Эффект Доплера в классической физике (1188453)
Текст из файла
В. Н. КологривовЭффект Доплерав классической физикеУчебно-методическое пособиепо курсу Общая физикаМОСКВАМФТИ2012министерство образования и науки российской федерацииМосковский физико-технический институт(государственный университет)Кафедра общей физикиВ. Н. КологривовЭффект Доплерав классической физикеУчебно-методическое пособиепо курсу Общая физикаМОСКВАМФТИ2012УДК 530.1РецензентДоктор физико-математических наук, профессор Ю. А. МихайловКологривов, В.Н.К60Эффект Доплера в классической физике: учебнометодическое пособие по курсу Общая физика. — М.: МФТИ,2012. — 32 с.Эффект Доплера (ЭД) нашёл широкое применение в астрономии,физике, технике и медицине. Пособие посвящено изложению теорииЭД в классическом приближении (когда текущее время одно и то жево всех точках пространства).
Рассмотрены, в частности, случаи переменных во времени и пространстве скоростей источника и приёмника волны, а также возникновение эффекта при их неподвижности.Приведён очерк автора об истории признания ЭД учёным сообществом.Предназначено для студентов и преподавателей естественнонаучных и технических вузов.УДК 530.1c федеральное государственное автономное○образовательное учреждение высшегопрофессионального образования«Московский физико-технический институт(государственный университет)», 2012Светлой памятиЮрия Анатольевича ЛюбимовапосвящаюПредисловиеАвтор пособия заинтересовался эффектом Доплера в связи с преподаванием физики в конце 90-х годов и пришёл к соображениям,изложенным в разделе 1. При последующих обсуждениях выяснилось — подобные соображения и формулы использовались ранееД.
И. Блохинцевым [1] и Т. П. Гиллом [2]. В отличие от трудов этихавторов в настоящем пособии рассмотрены случаи переменных и вовремени и в пространстве скоростей источника и приёмника. Частьматериала, изложенного здесь, опубликована в статье автора [3]. История открытия и признания эффекта Доплера (раздел 5) опубликована в [4].Я благодарен Ю. В. Юрьеву и Ю. А. Михайлову за полезные замечания, а также Д. А. Александрову и П. В. Попову за подготовкурукописи пособия к печати.1.Исходные представленияЭффект Доплера (ЭД) обычно определяют как изменение частоты колебаний, воспринимаемых наблюдателем, при движенииисточника колебаний и наблюдателя относительно друг друга.Такое определение неполнo: оно учитывает лишь одно из проявлений эффекта и одну из причин его возникновения.
Чтобы прийти кисчерпывающему определению ЭД, следует обратиться к процессамизлучения и приёма.Источник создаёт сигнал, т. е. возмущение среды, интенсивностькоторого заданным образом меняется во времени. Это возмущение(волна) распространяется в среде со скоростью, соответствующей егофизической природе (звук, свет, волны на поверхности жидкости ит. д.). После прохождения через передающую среду сигнал регистрируется приёмником.Во многих средах сигналы распространяются без искажений, изменяя интенсивность, но сохраняя форму (например,(︀ )︀ звук в воздухе, свет в воздухе и вакууме). То есть сигналу соответствует(︀ )︀ (︀ )︀волна · − , где — время, — расстояние от источника,3(︀ )︀ — скорость распространения, — функция расстояния от источника.1Это означает равенство фазовых скоростей гармонических волнразных частот (поскольку сигнал может быть представлен суммойгармонических колебаний, а волна — суммой гармонических волнразных частот).В средах с дисперсией, где фазовые скорости гармонических волнзависят от частоты, форма зарегистрированного сигнала изменяется.Пусть в бездисперсной среде источник (излучатель, передатчик)генерирует два одинаковых коротких импульса в моменты 1 и ′1 ;обозначим интервал между ними как 1 = ′1 − 1 .
Импульсы достигнут приёмника (наблюдателя, детектора) в моменты 2 и ′2 , причём′′2 = 1 + 12 , а ′2 = ′1 + 12, где через 12 , 12обозначены соответствующие времена распространения (длительности прохождениячерез передающую среду). Интервал между зарегистрированнымиимпульсами 2 = ′2 − 2 . Очевидно равенство′2 = 1 + (12− 12 )(1)2 = 1 + 12 .(2)илиЛегко понять также, что(︀ )︀Z=,(︀ )︀ 2 212(3) 1 1(︀ )︀(︀ )︀где 1 1 и 2 2 — точки расположения излучателя и приёмникана траектории волны, — скорость волны.Соотношения (1), (2), (3) останутся в силе, если под 1 и ′1 подразумевать моменты начала и окончания сигнала.
Из (1) видно: равенство длительностей излучаемого и принимаемого сигналов имеетместо только тогда, когда в процессе приёма не происходит изме′нение длительности распространения: 12 = 12. Для бездисперснойсреды эффект Доплера заключается в неравенстве длительностей1 Здесь и далее предполагается «точечность» источника и приёмника — малость их размеров по сравнению с расстоянием между ними, а также изотропность и прозрачность среды.4излучения и приёма сигнала, обусловленном изменением временираспространения в процессе приёма.В среде с дисперсией гармонические волны (составляющие исходной волны) остаются гармоническими.
Время их распространениятакже может изменяться в процессе приёма.Если за 1 произведено гармонических возмущений (волн),то = 1 1 ,(4)где 1 — частота передатчика. Эти волны будут зарегистрированыза 2 : = 2 2(5)(2 — частота приёма).Для отношения частот получаем≡211⧸︀ .==122 1(6)Таким образом, отношение частот — производная функции, связывающей 1 и 2 .Соотношение (6) справедливо для волн любой физической природы.Из (2) видно112==1−.(7)22Интервал 12 зависит как от длины траектории волны, так и отскорости её распространения вдоль этой траектории. Или, другимисловами: 1) от положения излучателя и детектора в моменты 1 и 2соответственно; 2) от состояния передающей среды в интервалевре(︀ )︀мени от 1 до 2 .
Если ввести показатель преломления,,т.е.(︀ )︀⧸︀ (︀ от)︀ношение некоторой скорости 0 к скорости волны: , ≡ 0 , ,то (3) можно записать так:121=02 (Z 2)1 (1 )(︀ )︀ℒ , ≡.0(8)Здесь — координата вдоль траектории волны, 1 и 2 — соответственно положения излучателя и детектора в моменты излучения и5приёма. Интеграл ℒ — эквивалентная длина пути (ЭДП)2 — учитывает обе причины изменения 12 .Теперь возможно другое определение, пригодное и для сред с дисперсией: эффект Доплера заключается в неравенстве частот излучаемой и принимаемой гармонических волн, если в процессе приёмаизменяется эквивалентная длина пути.В средах с дисперсией показатель преломления и ЭДП зависятот частоты:(︀)︀(︀ )︀ = , , ,ℒ=ℒ .Из (6) следуют полезные формулы:=22=11( = 2 ; = 1, 2) ,∆∆2 − 1=== − 1.111(9)(10)Как видно из изложенного, моменты излучения 1 и приёма 2однозначно связаны.
Поэтому в качестве текущего времени можновыбирать как 1 , так и 2 .Далее в ряде конкретных ситуаций вычисляется величина , которая в любой среде имеет смысл отношения регистрируемой частоты к излучаемой, а в бездисперсной среде — обратной мгновеннойдеформации сигнала во времени (см. (6)).2.Стационарная средаПримем здесь, что скорость волны постоянна не только во времени, но и в пространстве.2.1.Одномерное движениеДвижущиеся источник и приёмник (рис. 1).
Воспользовавшись формулой (3), находим2Z(2 ) 12 =(︀ )︀(︀ )︀ = 2 2 − 1 1 ,(11)1 (1 )2 В оптике полагают = — скорость света в вакууме, а ℒ называют опти0ческой длиной пути.6гдеZ(︀ )︀(︀ )︀(︀ )︀ = 0 + (12)( = 1, 2) .0После дифференцирования (11) с учётом (12) имеем(︀ )︀(︀ )︀1 12 22 −1 .12 =Сопоставляя(13) и (2), видим(︀ )︀(︀ )︀12 = 2 2 2 − 1 1 1 = 2 − 1 ,(13)(14)где(︀ )︀ ( (︀=)︀⧸︀ 1, 2) — отношение проекции скорости к : ≡ .Из (14) следует(︀ )︀1 − 2 21(︀ )︀ .(15)==21 − 1 1Таким образом, отношение частот определяется проекциямискоростей источника в момент излучения 1 и приёмника в моментрегистрации 2 , т.
е. в общем случае переменно во времени.Если скорости от времени не зависят, получаем хорошо известноевыражение:21−11 − 2===(16)1 .21 − 11−Если среда движется со скоростью w (ветер), то, заменяя в (16) на + , имеем − 21+(17)= − 1 .1+~v1 t1x 1 t1~u~v2 t2x 2 t2xРис.
1. Положения и скорости v источника (1) и приёмника (2) в моментыизлучения 1 и приёма 2 . Ось направлена от (1) к (2). Проекция на скоростиволны u равна модулю 7Поскольку в (15), (16), (17) использованы проекции скоростейна направление движения волны, эти формулы описывают ЭД прилюбых направлениях v1 и v2 (в одномерном движении). Сближениеисточника и приёмника происходит, если 2 < 1 , удаление — если2 > 1 , и, как видно из (16), в первом случае > 1 (2 > 1 ), вовтором — < 1 (2 < 1 ).Обычно 1 и 2 существенно меньше , так что согласно (15)(︀ )︀(︀ )︀(︀ )︀(︀ )︀2 2 − 1 1 ≈ 1 − 2 2 + 1 = 1 −.(18)Для иллюстрации зависимости от времён рассмотрим ускоренное движение детектора при неподвижном излучателе и примем1 = 0, 2 = .
Тогда(︀ )︀(︀ )︀ 22 0 + 2 1 = 0,2 == 2 0 +,(19)где 2 — проекция ускорения. После подстановки (19) в (15) обнаруживаем(︀ )︀(︀ )︀ 2 = 1 − 2 2 = 1 − 2 0 −.(20)Если 2 > 0, детектор все быстрее удаляется, воспринимаемаячастота падает. Так происходит до 2 6 , после чего волна несможет догнать детектор. Напротив, если 2 < 0, сближение происходит при все большей скорости и 2 возрастает.Возвращаясь к (15), отметим — перемещая излучатель или приёмник надлежащим образом, можно получить необходимую частотную модуляцию принимаемого сигнала. Например, смещаяприёмник по гармоническому закону 2 = 20 cos Ω, находим (при1 = 0):202=1−cos Ω.1Отражение от двигающегося зеркала (рассеяние назад,рис.
2). На рис. 2 неподвижные излучатель и приёмник расположены в начале координат (1 = 2 = 0).Используя формулу (3), получаем3Z(3 )12 = 20(︀ )︀ = 23 3 .8(21)~u3~u12 x=0x3~uxРис. 2. Источник (1), приёмник (2) и зеркало (рассеиватель) (3) в момент отражения волны 3Равенство времён движения волны до зеркала и обратно3 − 1 = 2 − 3даёт3 =Из рис. 2 видно1 + 2.2(22)Z3(︀ )︀(︀ )︀(︀ )︀3 3 = 3 0 + 3 ,(23)Z3(︀ )︀(︀ )︀ (2 − 1 ) = 23 0 + 2 3 .(24)0а из (21) и (23) —0Дифференцируя по 2 (24) и учитывая (22), обнаруживаем(︂)︂(︀ )︀ 32 + 1 (1 − ) = 23 3= 3(1 + ) .22Разрешая последнее уравнение относительно , находим(︀ )︀3 3(︀ )︀1−1 − 3 3(︀)︀(︀)︀ .==3 31 + 3 31+(25)Из (25) видно, что при сближении отражателя и приёмника(3 < 0, 3 < 0) частота 2 возрастает, в противном случае —убывает.9Как и ранее, возможна модуляция 2 .Чтобы выразить (︀3)︀ через текущее время, например 2 , нужнознать зависимость 3 .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
