Физическая механика (1188451)
Текст из файла
В.С. БулыгинФИЗИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАКИНЕМАТИКАНАЧАЛА ДИНАМИКИМФТИ2019Рецензентыдоцент кафедры «Высшая математика» МФТИк.ф.-м.н. Бурцев А.А.,доцент кафедры «Теоретическая физика» МФТИк.ф.-м.н. Иванов М.Г.Булыгин, В.С.ФИЗИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Кинематики и начала динамики : учеб.-метод. пособие по курсуОбщая физика. — В.С. Булыгин. — М.: МФТИ, 2019.— 14 с.Вступительная лекция раздела «Механика», которая читается в рамках курса общей физикив МФТИ. Рассказывается о понятиях вектора и производной в физике, приводятся начальныесведения о нестандартном (инфинитезимальном) математическом анализе, указываются связиклассической механики с теорией относительности и квантовой механикой.
Сообщаются некоторые исторические сведения, относящиеся к излагаемому предмету.Предназначено для преподавателей и студентов младших курсов физических специальностей.Постановочная запись лекции с презентацией выложена на YouTube:https://www.youtube.com/watch?v=yFdJxXBWA6Y&t=3sc Булыгин В.С., 20191Содержание1 Закон движения1.1 Естественный закон движения .
.1.2 Координатный закон движения .1.3 Векторный закон движения . . .1.4 Отступление: Что такое вектор?1.5 Сложение нескольких векторов .1.6 Связь законов движения . . . . .2 Скорость и ускорение2.1 Отступление: О бесконечно-малых............3334477. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89............................................................................................................................................................3 Движение по окружности104 Движение по произвольнойтраектории115 2-й закон Ньютона1221Закон движенияКинематика — раздел физической механики, занимающийся описанием механического движения.Механическое движение — это изменение положения движущего тела в пространстве.Чтобы описать положение тела, надо сначала выбрать систему отсчёта т. е.
совокупностьфизических объектов (или один объект), относительно которых и будет определятся положение в пространстве. Это может быть наша аудитория, здание (дом), планета Земля, Солнечнаясистема, сверхмассивная чёрная дыра в центре нашей Галактики (Млечного пути), реликтовоеэлектромагнитное излучение, заполняющее нашу Вселенную, и т. п.Так как выбор системы отсчёта является произвольным, пространственное положение телав силу этого оказывается относительным, поэтому и движение (т. е.
изменение положения)также является относительным.Для конкретного задания положения какого-либо объекта следует в системе отсчёта такжевыбрать начало отсчёта O.Кинематическим законом движения (или просто — законом движения) называется описаниеизменения положения тела во времени относительно начала отсчёта.Рассмотрим различные способы задания законов движения.1.1Естественный закон движенияЕсли известна траектория движения (например известно, что автомобиль движется по определённой дороге), то его положение может быть задано расстоянием (со знаком), отсчитаннымот начала отсчёта O (рис. 1)AO+s(t)b−s(t)AbРис. 1.
Задание положения тела, движущегося по известной траектории.Таким образом, естественным законом движения будет функция(1)s = s(t) .1.2Координатный закон движенияПоложение тела A можно задать в какой-либо системе координат, например двумерной декартовой (рис. 2) или полярной (рис. 3):yAAy(t)bbρ(t)Ox(t)xOРис.
2. Декартова система координат (x, y).y(t)ϕ(t)x(t)Рис. 3. Полярная система координат (ρ, ϕ).3Если движение происходит в пространстве, то к данным координатам добавляется ещё ось z(3–х мерная декартова, или же цилиндрическая системы координат, соответственно).Таким образом, координатными законами движения будут в этом случае следующие функции:x(t), y(t), z(t)илиρ(t), ϕ(t), z(t) .(2)1.3Векторный закон движенияНаиболее общим и универсальным является задание положения с помощью радиуса–вектора —вектора, проведённого из начала отсчёта O в заданную точку, который определяет и расстояниеот начала отсчёта до заданного места, и направление, в котором отсчитывается это расстояние.bA~r(t)OРис. 4. Радиус–вектор ~r точки A , в точке O — начало отсчёта.Таким образом, векторный закон движения задаётся вектор-значной функцией — зависимостью радиуса–вектора движущегося тела от времени:~r = ~r(t) .(3)Но какой объект имеет право называться вектором?1.4Отступление: Что такое вектор?Частый ответ: вектор — это направленный отрезок.
Я перескажу историю, которую на своихлекциях рассказывал профессор Андрей Петрович Минако́в (1893–1954). Он читал лекции помеханике первокурсникам мехмата МГУ (будущим профессиональным математикам), а такжестудентам Московского текстильного института (А.П. Минаков решил задачу, поставленнуюЭйлером, о равновесии нити на произвольной шероховатой поверхности — задачу, важную длятекстильной промышленности) и, кроме того, курсантам Военно-воздушной инженерной академии им. Н.Е. Жуковского.И вот, услышав от студентов столь разных вузов ответ, что вектор — это направленныйотрезок, проф. Минаков рассказывал небольшой драматический этюд1 : «О праве вектора называться вектором». Он делал это на московском примере пересечения ул.
Горького (нынеул. Тверская) и Садового кольца (где находится Концертный зал им. Чайковского), но сейчастам тоннель (пересечения улиц нет) и я перескажу эту историю на примере г. Долгопрудного(см. рис. 5).Пусть по перекрёстку ул. Первомайской и Институтского переулка в сторону ст. «Новодачная» в минуту проезжает 4 автомобиля, а к Главному корпусу — 3 автомобиля. Изображаемэту информацию соответствующими направленными отрезками, см. рис. 5.1А.П. Минаков обладал драматическими способностями (он, например, прекрасно декламировал стихи Есенина и др.), был знаком с К.С. Станиславским и нередко его цитировал.
Минаков говорил не о «чтении», а об«исполнении» лекции, по его выражению «совершение лекции — это драматический акт». (В. Б.)44ул. Первомайская3автминавтмин√32 + 42 = 5Столоваяавтмин?Рис. 5. Потоки автомобилей на перекрёстке.Но означает ли данная картина что в нашу столовую каждую минуту въезжает 5 автомобилей? А только (3 + 4) − 5 = 2 машины проезжают по дороге, мимо столовой? Конечно, нет!Итак:Направленные отрезки только тогда являются векторами, если они складываютсяпо правилу параллелограмма (см.
рис. 6).~c = ~a + ~b~a~bРис. 6. Сложение векторов, «правило параллелограмма»Так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то «правилопараллелограмма» эквивалентно «правилу треугольника» (рис. 7 и 8).~b~c = ~b + ~a~a~a~c = ~a + ~b~bРис. 7. Сложение векторов, «правило треугольника» ~c = ~a + ~bРис. 8. Сложение векторов, «правило треугольника» ~c = ~b + ~aСледовательно, как это видно из рис. 7 и 8, если складываются два вектора, то результатне зависит от порядка слагаемых :~a + ~b = ~b + ~a .Таким образом вопрос, является ли направленный отрезок вектором или нет, является экспериментальным вопросом, проверяемым на опыте (мне в школе показывали, как складываютсясилы, создаваемые пружинными динамометрами).5Например, мы можем ввести направленный отрезок угла поворота ϕ~ , величина которого равна величине угла поворота, а направление характеризуетпространственное расположение оси поворота (по «правилу винта», см.
рис. 9,где четыре пальца показывают, куда происходит поворот, большой палец —Рис. 9.положительное направление оси поворота).Повернём тело (с отмеченной точкой A) на два угла: ϕ1 = ϕ2 = 90◦ . Сначала сделаем поворотвокруг вертикальной оси ϕ~ 1 , затем вокруг горизонтальной оси ϕ~ 2 (см. рис. 10):ϕ~1Aϕ~2bbbbAϕ~1Aϕ~2Рис. 10.
Поворот вокруг вертикальной оси (на угол ϕ~ 1 ), затем вокруг горизонтальной оси (на угол ϕ~2)А теперь сделаем сначала поворот вокруг горизонтальной оси ϕ~ 2 , а потом вокруг вертикальной оси ϕ~ 1 (см. рис. 11):ϕ~1ϕ~1AAbbbbϕ~2Aϕ~2Рис. 11. Поворот вокруг горизонтальной оси (на угол ϕ~ 2 ), затем вокруг вертикальной оси (на угол ϕ~1)Таким образом, опыт показывает (сравните рис. 10 и рис. 11), что результат сложения двухконечных поворотов (в данном случае — каждый на 90◦ ) зависит от порядка сложения, т. е.направленный отрезок конечного угла поворота вектором не является!Попробуем теперь сложить малые углы (на рис.
12 и рис. 13 dϕ1 = 5◦ , dϕ2 = 7◦ ; ≃ 0,1 рад).Сначала повернём наше тело вокруг вертикальной оси на угол dϕ1 , затем вокруг горизонтальной на угол dϕ2 (рис. 12):d~ϕ1d~ϕ1bd~ϕ2d~ϕ2Рис. 12. Исходное положение, поворот на угол d~ϕ1 , и на угол d~ϕ2А теперь (см. рис. 13) сначала сделаем поворот вокруг горизонтальной оси на угол dϕ2 ,а затем вокруг вертикальнойоси на угол dϕ1 (на последней части рис. 13 показан поворот на√22d~ϕ = d~ϕ1 + d~ϕ2 , dϕ = 5 + 7 = 8,6◦ ):6d~ϕ1d~ϕ1d~ϕbd~ϕ2d~ϕ2Рис. 13.
Поворот: на угол d~ϕ2 , затем на угол d~ϕ1 ; поворот на угол d~ϕ = d~ϕ1 + d~ϕ2Итак, этот опыт показывает, что малые углы поворота d~ϕ будут складываться по правилупараллелограмма, т. е. d~ϕ — является вектором. Поэтому угловая скорость~ω =d~ϕdt(4)тоже будет вектором, так как она является отношением вектора d~ϕ и скаляра dt .1.5Сложение нескольких векторов«Правило треугольника» удобнее «правила параллелограмма», так как легко обобщается насумму или разность (когда прибавляется противоположно направленный вектор) любого количества векторов (рис.
14):~b~a~S~c~ed~~ = ~a + ~b + ~c + d~ + ~e.Рис. 14. Сложение нескольких векторов по «правилу треугольника», S«Правило параллелограмма» (или треугольника) для векторов работает потому, что насокружает эвклидово пространство. На космологически больших расстояниях или вблизи экстремальных физических объектов (например, «чёрных дыр») пространство неевклидово, направление вектора при параллельном переносе зависит от траектории переноса и ОТО (общаятеория относительности), которая описывает подобные физические ситуации, наряду с векторами использует более сложные математические объекты — тензоры [1].Но вокруг нас справедлива евклидова геометрия и мы в курсе физической механики будемопираться только на неё.1.6Связь законов движенияРадиус–вектор равен сумме своих векторных составляющих вдоль координатных осей (см.рис.
15), поэтому векторный и декартовый законы движения связаны соотношением:~r(t) = ~ex x(t) + ~ey y(t) + ~ez z(t)При этом связь декартового и полярного законов движения даётся соотношениями (см.рис. 3):x(t) = ρ(t) cos ϕ(t) ,y(t) = ρ(t) sin ϕ(t) ;7zz(t)~r(t)O~ex x(t)x(t)Ab~ez z(t)y(t)y~ey y(t)xРис. 15.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
