Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ABSTRACT

The mathematical model of the groundwater level is considered in the work, its research is conducted for the existence and uniqueness of the solution. Numerical implementation of the problem using the finite element method. This work is of an analytical nature and has the novelty of applying the method of variational inequalities in the field of dynamics of groundwater. The results of the work can be generalized and applied to mathematical models of each hydrodynamic phenomenon.

Key words: groundwater, elliptical equation, flow field, functional, variational inequalities, finite elements method

РЕФЕРАТ

Математическая модель уровня грунтовых вод в изотропной среде

Выпускная квалификационная работа бакалавра, 57 страниц, 15 рис., 17 источников, 1 приложение.

ГРУНТОВЫЕ ВОДЫ, УРОВЕНЬ, МОДЕЛЬ, ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА, МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Объектом исследования являются грунтовые воды. Цель работы – исследование модели уровня грунтовых вод в изотропной среде с помощью теории вариационных неравенств.

Теоретико-методологическую базу исследования составляет научная литература по данной проблематике, публикации в специализированной периодической печати, например, в журнале «Математическое моделирование».

В процессе исследования была адаптирована известная математическая модель баланса масс подземных вод для целей работы. Сформулирована задача нахождения уровня грунтовых вод. Было доказано существование и единственность решения данной задачи.

Была проведена численная реализация модели на квадратной области с помощью метода конечных элементов.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 6

1 Элементы теории вариационных неравенств 10

1.1 Применение теории вариационных неравенств 10

1.2 Критерий минимизации выпуклого функционала 11

1.3 Существование решения задачи минимизации функционала 15

2 Математическая модель уровня грунтовых вод 17

2.1 Постановка задачи и получение математической модели уровня грунтовых вод 17

2.2 Об эквивалентности гладкой и вариационной задач 20

2.3 Существование и единственность решения вариационного неравенства 24

3 Численная реализация математической модели 26

3.1 Понятие о методе конечных элементов 26

3.2 Этапы метода конечных элементов 28

3.3 Вариационная постановка задачи 30

3.4 Конечноэлементная формулировка 31

3.5 Вывод расчетных формул 34

3.6 Линейный четырехугольный элемент 38

3.7 Вычисление матрицы жёсткости 41

3.8 Вычисление правых частей 45

3.9 Сборка матрицы жёсткости и вектора нагрузок 46

3.10 Учет граничных условий 48

3.11 Реализация и результаты работы программы 49

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 54

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 55

ПРИЛОЖЕНИЕ А программный код численной реализации модели 57

ВВЕДЕНИЕ

Объектом исследования в данной работе являются грунтовые воды. Одно из определений грунтовых вод таково – это подземные воды первого от поверхности земли подземного водоносного слоя (горизонта), который залегает выше первого водоупорного пласта (глинистого грунта, который не пропускает воду и не дает ей просачиваться глубже) [1].

Предметом исследования в данной работе является математическая модель уровня грунтовых вод в изотропной среде.

Актуальность исследований моделей динамики подземных вод, в частности стационарной модели грунтовых вод, обусловлена необходимостью знания уровня подземных вод при строительстве зданий, сооружений, при разведке запасов подземных водных ресурсов, а также в деятельности связанной с защитой подземных вод от загрязнения [3].

Для человека подземные воды – это ценный ресурс. Вода, просачиваясь в глубь, проходит через ряд природных фильтров – слоев горных пород различной плотности и тем самым прекрасно очищается. Подземная вода является лучшей, чистейшей питьевой водой.

Растущая техногенная нагрузка на окружающую среду привела к тому, что подземные воды подверглись загрязнению. Загрязнение подземных вод происходит в процессе фильтрации (просачивания) вредных веществ с поверхности. В напорные водоносные горизонты химические загрязнения поступают из подземных вод по стволу водозаборной или разведочной скважины при ее плохой изоляции от смежных водоносных горизонтов. Химические загрязнения в водоносных горизонтах могут распространяться на огромные расстояния. Поэтому знание уровня подземных вод, а также поля течения делает исследования в этой области жизненно необходимыми.

Также актуальность данной темы касается подземного строительства. Подземное строительство сопровождает процесс развития больших городов. Современные города невозможно представить без подземных сооружений в виде метро, коллекторов, переходов, дорожных развязок, гаражей и помещений разного назначения. Интенсивность освоения подземного пространства зависит от многих факторов, в том числе и от характера гидрогеологических условий территории города.

Целью данной работы является исследование математической модели уровня грунтовых вод в изотропной среде с помощью теории вариационных неравенств. Данная цель достигается через следующие задачи:

• изучить результаты вариационного исчисления в необходимом объеме,

• адаптировать математическую модель (поставить гладкую задачу),

• сформулировать вариационную задачу,

• доказать эквивалентность этих задач,

• доказать существование и единственность решения вариационной, и как следствие, гладкой задач,

• провести численную реализацию с применением метода конечных элементов. Использовать языки программирования C++ и Python.

Проблема уровня грунтовых вод рассмотрена в работах Я. Бэр, Д. Заславски, С. Ирмей – «Физико-математические основы фильтрации воды», Ф.М. Бочевер, Н.Н. Лапшин «Защита подземных вод от загрязнения» и в статье Л.А. Крукиер, И.В. Шевченко «Сравнение моделей гравитационного режима течения грунтовых вод».

Новизна данной работы заключается в использовании теории вариационных неравенств применительно к исследованию математической модели.

Теоретическая значимость работы состоит в систематизации теоретических знаний по проблеме исследования, а также в том, что результаты данного исследования могут быть использованы в этой области в последующих исследованиях других моделей описывающих уровень или поле течения подземных вод.

В данной работе используются следующие методы: метод анализа литературы, метод сравнения, теоретический анализ и синтез, конкретизация и идеализация, обобщение.

Вариационный метод [4] — мощный теоретический инструмент исследования явлений и процессов в технических устройствах, природе, живых организмах и сообществах. Сила метода в том, что наиболее общие его утверждения и теоремы сами являются законами природы.

Суть вариационного подхода к определению истинного состояния системы заключается, как известно, в сравнении нескольких близких состояний и использовании таких критериев отбора, которые позволяют удовлетворить всем уравнениям и условиям задачи. В исторически первой вариационной теории, построенной Лагранжем для определения механических систем с голономными удерживающими связями, — принципе возможных перемещений, — в качестве критерия отбора использовано равенство нулю работы сил, действующих на систему и предполагаемых неизменными при бесконечно малых возмущениях истинного состояния. Было установлено, что для потенциальных систем равенство нулю возможной работы представляет собой условие стационарности некоторой функции — полной энергии системы.

Переход от удерживающих связей к неудерживающим (односторонним — типа натянутой нити) был выполнен впервые Фурье; анализ показал, что возможная работа на возмущениях устойчивого состояния равновесия системы с односторонними связями должна быть положительной или, во всяком случае, неотрицательной. Следовательно, применение вариационной теории в таких ситуациях приводит к необходимости решать уже не уравнения, а неравенства, т. е. в общем случае задача оказывается нелинейной.

Динамика систем с односторонними связями была впервые разработана М. В. Остроградским и завершена в трудах Майера и Цермело. Здесь, по существу, был построен алгоритм интегрирования уравнений движения, при котором в каждый момент времени связи, не оказывающие влияния на систему, отбрасываются, и задача сводится к классической — для систем с удерживающими связями.

В дальнейшем теория была обобщена на системы с бесконечным числом степеней свободы — задачи механики сплошной среды. Впервые такого рода задачу рассмотрел М. В. Остроградский; применительно к механике деформируемого твердого тела основополагающей оказалась работа Синьорини — о равновесии линейно упругого тела в гладкой жесткой оболочке. В итоге возникла содержательная и глубокая теория, имеющая разнообразные приложения к естественным наукам и к технике.

Но не смотря на эффективность вариационного метода, зачастую им пренебрегают при рассмотрении определенных прикладных задач. Такие задачи просто решаются широко известными и глубоко изученными численными методами. При этом существование самого решения и его единственность остаются не рассмотренными. Такой подход является в корне не верным, поскольку ставит под сомнение сам результат численного решения задачи.

Работа состоит из трех глав. В первой главе рассмотрен вспомогательный материал теории вариационных неравенств, известный в математической литературе. Вторая глава содержит три пункта, в них уделено внимание описанию и построению модели уровня грунтовых вод, исследованию модели на предмет существования и единственности решения. Третья глава посвящена численной реализации модели.

1 Элементы теории вариационных неравенств

1.1 Применение теории вариационных неравенств

Теория вариационных неравенств возникла сравнительно недавно, однако за последние десятилетия она привлекла внимание очень многих исследователей. Ныне эта теория переживает период бурного и интенсивного развития [5].

Простейшая содержательная модельная задача, которая приводит к вариационным неравенствам, — это задача о кратчайшем пути, соединяющем две заданные точки на плоскости и обходящем некоторые препятствия. Этот кратчайший путь распадается на две части: на участки прямолинейного движения, где он подходит к препятствию или сходит с него, и участки, где приходится идти по границе препятствия.

В теории вариационных неравенств исследуются многомерные обобщения такого рода проблем минимизации. Функция, доставляющая минимум в многомерной задаче, также имеет, вообще говоря, участки примыкания к границе, а вне таких участков она удовлетворяет некоторому уравнению с частными производными — уравнению Эйлера соответствующей вариационной проблемы. Таким образом, дело сводится к решению уравнения с частными производными со свободной границей, ибо граница области примыкания заранее неизвестна. Такие ситуации характерны для многих проблем физики и механики. Множество приложений задачи со свободной границей находят в инженерном деле — при расчете плотин, двигателей и разнообразных механизмов. Теория вариационных неравенств для многих проблем такого рода (как правило, тех, где так или иначе присутствует выпуклость) дает общую методику их решения. Эта теория создавалась на стыке многих актуальных областей — вариационного исчисления, выпуклого анализа, теории уравнений с частными производными, комплексного анализа и других.

1.2 Критерий минимизации выпуклого функционала

Все рассуждения будут рассматриваться в гильбертовом пространстве Х.

Если J есть линейный функционал, действующий в Х, то будем обозначать значение J на некотором элементе так:

Определение 1.1. Пусть J – функционал. Если существует предел то он называется вариацией функционала J на элементе u в направлении v.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ВКР