Электричество и магнетизм (1188650), страница 44
Текст из файла (страница 44)
6.1. ðàèê ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèè ñ ïåðèîäîì ïîâòîðåíèÿ TÏóñòü çàäàííàÿ óíêöèÿ f (t) ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿåòñÿ ñ ÷àñòîòîéΩ1 = 2π/T , ãäå T ïåðèîä ïîâòîðåíèÿ (ðèñ. 6.1). ż ðàçëîæåíèå â ðÿäÔóðüå èìååò âèä∞(a + 2b cos Ωt) cos ωt = b cos(ω − Ω)t + a cos ωt + b cos(ω + Ω)t.×òî ðåàëüíî ñóùåñòâóåò? Ëåâàÿ èëè ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî òîæäåñòâà?Åñëè ìû ïðèíèìàåì ýòîò ñèãíàë ñ ïîìîùüþ ðàäèîïðè¼ìíèêà, ìû íåñìîæåì ñêàçàòü, ÷òî ðåàëüíî íà ñàìîì äåëå: èçäàåò ëè â ðàäèîñòóäèèñêðèïà÷ çâóê íà ÷àñòîòå Ω èëè ðàáîòàþò òðè ãåíåðàòîðà íà ÷àñòîòàõω − Ω, ω , ω + Ω. Îäíàêî, åñëè íàñ èíòåðåñóåò, êàê äåéñòâóåò àìïëèòóäíîìîäóëèðîâàííîå êîëåáàíèå íà íàáîð îñòðî íàñòðîåííûõ êîëåáàòåëüíûõêîíòóðîâ, íàèáîëåå öåëåñîîáðàçíûì ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå, äàâàåìîåïðàâîé ÷àñòüþ òîæäåñòâà. Çäåñü öåëåñîîáðàçíî ãîâîðèòü, ÷òî íàøå êîëåáàíèå ñîñòîèò èç òð¼õ ñèíóñîèäàëüíûõ êîëåáàíèé.Òàê â ÷¼ì æå èñòèííîå ñîäåðæàíèå îïûòà Íüþòîíà?  òîì, ÷òî ïðèçìà åñòü ñïåêòðàëüíûé ïðèáîð, ÷òî îíà èçè÷åñêè âûäåëÿåò ñèíóñîèäàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå, èçè÷åñêè îñóùåñòâëÿåò ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ñâåòà.Îïûòû Íüþòîíà ïîêàçûâàþò, ÷òî ñîëíå÷íûé ñâåò äåéñòâèòåëüíîíåñèíóñîèäàëåí, è ïîçâîëÿþò óçíàòü, êàêîâ èìåííî ñïåêòð ñîëíå÷íîãîñâåòà.
Èç îïûòîâ Íüþòîíà ìû óçíàåì, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ âåñüìà øèðîêèì ñïëîøíûì ñïåêòðîì, â êîòîðîì ñîäåðæàòñÿ èíòåíñèâíûå ñëàãàåìûå âñåõ âèäèìûõ öâåòîâ, öâåòîâ ðàäóãè.241f (t) =èëèa0 X+[an cos(nΩ1 t) + bn sin(nΩ1 t)],2n=1(6.1)∞f (t) =a0 X+An cos(nΩ1 t − ψn ).2n=1(6.2)Çäåñü a0 /2 ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ (ñðåäíåå çíà÷åíèå) óíêöèè f (t); an è bn êîýèöèåíòû êîñèíóñíûõ è ñèíóñíûõ ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ. Îíè îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè2an =Tt1Z+T2bn =Tt1Z+Tf (t) cos(nΩ1 t) dt;(6.3)t1f (t) sin(nΩ1 t) dt.t1Òî÷êó íà÷àëà èíòåãðèðîâàíèÿ t1 ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíî.(6.4)242Ñïåêòðàëüíûé àíàëèç è ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ ñèãíàëîâ òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ñèãíàë ÷¼òåí îòíîñèòåëüíî t = 0, òàê ÷òî f (t) == f (−t), â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé çàïèñè îñòàþòñÿ òîëüêî êîñèíóñíûå ÷ëåíû, ò.ê.
âñå êîýèöèåíòû bn îáðàùàþòñÿ â íóëü. Äëÿ íå÷¼òíîé îòíîñèòåëüíî t = 0 óíêöèè, íàîáîðîò, â íóëü îáðàùàþòñÿ êîýèöèåíòû an ,è ðÿä ñîñòîèò òîëüêî èç ñèíóñíûõ ÷ëåíîâ.Àìïëèòóäà An è àçà ψn n-é ãàðìîíèêè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êîýèöèåíòû an è bn ñëåäóþùèì îáðàçîì:An =pa2n + b2n ;ψn = arctgbn.an(6.5)Ïðåäñòàâèì âûðàæåíèå (6.2) â êîìïëåêñíîé îðìå. Äëÿ ýòîãî çàìåíèì êîñèíóñû ýêñïîíåíòàìè â ñîîòâåòñòâèè ñ îðìóëîéÏîäñòàíîâêà äà¼òa0 +∞XAn e−iψneinΩ1 t+∞XAn eiψne−inΩ1 tn=1n=1!.Ââåä¼ì êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû Ân è Â−n :Ân = An e−iψn ;Â−n = An eiψn ;Â0 = a0 .(6.6)àçëîæåíèå f (t) ïðèîáðåòàåò âèäf (t) =243îáðàòÿòñÿ â íóëü âñå ÷ëåíû, êðîìå îäíîãî, ñîîòâåòñòâóþùåãî n = k .Ýòîò ÷ëåí äà¼ò Ak T /2.
Èìååì ïîýòîìóZT2f (t) e−ikΩ1 t dt.Âk =T(6.8)0Êàê ìû âèäèì, ñïåêòð ëþáîé ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèè ñîñòîèò èçíàáîðà ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ äèñêðåòíûìè ÷àñòîòàìè: Ω1 , 2Ω1 ,3Ω1 , . . . è ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé, êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòüêàê êîëåáàíèå ñ íóëåâîé ÷àñòîòîé (0 · Ω1 ). Òàêîé ñïåêòð íàçûâàþò ëèíåé÷àòûì èëè äèñêðåòíûì.2.2. Íåïåðèîäè÷åñêèé ñèãíàëeiα + e−iαcos α =.21f (t) =2àçäåë VI∞1 XÂn einΩ1 t .2 n=−∞(6.7)Òàêèì îáðàçîì, ââåäåíèå îòðèöàòåëüíûõ ÷àñòîò (òèïà −nΩ1 ) ïîçâîëÿåò çàïèñàòü ðàçëîæåíèå Ôóðüå îñîáåííî ïðîñòûì îáðàçîì. Ôîðìóëû (6.6) îáåñïå÷èâàþò äåéñòâèòåëüíîñòü ñóììû (6.7): êàæäîé ÷àñòîòå kΩ1 ñîîòâåòñòâóþò â (6.2) îäèí ÷ëåí (n = k ), à â (6.7) äâà ÷ëåíà(n = k è n = −k ).
Ôîðìóëû (6.6) ïîçâîëÿþò ïåðåõîäèòü îò äåéñòâèòåëüíîãî ðàçëîæåíèÿ (6.2) ê êîìïëåêñíîìó (6.7) è îáðàòíî.Äëÿ ðàñ÷¼òà êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä An íå îáÿçàòåëüíî ïîëüçîâàòüñÿ îðìóëàìè (6.6). Óìíîæèì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè (6.7) íà e−ikΩ1 t èïðîèíòåãðèðóåì ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî ïî âðåìåíè íà îòðåçêå, ðàâíîìîäíîìó ïåðèîäó, íàïðèìåð, îò t1 = 0 äî t2 = 2π/Ω1 .  ïðàâîé ÷àñòèÏóñòü íåïåðèîäè÷åñêèé ñèãíàë f (t) äåéñòâóåò â êîíå÷íîì âðåìåííîì èíòåðâàëå t1 < t < t2 . Ïðåâðàòèì óíêöèþ f (t) â ïåðèîäè÷åñêóþïóò¼ì ïîâòîðåíèÿ å¼ ñ ïðîèçâîëüíûì ïåðèîäîì T > (t1 − t2 ). Äëÿ ýòîéíîâîé óíêöèè ïðèìåíèìî ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå.  ñîîòâåòñòâèèñ îðìóëàìè (6.3) (6.4) àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà êîýèöèåíòîâ an èbn îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà T , ïîýòîìó óñòðåìëÿÿ T ê áåñêîíå÷íîñòè,â ïðåäåëå ïîëó÷èì áåñêîíå÷íî ìàëûå àìïëèòóäû ãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþùèõ.
Êîëè÷åñòâî ñîñòàâëÿþùèõ, âõîäÿùèõ â ðÿä Ôóðüå, áóäåò ïðèýòîì áåñêîíå÷íî áîëüøèì, òàê êàê ïðè T → ∞ ÷àñòîòà Ω1 = 2πT → 0.Äðóãèìè ñëîâàìè, ðàññòîÿíèå ìåæäó ñïåêòðàëüíûìè ëèíèÿìè, ðàâíîå÷àñòîòå Ω1 , ñòàíîâèòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûì, è ñïåêòð èç äèñêðåòíîãî ïåðåõîäèò â ñïëîøíîé.Âûðàçèì ýòî òåïåðü íà ÿçûêå ìàòåìàòèêè. Âîñïîëüçóåìñÿ êîìïëåêñíîé îðìóëîé ðÿäà Ôóðüå (6.7) è ïîäñòàâèì âìåñòî An âûðàæåíèå(6.8).tZ21f (t) =f (t)e−inΩ1 t dt einΩ1 t =Tn→−∞t1tZ2+∞1 X 1=f (t)e−inΩ1 t dt einΩ1 t · Ω1 .2π n→−∞ T+∞Xt1Ïðè çàïèñè âòîðîãî âûðàæåíèÿ èñïîëüçîâàíà ñâÿçü T = 2π/Ω1 .Ïðè T → ∞ ÷àñòîòà Ω1 ïðåâðàùàåòñÿ â dΩ, nΩ1 â òåêóùóþ ÷àñòîòó Ω, à îïåðàöèÿ ñóììèðîâàíèÿ â îïåðàöèþ èíòåãðèðîâàíèÿ. Â244Ñïåêòðàëüíûé àíàëèç è ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ ñèãíàëîâðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì äâîéíîé èíòåãðàë Ôóðüå:∞Z tZ21 f (t)e−iΩt dt eiΩt dΩ.f (t) =2π−∞t1àçäåë VI245Êîýèöèåíòû ïðè êîñèíóñíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ðàâíû2an =TτιZ/2V0 cos(nΩ1 t) dt = 2V0τι sin(nΩ1 τι/2)sin x∼.T nΩ1 τι/2x(6.9)−τι/2Âíóòðåííèé èíòåãðàë îáîçíà÷èìF̂ (Ω) =tZ26t1δν-V0F̂ (Ω) íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ èëè ñïåêòðàëüíîé õàðàêòåðèñòèêîé óíêöèè f (t).Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ñ (6.8) äëÿ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû ñîîòâåòñòâóþùåé ãàðìîíèêè (Ω = Ωn ) òîé æå ñàìîé óíêöèè, íîóæå ïåðèîäè÷åñêîé, ïîëó÷èì2F̂ (Ωn ) = T · Ân = 2πÂn.Ω1Ïîñêîëüêó Ω1 ýòî ïîëîñà ÷àñòîò, îòäåëÿþùàÿ ñîñåäíèå ñïåêòðàëüíûåëèíèè äèñêðåòíîãî ñïåêòðà, òî F̂ (Ω) èìååò ñìûñë ïëîòíîñòè àìïëèòóä.Èç âûøåïðèâåä¼ííîãî ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóåò âàæíûé âûâîä: îãèáàþùàÿ ñïëîøíîãî ñïåêòðà (ìîäóëü ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè) íåïåðèîäè÷åñêîé óíêöèè è îãèáàþùàÿ ëèíåé÷àòîãî ñïåêòðà òîé æå ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèè ñîâïàäàþò ïî îðìå è îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ìàñøòàáîì.2.3.
Ïðèìåðû ñïåêòðîâ ïåðèîäè÷åñêèõ óíêöèéàññìîòðèì ïåðèîäè÷åñêèå óíêöèè, êîòîðûå èññëåäóþòñÿ â íàøåéðàáîòå.À. Ïåðèîäè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðÿìîóãîëüíûõ èì(ðèñ. 6.2) ñ àìïëèòóäîé V0 , äëèòåëüíîñòüþ τι, ÷àñòîòîé ïîâòîðåíèÿ Ω1 = 2π/T , ãäå T ïåðèîä ïîâòîðåíèÿ èìïóëüñîâ.Íàéä¼ì ñðåäíåå çíà÷åíèå (ïîñòîÿííóþ ñîñòàâëÿþùóþ). Ñîãëàñíîîðìóëå (6.3)ïóëüñîâa0A01hV i ===22Ta(ν)6V (t)f (t)e−iΩt dt.τιZ/2−τι/2V0 dt = V0τι.T∼sin xxνt- τι T-0èñ.
6.2. Ïåðèîäè÷åñêàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòüïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ0- ∆ν - ∆ν - ∆ν -èñ. 6.3. Ñïåêòð ïåðèîäè÷åñêîéïîñëåäîâàòåëüíîñòèïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâÏîñêîëüêó íàøà óíêöèÿ ÷¼òíàÿ, âñå êîýèöèåíòû ñèíóñîèäàëüíûõ ãàðìîíèê bn = 0. Ñïåêòð an ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðÿìîóãîëüíûõèìïóëüñîâ ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 6.3. Àìïëèòóäû ãàðìîíèê An (An = |an |)ìåíÿþòñÿ ïî çàêîíó | sin x/x|.Íà ðèñ.
6.3 èçîáðàæ¼í ñëó÷àé, êîãäà T êðàòíî τι. Íàçîâ¼ì øèðèíîé ñïåêòðà ∆ω (èëè ∆ν = ∆ω/2π ) ðàññòîÿíèå îò ãëàâíîãî ìàêñèìóìà(ω = 0) äî ïåðâîãî íóëÿ îãèáàþùåé, âîçíèêàþùåãî, êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ïðè n = 2π/τιΩ1 . Ïðè ýòîì∆ωτι ≃ 2πèëè ∆ν∆t ≃ 1.(6.10)Ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå âçàèìíîé ñâÿçè èíòåðâàëîâ ∆ν è ∆t ÿâëÿåòñÿ÷àñòíûì ñëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåë¼ííîñòè â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Íåñîâìåñòèìîñòü îñòðîé ëîêàëèçàöèè âîëíîâîãî ïðîöåññà âî âðåìåíè ñ óçêèì ñïåêòðîì ÷àñòîò ÿâëåíèå øèðîêî èçâåñòíîå â ðàäèîòåõíèêå.
Øèðèíà ñåëåêòèâíîé íàñòðîéêè ∆ν ðàäèîïðè¼ìíèêà îãðàíè÷èâàåòïðè¼ì ðàäèîñèãíàëîâ äëèòåëüíîñòüþ t < 1/∆ν .Á. Ïåðèîäè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öóãîâ ãàðìîíè÷åñêîãîêîëåáàíèÿ V0 cos(ω0 t) ñ äëèòåëüíîñòüþ öóãà τι è ïåðèîäîì ïîâòîðåíèÿ T(ðèñ. 6.4).246Ñïåêòðàëüíûé àíàëèç è ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ ñèãíàëîâàáîòà 3.6.1247Ôóíêöèÿ f (t) ñíîâà ÿâëÿåòñÿ ÷¼òíîé îòíîñèòåëüíî t = 0. Êîýèöèåíò ïðè n-é ãàðìîíèêå ñîãëàñíî îðìóëå (6.3) ðàâåí2an =TτιZ/2= V0τιTAmaxAminV0 cos(ω0 t) · cos(nΩ1 t) dt =sin[(ω0 − nΩ1 ) 2τι ] sin[(ω0 + nΩ1 ) 2τι ]+(ω0 − nΩ1 ) 2τι(ω0 + nΩ1 ) 2τιa(ω)V (t)66tωT- τι èñ.
6.4. Ïåðèîäè÷åñêàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü öóãîâω0∆ω- ∆ω- ∆ω-èñ. 6.5. Ñïåêòð ïåðèîäè÷åñêîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè öóãîâÂ. Àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííûå êîëåáàíèÿ. àññìîòðèì ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ âûñîêîé ÷àñòîòû ω0 , àìïëèòóäà êîòîðûõ ìåäëåííî ìåíÿåòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ ÷àñòîòîé Ω (Ω ≪ ω0 ) (ðèñ. 6.6):f (t) = A0 [1 + m cos Ωt] cos ω0 t.(6.12)Êîýèöèåíò m íàçûâàþò ãëóáèíîé ìîäóëÿöèè.
Ïðè m < 1 àìïëèòóäà êîëåáàíèé ìåíÿåòñÿ îò ìèíèìàëüíîé Amin = A0 (1−m) äî ìàêñèìàëüíîé Amax = A0 (1 + m). ëóáèíà ìîäóëÿöèè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíàâ âèäåAmax − Aminm=(6.13).Amax + AminÏðîñòûì òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ïðåîáðàçîâàíèåì óðàâíåíèÿ (6.12)ìîæíî íàéòè ñïåêòð àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííûõ êîëåáàíèé:f (t) = A0 cos(ω0 t) + A0 m cos(Ωt) cos(ω0 t) =A0 mA0 mcos(ω0 + Ω)t +cos(ω0 − Ω)t.= A0 cos(ω0 t) +22aáîê-(6.14)ωt(6.11)δω-60.Çàâèñèìîñòü (6.11) äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà T /τι ðàâíî öåëîìó ÷èñëó, ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
