Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Определение 1.2 Если есть непрерывный линейный функционал в Х, то называется производной по Гато: .

Определение 1.3 Если у функционала J существует производная , то будем говорить, что этот функционал дифференцируем по Гато на элементе u.

Определение 1.4 Множество называется выпуклым, если

Определение 1.5 Множество G называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Пусть функционал J достигает наименьшего значения на элементе , где G – выпуклое множество, т.е.

,

тогда

Поэтому для

Если J дифференцируем, то, переходя в этом неравенстве к пределу при , получим неравенство: , которое называется вариационным неравенством.

Определение 1.6 Функционал , заданный на выпуклом множестве G, называется выпуклым в G, если для любых выполнено неравенство

.

Теорема 1.1 (Критерий выпуклости дифференцируемого функционала)

Пусть функционал дифференцируем на выпуклом множестве G.

(J – выпуклый в G)

Доказательство. Необходимость.

Имеем:

Поэтому для

т.е.

Достаточность.

Согласно условию

Так как G выпукло, то отрезок . Положим в этом неравенстве

Тогда

Полагая из того же неравенства получим:

Умножая (1.1) на t, а (1.2) на и сложив, получим неравенство

Теорема доказана.

Теорема 1.2 (Критерий минимизации выпуклого функционала)

Пусть выпуклый дифференцируемый функционал на выпуклом множестве G.

Доказательство. Необходимость очевидна.

Достаточность. Т.к. J выпуклый и дифференцируемый, то в точке

Но , поэтому , т.е. J достигает inf в .

Теорема доказана.

Теорема 1.3 Пусть функционал выпуклый и дифференцируемый в выпуклом множестве G. Тогда функция

, неубывающая.

Доказательство

Полагаем

Функция дифференцируема в (0,1) и для нее производная равна

Из выпуклости функционала J следует неравенство:

,

поэтому

,

то есть

Следовательно, ,

Теорема доказана.

В теореме 1.2 предполагается существование элемента u, на котором функционал J достигает наименьшего значения. В следующем параграфе рассмотрим вопрос о существовании такого элемента на замкнутом выпуклом множестве, даже, может быть, неограниченном.

1.3 Существование решения задачи минимизации функционала

Пусть Х гильбертово пространство, G – неограниченное множество в Х.

Определение 1.7 Функционал называется коэрцитивным на G, если , при .

Определение 1.8 Множество называется слабо замкнутым, если оно содержит все предельные точки слабо сходящихся последовательностей из этого множества.

Определение 1.9 Последовательность из гильбертово пространства Х называется слабо сходящийся к , если . В этом случае называется слабым пределом последовательности .

Определение 1.10 Функционал J называется слабо полунепрерывным снизу в , если для любой слабо сходящейся к последовательности выполнено неравенство .

Теорема 1.4 Пусть G – ограниченное слабо замкнутое множество из Х. Если функционал J слабо полунепрерывен снизу на G, то существует элемент такой, что .

Доказательство. Обозначим , тогда существует такая последовательность , что . Из извлекаем слабо сходящуюся подпоследовательность, за которой сохраним обозначение .

Т.к. G слабо замкнуто, то предел этой подпоследовательности принадлежит G, поэтому . Таким образом, .

Теорема доказана.

Теорема 1.5 Пусть G – слабо замкнутое множество из Х, на котором определен слабо полунепрерывный снизу функционал J. Если J коэрцитивен на G, то существует такое, что .

Доказательство. Обозначим . Если G ограничено, то по теореме 1.4 существование элемента , где , обеспечено. Пусть G неограниченно.

Так как функционал J коэрцитивен, то , такое, что выполнено неравенство .

Фиксируем элемент из G и возьмем . Тогда для этого выполнено . Но тогда . Это означает, что

а так как есть ограниченное слабо замкнутое множество, то по теореме 1.5 существует элемент , где

.

Теорема доказана.

Сформулируем без доказательств следующие теоремы.

Теорема 1.6 Всякое ограниченное замкнутое выпуклое множество G из гильбертова пространства Х слабо компактно.

Теорема 1.7 Пусть K – выпуклый замкнутый конус в гильбертовом пространстве. Функционал такой, что:

1. Функция выпукла в ;

2. Функционал слабо полунепрерывен снизу на , .

.

Здесь

2 Математическая модель уровня грунтовых вод

2.1 Постановка задачи и получение математической модели уровня грунтовых вод

В гидрогеологическом отношении все породы делятся на три группы [2]:

водопроницаемые, полупроницаемые и практически непроницаемые. Водопроницаемые и полупроницаемые породы образуют в земной коре систему водоносных горизонтов. Водоносным горизонтом называется водопроницаемый пласт, насыщенный водой, находящейся в постоянном движении благодаря гидравлической связи и перепаду давления, существующих во всем пласте, и ограниченный водонепроницаемыми породами снизу и сверху, либо ограниченный только снизу. Схема водоносных горизонтов изображена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Типовые схемы залегания водоносных горизонтов. 1 – водоносные горизонты (а – грунтовые воды, б – межпластовые ненапорные, в – артезианские); 2 – водоупорные породы; 3 – уровень ненапорных вод; 4 – пьезометрический уровень напорных вод; 5 – направление движения подземных вод; 6 – родник грунтовых вод

Грунтовые воды заполняют поры и трещины твердых и раздельнозернистых пород, водоносные породы залегают на первом от поверхности выдержанном водоупорном слое, сохраняются в течение года, сверху обычно не перекрываются водонепроницаемыми породами. Межпластовые воды фильтруются в слоистой среде, представленной чередованием водопроницаемых раздельнозернистых или твердых горных пород и водоупорных глинистых, слагающих, как правило, отрицательные тектонические структуры.

В математической литературе [3], [6], [7] рассматривалась задача распространения примесей в грунтовых водах, которая тесно связана с полем течения в водоносном пласте. Особенно важной является задача определения уровня воды по известному её уровню на границе заданного участка земли.

Пусть на границе земельного участка известен уровень грунтовых вод, а также скорость фильтрации воды по подошве и кровле: и соответственно. Требуется найти уровень грунтовых вод по участку.

Будем использовать известную математическую модель [3], [6]

где – коэффициент водоотдачи при понижении уровня воды, – коэффициент фильтрации.

Если предполагать, что среда изотропна, т.е. плотность воды и коэффициент её фильтрации постоянны, то при условии горизонтальной подошвы стационарного уровня воды данная модель примет следующий вид:

где

В работах, посвященной данной проблеме, математические модели не исследовались на предмет существования и единственности решения. Наша цель – решить эти проблемы для последней модели (2.1), для которой реализуется вариационный вариант модели.

Заменим в (2.1) на , тогда получим

Пусть ограниченная область имеет липшициву границу , функция из класса п.в. на и принадлежит пространству .

Рассмотрим задачу

где – оператор следа на функции , заметим, что – непустое множество.

Используя теорему 1.2, получим эквивалентную (2.2) вариационную задачу:

Найти функцию такую, что

2.2 Об эквивалентности гладкой и вариационной задач

Теорема 2.1 Пусть решения задач (2.2) и (2.4) из класса Тогда эти решения совпадают.

Доказательство. Пусть – решение задачи (2.2), т.е.

Умножим уравнение

на , где – любая функция из :

Тогда

Согласно формуле Грина

получим равенство

Но , поэтому

что эквивалентно тому, что (теорема 1.2)

т.е.

Обратно, пусть

тогда это неравенство эквивалентно вышеуказанному неравенству

для любых , поэтому для , где , получим неравенство

Используя формулу Грина [8]

получим, учитывая, что , неравенство для любых таких

Тогда

т.е.

2.3 Существование и единственность решения вариационного неравенства

Теорема 2.2 Задача 2.4 имеет единственное решение.

Доказательство. Любая функция имеет представление , где – фиксированная функция из , а

. Поэтому

Если , то для таких

Пусть

Характеристики

Список файлов ВКР