Эффект Доплера в классической физике (1188453), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Пусть 3 = const, тогда из (24) получаем(︀ )︀ (2 − 1 ) = 23 0 + 23 3 .(︀ )︀⧸︀Введём характерное время 0 ≡ 23 0 и учтём (22), после чегоэто соотношение примет вид⧸︀2 − 1 = 1 + 3 (1 + 2 ) ,где = 0 ( = 1, 2, 3) — удобное для расчёта безразмерное время.Воспользовавшись снова (22), обнаруживаем3 =2 − 12.1 + 3Таким образом, при 3 = const(︀ )︀3 02 − .3 = 3 0 =1 + 3(26)Обычно |3 | ≪ 1, так что из (25) следует ≈ 1 − 23 ,(27)то есть отношение частот такое же, как и в случае излучателя, удаляющегося со скоростью |23 | при неподвижном приёмнике (сравните(27) и (15) с |1 | ≪ 1 и 2 = 0).Как известно, мнимое изображение источника в зеркале движется со скоростью 23 .
Это обстоятельство даёт повод говорить о том,что «отражение волны от движущегося зеркала эквивалентно движению источника с вдвое большей, чем у зеркала, скоростью».Однако, сопоставив (15) и (25), убеждаемся — подобное утверждение в принципе неверно. Отражение следует рассматривать какприём волны движущимся детектором (зеркалом) и её мгновенноепереизлучение движущимся источником (тем же зеркалом).2.2.Движение в пространствеРис. 3 иллюстрирует общий случай движения источника и приёмника.10~v1 t1l1~v2 t2~l = ~l t1 , t21~u2ρ~1l2ρ~21◦2◦~rРис.
3. В начальный момент времени источник (1) и приёмник (2) находятся вточках 1∘ и 2∘ ; они двигаются по траекториям 1 и 2 ; как и ранее, 1 — моментизлучения, 2 — момент регистрации.Из рис. 3 получаем1 + l = r + 2 ,Z1Z2(︀ )︀(︀ )︀1 = v1 = 1 1 ,0(︀ )︀(︀ )︀2 = v2 = 2 2 ,0(︀ )︀(︀ )︀(︀)︀l = r + 2 2 − 1 1 = l 1 , 2 .(28)Дифференцируя (28) по 2 (с учётом r = const), найдём(︀ )︀(︀ )︀l2=− 1 = v2 2 − v1 1 · .222Примем во внимание, что(︀)︀ (︀)︀l = l0 1 , 2 1 , 2(︀)︀l0 — орт l ,ll0≡ l0+,222ll0=,22так как l0 иl0ортогональны друг другу.211(29)l2l121ll~v1 · t11◦~r12а)x~v2 · t2~r2◦б)Рис.
4. а) Приёмник неподвижен; 1∘ , 1 — положения источника в моменты = 0, = 1 соответственно; — наименьшее расстояние от приёмника до траекторииисточника. б) Источник неподвижен; 2∘ , 2 — положения приёмника в моменты = 0, = 2 соответственно; — наименьшее расстояние от источника дотраектории приёмника. В обоих случаях = constТеперь из (29) получаем(︀ )︀(︀ )︀(︀ )︀(︀ )︀ll= l0= l0 v2 2 − l0 v1 1 · = v2 2 − v1 1 · .22Но = 12 ,12== (1 − ) (см. формулы (2), (3)), так что22(︀ )︀(︀ )︀ (1 − ) = 2 2 − 1 1 ,откуда следует(︀ )︀1 − 2 2(︀ )︀ .=1 − 1 1(30)Последнее выражение аналогично (15) и переходит в него, если излучатель и детектор движутся вдоль соединяющей их прямой(l0 = x0 ).
В общем случае, однако, и направление, и модуль l —функции времени, так что даже при постоянных скоростях 1 и 2отношение частот — функция времени.Проиллюстрируем (30) двумя простыми примерами: а) движениеисточника (при покоящемся приёмнике) и б) движение приёмника(при покоящемся источнике) с постоянными скоростями (рис. 4).12В первом случае, используя (30) и рис. 4а, найдёма =11.1 =1 111−√︃1+)︂2(︂1 1 1+(31)1(32)⧸︀Для расчётов удобноввести масштаб времени ≡ и безраз⧸︀мерное время ≡ .
Тогда (31) принимает вида =1 + 12 √︁,121 + (1 1 )⧸︀⧸︀где 1 = 1 и 1 = 1 0 .Чтобы перейти от момента излучения 1 к моменту приёма 2 ,воспользуемся геометрическим соотношением (рис. 4а):(︀)︀22(1 1 ) + 2 = 2 = 2 2 − 1 ,откуда следуетили22(1 1 ) + 1 = (2 − 1 ) ,√︀2 − 22 − (1 − 12 ) (22 − 1),1 =1 − 12√︁22 = 1 + 1 + (1 1 ) .(33)(34)Во втором случае аналогично (рис. 4б) получаемб = 1 −22= 1 − 22 √︁,21 + (2 2 )(35)⧸︀⧸︀(2 = 2 , 2 = 2 0 ).Результаты расчётов по (32) (с учётом (33)) и (35) представленына рис. 5.3.Нестационарная средаНестационарность передающей среды приводит к несовпадениючастот 1 и 2 , даже если излучатель и приёмник неподвижны.
Рассмотрим некоторые ситуации.13ηηaηbдвижется источникдвижется приёмникθ2Рис. 5. Результаты расчёта (32) и (35) для случаев а) движется источник,1 = 0,2, 2 = 0, б) движется приемник, 1 = 0, 2 = 0,2Прохождение волны через подвижную границу разделасред (рис.
6). Положение границы описывается следующим законом:Z(︀ )︀(︀ )︀(︀ )︀ = 0 + .0В момент пересечения границы волнойZ(︀ )︀(︀ )︀(︀ )︀ = 0 + .0Из рис. 6 видното есть(︀ )︀ − 1 − 1 =,11 = −(︀ )︀2 − 2 − =,2(︀ )︀ − 1,1 2 = +14(︀ )︀2 − .2(36)xa~v tx11~u1x2~u2ax2Рис. 6. Неподвижны источник(︀ )︀ (1) и приёмник (2). Граница между средами смещается со скоростью . В области [ , ] скорость волны 1 , в области[ , 2 ] — 2Продифференцировав последние равенства, найдём(︃(︀ )︀ )︃(︀(︀ )︀)︀ 1 = 1 −≡ 1 − 1 ,1(︃(︀ )︀ )︃(︀(︀ )︀)︀ 2 = 1 −≡ 1 − 2 ,2(︀ )︀(︀ )︀⧸︀где через ( = 1, 2) обозначено отношение .Разделив первое равенство на второе, обнаруживаем(︀ )︀(︀ )︀1 − 1 1(︀ )︀ = .≡=21 − 2 Если ≪ 1, то(︀ )︀(︀ )︀(︀ )︀ = 1 − 1 + 2 = 1 + (︂11−21)︂(37).(38)Связать момент с текущим временем(︀ ()︀ 1 или 2 ) становитсявозможным, если известна зависимость . В частности, когда = const, из (36) после несложных выкладок находим(︀ )︀(︀ )︀2 − 0 0 − 11 +2 −21 ==.1 − 21 − 1(︀ )︀Зависимость означает (︀возможностьуправления частотой 2)︀(частотную модуляцию 2 = 2 ).15xaxbx11x2uaũ tbux2Рис.
7. Неподвижны источник (1), приёмник (2) и границы (, ) участка нестационарности. В(︀областях[1 , ] и [ , 2 ] скорость волны — = const, на участке)︀[ , ] ˜=˜ Участок траектории с нестационарной скоростью волны(рис. 7). Волна достигает левой границы области нестационарности () в момент ; выходит из области в момент .Из рис. 7 видно − 1 − 1 =,Z(︀ )︀ − = ˜ = const,(39)2 − .Найдя дифференциалы в системе (39), обнаружим(︀ )︀(︀ )︀1 = ,˜ = ˜ ,2 = .2 − =Отсюда для отношения частот имеем(︀ )︀˜ 1(︀)︀ .≡==(40)2˜ (︀ )︀Предполагая медленность изменения ˜ , ограничимся первымичленами разложения в ряд Тейлора:⃒(︀ )︀(︀ )︀ ˜ ⃒⃒˜ = ˜ +( − ) . ⃒=Тогда из (40) получим ≈1+⃒ − ˜ ⃒⃒(︀ )︀,˜2 ⃒=(41)то есть разность частот пропорциональнадлине участка нестабиль(︀ )︀ности и скорости изменения ˜ .16xax1 = x2x312uaũ txРис.
8. Неподвижны: источник (1), приёмник (2), граница () и зеркало(︀ )︀ (3). Вобласти [1 , ] скорость волны = const, в области [ , 3 ] — ˜=˜ Отражение от зеркала в области нестационарной среды(рис. 8). Из рис. 8 следует − 1 =Z3 − 1= const,˜ =3 − = const,(42)˜Z3˜ =3 − = const,2 − ˜ = − 2= const,где — момент входа в область нестабильности, а ˜ — момент выхода из неё, 3 — момент отражения.Найдя дифференциалы в системе (42), обнаруживаем = 1 ,(︀ )︀˜ = ˜ (3 ) 3 ,Из последних соотношений следует2 = ˜ ,(︀ )︀(︀ )︀˜ 3 3 = ˜ ˜ ˜ .(︀ )︀˜ ˜1=== (︀ )︀ .(43)2˜ ˜(︀ )︀Ограничиваясь для ˜ двумя членами разложения в ряд Тейлора,аналогично (41) получим из (43)⃒3 − ˜ ⃒⃒ ≈ 1 + 2 2 (︀ )︀.(44)˜ ⃒=17Сравнивая (41) и (44), видим: за счёт отражения можно (при прочихравных условиях) создать заданный сдвиг частоты с ячейкой вдвоеменьшей длины.4.ИтогиИзложенный материал позволяет понять следующее.1) Для расчёта ЭД удобна формула (6).
Получение явной связи 1 и 2 при этом не обязательно, достаточно выразить 2и 1 через дифференциалы зависящей от них величины (см.,например, вывод (25), (37) или (40)).2) ЭД возникает и при неподвижных источнике и приёмнике, если в передающем тракте имеется элемент, динамично изменяющий ЭДП (например, движущееся зеркало или ячейка с переменным во времени показателем преломления).3) Воздействуя на ЭДП, можно модулировать регистрируемуюволну.4) Эффект, как правило, зависит от времени. Исключением является одномерное движение при линейной зависимости ЭДПот времени.
Однако именно такая ситуация рассматривается вкурсах физики.5) Знакомство с ЭД целесообразно начинать с вывода формулы(6). После этого, ограничиваясь одномерным движением, получить (15) и (16). Из (15) видно, что эффект зависит от времени;(16) представляет хорошо известное и часто используемое выражение.185.История признания эффекта (принципа)ДоплераПринцип этот долго не мог укорениться в науке и подвергался жестокой критике со стороны чистых математиков и физиков. Однако какая-то сила заставляладругую часть учёных продолжать изыскания в этомнаправлении эмпирическим путём, и через полстолетия после Доплера принцип, наконец, установился какпрочный метод.Белопольский А.А., 1912 г. [13]Исторический доклад К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
