Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Тогда . Но , поэтому , что невозможно, т.к. . Следовательно

Согласно теореме 1.7 функционал F коэрцитивен, поэтому существует элемент , такой, что

Покажем теперь единственность решения данной задачи.

Предположим, что существует еще одно решение . Тогда

т.к. , а функционал F – выпуклый. Из этого равенства следует, что

Откуда следует , но , поэтому .

Единственность доказана.

3 Численная реализация математической модели

Математическая теория метода конечных элементов, а также практические аспекты построения метода излагаются в [9], [10], [11], [12], [13], [14]. Далее приводятся необходимые сведения для построения метода конечных элементов и вывода расчетных формул.

3.1 Понятие о методе конечных элементов

Множество точек пространства, используемых для приближенного представления непрерывного пространственного распределения какой-либо величины, называют пространственной сеткой, а точки — узлами (или узловыми точками) этой сетки. Значение величины в узле сетки называют узловым.

При необходимости значения величин в промежутках между узлами сетки можно найти интерполированием. Это позволяет получить по дискретной информации об искомых величинах их приближенные непрерывные зависимости от пространственных координат и времени.

Понятия сетки и сеточного узла являются основными при построении большой группы приближенных методов решения задач математической физики, называемых сеточными методами. В таких методах непрерывное пространственное распределение искомых величин и описание их непрерывного изменения во времени представляют совокупностью их значений в узлах пространственно-временной сетки. При этом производные искомых функций, входящие в дифференциальные уравнения математической физики и краевые условия, приближенно заменяют (аппроксимируют) в каждом узле конечными разностями. В итоге исходную математическую формулировку задачи сводят к системе уравнений (в общем случае нелинейных) относительно неизвестных узловых значений.

Группу соседних узлов пространственно-временной сетки можно использовать для построения непрерывной функции, имеющей так называемый конечный носитель (например, являющейся интерполяционным многочленом, принимающим некоторое значение в фиксированном узле и нулевое значение во всех соседних). Из таких функций, построенных для каждого узла сетки с конечным числом узлов, можно составить базис конечномерного функционального пространства, в котором применимы проекционные методы приближенного решения задач математической физики. При таком сочетании эти методы иногда называют проекционно-сеточными.

В частности, подобный подход приводит к методам конечных или граничных элементов, которые также обычно относят к группе сеточных методов. При этом под элементом в общем случае понимают подобласть пространственно-временной области, содержащую группу соседних узлов соответствующей сетки, используемую для построения упомянутой непрерывной функции, т.е. конечный или граничный элемент является конечным носителем этой функции.

При решении задач математической физики численными методами используются так называемые базисные функции – кусочно-непрерывные функции, отличные от нуля лишь в отдельных конечных подобластях той области, где рассматривают решение задачи. Такие подобласти в сочетании с выбранным типом базисных функций принято называть конечными элементами (КЭ), что и дало название методу решения задач, опирающемуся на указанный подход к построению базисных функций.

В пределах каждого КЭ искомое решение приближенно представляют многочленом. Коэффициенты этого многочлена выражают через заранее неизвестные значения искомой функции (в более общем случае — и значения ее производных) в определенным образом выбранных точках КЭ, называемых узлами конечного элемента. Эти значения называют узловыми, причем узловые значения искомой функции и ее производных объединяют общим названием узловые параметры. Объединив отдельные КЭ в сетку, удается выразить искомое решение через неизвестные узловые параметры, которые затем находят, используя интегральную формулировку задачи.

3.2 Этапы метода конечных элементов

• Переход от формулировки задачи в виде операторного уравнения к интегральной формулировке;

• Разбиение области, в которой предстоит искать приближенное решение задачи на подобласти (конечные элементы) и определение в них базисных функций, т.е. выбор типа КЭ;

• Формирование при помощи совокупности КЭ структуры приближенного решения и использование его в интегральной формулировке задачи;

• Получение СЛАУ вида для нахождения координат вектора , являющихся значениями искомой функции в узлах КЭ;

• Применение КЭ (при необходимости) для вычисления интегралов, входящих в выражения для элементов матрицы и координат вектора .

Нахождение значений коэффициентов требует применения тех или иных методов для решения СЛАУ.

Выбор типа конечного элемента (КЭ) при решении задачи зависит от требований к классу функций, на котором допустимо рассматривать ее интегральную формулировку. Если в эту формулировку входят производные искомой функции до порядка включительно, то допустимые функции должны принадлежать классу непрерывно дифференцируемых раз, а производные порядка в области могут быть кусочно непрерывными. [14]

Интегральная формулировка значительного числа задач математической физики содержит производные лишь первого порядка, т.е. . Поэтому достаточно, чтобы допустимые функции были непрерывны в области , а их производные утрачивали непрерывность лишь на множестве точек, мера Лебега которого в равна нулю. Таким свойством обладают функции формы симплексных КЭ. Свойство функций формы КЭ обеспечивать выполнение требований к классу функций, диктуемых интегральной формулировкой задачи, называют согласованностью.

По существу, МКЭ основан на том, что искомое решение удается приближенно представить на сетке КЭ в виде разложения по функциям формы, причем коэффициентами этого разложения являются неизвестные узловые параметры — значения искомой функции (а в общем случае и ее производных) в узлах сетки, совпадающих с узлами отдельных КЭ. В случае линейной задачи математической физики подстановка такого разложения в интегральную формулировку задачи приводит к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно узловых параметров.

Матрица СЛАУ благодаря свойствам функций формы КЭ содержит значительное число нулевых элементов, что упрощает практическую реализацию МКЭ на ЭВМ. Более того, простота и однотипность свойств КЭ позволяют поручить ЭВМ не только решение такой СЛАУ, но и автоматизировать ряд предшествующих этапов: разбиение области решения задачи на конечные элементы и построение их сетки с нумерацией элементов и узлов; построение системы функций формы в пределах каждого КЭ; вычисление вкладов отдельного КЭ в матричное уравнение; формирование глобальной матрицы для всей сетки КЭ.

Отмеченные особенности превращают МКЭ в один из наиболее гибких и универсальных современных методов численного решения широкого круга задач математической физики.

Для уверенного применения любого приближенного метода необходимо располагать возможностью оценки возникающей погрешности и иметь представление о скорости сходимости приближенного решения задачи к истинному. На практике эти вопросы обычно решают тестированием МКЭ на задачах, для которых известно точное решение. Но для определенного круга задач (в основном, для линейных задач математической физики) можно получить априорные оценки погрешности аппроксимации искомого решения на сетке КЭ и скорости его сходимости к истинному решению при измельчении этой сетки.

3.3 Вариационная постановка задачи

Рассмотрим исходную задачу

Здесь ­ – оператор Лапласа

Определение. Пространством Соболева будем называть пространство функций, имеющих квадратично интегрируемые в первые производные, с нормой

умножим на – произвольную функцию из пространства

Применяя формулу Грина получим

и, полагая , получим

Пусть , тогда вариационная формулировка задачи такова

Найти такое, что

для любых . u – обобщенное решение.

3.4 Конечноэлементная формулировка

Поставим задачу об отыскании приближенного решения задачи (2.2)

В метод конечных элементов применяются конечные элементы различной геометрии, для двумерных областей – это треугольные и прямоугольные элементы. В данной работе использованы прямоугольные симплекс-элементы.

Пусть – единичная квадратная область. Произведем триангуляцию этой области. Пусть h есть параметр дискретизации и пусть обозначает разбиение на непересекающиеся прямоугольники , такие что, общие стороны любых двух соседних прямоугольников совпадают. Триангуляция изображена на рисунке 2.

Рисунок 2 – Триангуляция области прямоугольными конечными элементами

Теперь построим конечномерное подпространство пространства , согласованное с данной триангуляцией. Пусть

где – вообще говоря, полином k-ой степени, есть пространство кусочно-линейных на каждом элементе непрерывных функций, а

Характеристики

Список файлов ВКР