотой F [9].То есть согласно теоремы Котельникова, частота дискретизации должнабыть в два раза больше, чем частота ограничения сигнала. В другом случае, высокочастотные сигналы будут накладываться в зону низких частот, что приведетк появлению помех.Для реализации цифровых фильтров достаточно использовать всего несколько компонентов: сложение, умножение, вычитание и элемент задержки. Задержка является элементом памяти, она позволяет запоминать предыдущие зна-ДП 23.05.03.18.153.ПЗИзмЛист№ документаПодписьДатаЛист21чения сигнала и учитывать их для получения выходной характеристики.

На слабых процессорах может отсутствовать возможность умножение, тогда она заменяется сложением, что приводит к замедлению работы фильтра. Считается, чтофильтр работает в режиме реального времени, если он успевает рассчитать ивыдать выходное значение до того, как на него поступит следующее входноевоздействие.Среди фильтров различают два основных типа: нерекурсивный и рекурсивный. Нерекурсивный фильтр имеет конечную импульсную характеристику, он неимеет обратной связи. Сигнал на выходе yi такого фильтра в момент времени tiзависит только от входного сигнала xi и предыдущих значений входного сигнала,алгоритм работы которого представлен формулойmyi  a0 xi  a1xi 1  a2 xi 2  ...

 am xi m   ak xi k ,(2.1)k 0где yi – значение выходного сигнала в момент времени ti;ai – весовые коэффициенты;m – порядок фильтра (максимальное число запоминаемых элементов).Схема работы фильтра представлена на рисунке 2.1.xiTa0Ta1Ta2Ta3anyi++++Рисунок 2.1 – Схема работы нерекурсивного режекторного фильтраКак видно из схемы, фильтр не имеет обратной связи и искомое значение навыходе yi находится из суммы выходного значения xi умноженного на коэффици-ДП 23.05.03.18.153.ПЗИзмЛист№ документаПодписьДатаЛист22ент а0 и предыдущих значений, умноженных на весовые коэффициенты an.

Элемент Т является элементом задержки, время задержки устанавливается равноепериоду дискретизации. Если подать на такой фильтр единичный импульс x0 = 1,то получим последовательность чисел, называемую импульсной характеристикой фильтра, в данном случае выходные значение совпадут с коэффициентамиan. Импульсную характеристику можно использовать для расчета выходных характеристик фильтра. Импульсная характеристика представлена на рисунке 2.2.y0=a0y1=a1a2...yi=an0tРисунок 2.2 – Импульсная характеристика нерекурисвного фильтраКак видно из рисунка 2.2 у нерекурсивного фильтра при воздействии на негоединичного импульса выходная характеристика не бесконечная и кончается накаком-то числе an, поэтому данный фильтр еще носит название КИХ – фильтр.Применив z-преобразование к выражению (2.1), получимY( z )  a0  a1z 1  a2 z 2  ...

 am z  m X(z) .(2.2)Разделив обе части выражения на X(z) получим следующую передаточнуюфункцию нерекурсивного фильтраH( z ) Y( z ) a0  a1z 1  a2 z 2  ...  am z  m .X( z )ДП 23.05.03.18.153.ПЗИзмЛист№ документаПодписьДата(2.3)Лист23Как видно из выражения (2.3), передаточная функция является полиномом z-1и имеет конечное число элементов.В отличии от нерекурсивного фильтра, рекурсивный фильтр имеет бесконечную импульсную характеристику, поэтому этот фильтр имеет еще одно названиеБИХ – фильтр. В рекурсивном фильтре применяется обратная связь, в следствииэтого, выходное значение yi зависит не только от входных значений, но и отпредыдущих выходных значений. Алгоритм расчета выходной характеристикидля такого фильтра описывается формулойyi  a0 xi  a1xi 1  a2 xi  2  ...

 am xi  m mnk 0k 1b1 yi 1  b2 yi  2  ...  bn yi  n   ak xi  k   bk yi k,(2.4)где bk – взвешенные коэффициенты для выходных значений.Получим передаточную характеристику данного фильтраY( z ) a0  a1z 1  a2 z 2  ...  am z  m.H( z ) X( z )1  b1z 1  ...  bn z  n(2.5)Как видно из формулы (2.5) передаточная функция данного фильтра представляет собой отношение двух полиномов.Фильтр имеет большую чувствительность к коэффициентам ak, bk его передаточной функции, а так как данные коэффициенты неизбежно приходитсяокруглять, то появляется погрешность вычисления, а при больших порядкахфильтра это может вызвать его неустойчивую работу, при этом не стоит забывать про суммирования накопленных ошибок в следствии наличия обратнойсвязи [4].Алгоритм работы рекурсивного фильтра, с помощью которого можно проследить путь прохождения сигнала, представлен на рисунке 2.3.ДП 23.05.03.18.153.ПЗИзмЛист№ документаПодписьДатаЛист24yia0xiT+TTb1b2Рисунок 2.3 – Схема работы рекурсивного фильтраНа рисунке 2.3 видно, что величина выходного сигнала yi получается за счетсуммирование входных значений xi, полученных в разные моменты времени, ипредыдущих выходных значений yi.В рекурсивных фильтрах требуется более высокая точность вычислений посравнению с нерекурсивными, из-за наличия обратной связи, так как в текущиерасчетах суммируются также ошибки предыдущих данных.

Увеличение точности ведет к необходимости использовать более мощные вычислительные процессоры, а также увеличивает продолжительность времени вычислений.ДП 23.05.03.18.153.ПЗИзмЛист№ документаПодписьДатаЛист253 РАСЧЕТ ЦИФРОВОГО РЕЖЕКТОРНОГО ФИЛЬТРАДля моделирования цифрового рекурсивного режекторного фильтра, можноиспользовать z плоскость. В данном разделе рассчитаем параметры фильтраданным методом и проверим в программе Matlab его работоспособность.3.1 Расчет рекурсивного фильтра нулевой частотыПростой режекторный цифровой имеет передаточную характеристику видаH( z )  GVn1(z),V p1(z)(3.1)где Vn1(z) – длина вектора из нуля функции до точки с определенной частотой накомплексной z плоскости;Vp1(z) – длина вектора из полюса функции до точки с определенной частотойна комплексной z плоскости;G – масштабный коэффициент.Нуль функции – это такое значение z, при котором передаточная характеристика стремится к нулю, а полюс функции – это значение z, при котором передаточная характеристика стремится к бесконечности.Комплексная z плоскость представлена на рисунке 3.1.1Vp1Im zZ(wi)0-1-1Vn1n1 p1wN0Re z1Рисунок 3.1 – Комплексная z плоскость при подавлении нулевой составляющейДП 23.05.03.18.153.ПЗИзмЛист№ документаПодписьДатаЛист26На рисунке 3.1 нуль функции принял значение n1 = 1, полюс функцииp1 = 1,01.

При таком расположении нулей и полюсов длины векторов Vn1 и Vp1будут примерны равны и их отношение будет равным 1 на всех частотах, кромечастоты равной нулю. Поэтому, коэффициент передачи данного фильтра будетравным нулю только при нулевой частоте, а, следовательно, будет гаситься постоянная нулевая составляющая сигнала.Данный фильтр будет стабильно работать от нуля до частоты Найквиста(wN).

Частота Найквиста равнаwN ,t(3.2)где t – период дискретизации, с.Частоты Найквиста – это частота, которая соответствует половине частотыдискретизации, сигналы с более высокой частотой, будут накладываться в зонунизких частот и искажать результат [4].3.2 Расчет рекурсивного фильтра частоты 50 ГцДля подавления произвольной частоты wv нули и полюса располагают наопределенном радиусе на z плоскости и на соответствующем радиальном угле.Расчет радиального угла производится по формулеv  wv.wN(3.3)В выражении (3.3) используется два знака, это означает, что для получениявещественной характеристики полюса и нулю должны быть комплексносопряженными парами, то есть можно записать это какДП 23.05.03.18.153.ПЗИзмЛист№ документаПодписьДатаЛист27Hv( z )  G z  zn   z  z*n z  zpz  z*p.(3.4)Нули фильтра находятся на радиусе единичной окружностиzn  cos v  j sin v  Re zn  j Im zn .(3.5)Полюса фильтра находятся на полярном радиусе Rz p  Rcos v  jR sin v  Re z p  j Im z P .(3.6)Подставляя (3.5) и (3.6) в формулу (3.4) получимHv( z )  Gz 2  2 z Re zn  11z 2  2 z Re z p.(3.7)R2Выразим масштабный коэффициент из формулы (3.7) с учетом того, что передаточная характеристика на частоте Найквиста H wN  1 , а z = -1, и получим1  2 Rez p1GR22  2 Re zn.(3.8)В типовой форме выражение (3.7) будет иметь видHv( z )  Gb0  b1z  b2 z 21  a1z  a2 z2.(3.9)Далее необходимо найти формулы для расчета коэффициентов фильтра, прирасчете данных коэффициентов полученный результат необходимо получить свысокой степенью точности, округление в данном случае должно быть минимальным.Присравненииформул(3.7)и(3.9)можноДП 23.05.03.18.153.ПЗИзмЛист№ документаПодписьДатавыделитьЛист28следующие расчетные формулы для коэффициентовb0  1,b1  2 Re zn ,b2  1,(3.10)a1  2 Re z pa2 1R2R2,.Алгоритм для вычисления выходной величиныyk  G  xk  b1xk 1  xk  2   a1 yk 1  a2 yk  2 .(3.11)Спроектируем режекторный фильтр с частотой подавления fv = 50 Гц.

Шагдискретизации t принимаем равным 0,002 с.Преобразуем формулу (3.2) с учетом того, что w = 2πf, и найдем частотуНайквистаfN 1,2t(3.12)Подставим в формулу (3.12) численные значения и получим:fN 1 250 Гц.2  0,002Для нахождения полюсов и нулей на комплексной z плоскости, которые соответствуют подавляемой частоте 50 Гц, найдем радиальный угол, подставивчисленные значения в формулу (3.3):v    2  50 0,2  0,06283 .2  250ДП 23.05.03.18.153.ПЗИзмЛист№ документаПодписьДатаЛист29Нанесем пары полюсов и нулей фильтра на комплексную z плоскость учитывая найденное значение радиального угла. Комплексная z плоскость для рекурсивного фильтра представлена на рисунке 3.2.1Im znp0,2π0wNn-1-10Re zp1Рисунок 3.2 – Комплексная z плоскость при подавлении частоты 50 ГцПринимаем полярный радиус R равным 1,01.

Чем сильнее радиус R стремиться к 1, тем будет более узкая полоса подавления, но также будет удлинятьсяимпульсная реакция, а это приведет к увеличению времени установления фильтра.Найдем численное значения нулей фильтра в комплексной форме используяформулу (3.5):zn  cos 0,2  j sin 0,2  0,809017  j 0,587785 .Найдем численное значения полюсов фильтра в комплексной форме используя формулу (3.6):z p  1,01  cos 0,2  j1,01  sin 0,2  0,81710717  j 0,59366285 .По формуле (3.8) вычислим масштабный коэффициент:1G1  2  0 ,817107171,0122  2  0 ,809017 0 ,9901261 .ДП 23.05.03.18.153.ПЗИзмЛист№ документаПодписьДатаЛист30По формуле (3.10) рассчитаем коэффициенты фильтра, при этом учитываемкак можно больше знаков для повышения качества работы фильтра:b0  1,b1  2  0,809017  1,618034 ,b2  1,a1  a2 2  0 ,817107171,01212 1,60201386 , 0 ,980296.1,01Согласно формуле (3.9) передаточная функция фильтра будет иметь вид1  1,617034 z  z 2H v ( z )  0,9901261.1  1,60201386 z  0,980296 z 2По формуле (3.11) найдем алгоритм для нахождения выходной величиныyk  0,9901261 xk  1,618034 xk 1  xk  2   1,60201386 yk 1  0,980296 yk  2 .3.3 Моделирование рекурсивного фильтра частоты 50 ГцЧтобы оценить рекурсивный фильтр, необходимо смоделировать его в виртуальной среде и проанализировать его рабочие характеристики.

Характеристики

Список файлов ВКР